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10. 阅读材料,解决问题.
材料1:随着人工智能、新能源、新材料等的不断革新,我国的制造业发展也迎来了大变革,新桥产业园某工厂借助智能化,对某型号零件进行一体化加工,生产效率提升显著,该零件3月份生产100个,5月份生产169个.
材料2:该厂生产此种零件的成本为40元/个,销售一段时间后发现,当零件的售价为50元/个时,月销售量为600个,在此基础上售价每上涨1元,则销售量将减少10个.
(1)求该厂3月份到5月份该零件生产数量的月平均增长率.
(2)若该厂既想使月销售利润达到12 000元,又想尽快减少库存,以便产品迭代,则该零件的实际售价应定为多少?
材料1:随着人工智能、新能源、新材料等的不断革新,我国的制造业发展也迎来了大变革,新桥产业园某工厂借助智能化,对某型号零件进行一体化加工,生产效率提升显著,该零件3月份生产100个,5月份生产169个.
材料2:该厂生产此种零件的成本为40元/个,销售一段时间后发现,当零件的售价为50元/个时,月销售量为600个,在此基础上售价每上涨1元,则销售量将减少10个.
(1)求该厂3月份到5月份该零件生产数量的月平均增长率.
(2)若该厂既想使月销售利润达到12 000元,又想尽快减少库存,以便产品迭代,则该零件的实际售价应定为多少?
答案
10. (1)设该厂3月份到5月份该零件生产数量的月平均增长率为x,根据题意,得
$100(1+x)^2=169$.
解得$x_1=0.3=30\%,x_2=-2.3$(舍去).
答:该厂3月份到5月份该零件生产数量的月平均增长率为30%.
(2)设该零件的实际售价应定为y元/个,根据题意,得
$(y-40)[600-10×(y-50)]=12000$.
解得$y_1=70,y_2=80$.
∵ 想尽快减少库存,则售价应该更低,
∴ 该零件的实际售价应定为70元/个.
答:该零件的实际售价应定为70元/个.
$100(1+x)^2=169$.
解得$x_1=0.3=30\%,x_2=-2.3$(舍去).
答:该厂3月份到5月份该零件生产数量的月平均增长率为30%.
(2)设该零件的实际售价应定为y元/个,根据题意,得
$(y-40)[600-10×(y-50)]=12000$.
解得$y_1=70,y_2=80$.
∵ 想尽快减少库存,则售价应该更低,
∴ 该零件的实际售价应定为70元/个.
答:该零件的实际售价应定为70元/个.
解析
【分析】
(1) 本题第一问属于平均增长率问题，可套用平均变化率通用模型：初始量为a，月平均增长率为x，经过n个月后的量为b，则满足$a(1+x)^n=b$。本题中3月份产量100个是初始量，从3月到5月经过2个月，5月份产量169个是最终量，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的负根。
(2) 第二问属于销售利润问题，核心等量关系为：总利润=单个利润×销售量。单个利润为售价减去成本40元/个；销售量的计算：售价为y元时，相比50元上涨了$(y-50)$元，每涨1元销量减少10个，因此实际销售量为$600-10(y-50)$个。代入总利润12000元列方程求解后，结合“尽快减少库存”的要求，销量越高越好，因此选择售价更低的根即可。
【解析】
(1) 设该厂3月份到5月份该零件生产数量的月平均增长率为x，根据题意得：
$100(1+x)^2=169$
开平方得$1+x=\pm1.3$
解得$x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$，增长率不能为负，故舍去$x_2$。
答：该厂3月份到5月份该零件生产数量的月平均增长率为30%。
(2) 设该零件的实际售价应定为y元/个，根据题意得：
$(y-40)[600-10×(y-50)]=12000$
化简整理得$y^2-150y+5600=0$
因式分解得$(y-70)(y-80)=0$
解得$y_1=70$，$y_2=80$
∵要尽快减少库存，售价越低销售量越高，因此选择更低的售价。
答：该零件的实际售价应定为70元/个。
【答案】
(1) 30%；(2) 70元/个
【知识点】
平均增长率计算，销售利润问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是一元二次方程在生产、销售场景的典型应用题，既考查了基础的增长率模型、利润公式的应用，也要求学生结合实际需求对方程的根进行合理取舍，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题第一问属于平均增长率问题，可套用平均变化率通用模型：初始量为a，月平均增长率为x，经过n个月后的量为b，则满足$a(1+x)^n=b$。本题中3月份产量100个是初始量，从3月到5月经过2个月，5月份产量169个是最终量，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际的负根。
(2) 第二问属于销售利润问题，核心等量关系为：总利润=单个利润×销售量。单个利润为售价减去成本40元/个；销售量的计算：售价为y元时，相比50元上涨了$(y-50)$元，每涨1元销量减少10个，因此实际销售量为$600-10(y-50)$个。代入总利润12000元列方程求解后，结合“尽快减少库存”的要求，销量越高越好，因此选择售价更低的根即可。
【解析】
(1) 设该厂3月份到5月份该零件生产数量的月平均增长率为x，根据题意得：
$100(1+x)^2=169$
开平方得$1+x=\pm1.3$
解得$x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$，增长率不能为负，故舍去$x_2$。
答：该厂3月份到5月份该零件生产数量的月平均增长率为30%。
(2) 设该零件的实际售价应定为y元/个，根据题意得：
$(y-40)[600-10×(y-50)]=12000$
化简整理得$y^2-150y+5600=0$
因式分解得$(y-70)(y-80)=0$
解得$y_1=70$，$y_2=80$
∵要尽快减少库存，售价越低销售量越高，因此选择更低的售价。
答：该零件的实际售价应定为70元/个。
【答案】
(1) 30%；(2) 70元/个
【知识点】
平均增长率计算，销售利润问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是一元二次方程在生产、销售场景的典型应用题，既考查了基础的增长率模型、利润公式的应用，也要求学生结合实际需求对方程的根进行合理取舍，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
