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6. 2025年11月25日,神舟二十二号飞船发射升空.某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求,特推出了“中国空间站”模型.已知该模型11月售出256件,12月、次年1月销量持续走高,1月售出400件,求12月、次年1月这两个月销量的月平均增长率.
答案
6. 设12月、次年1月这两个月销量的月平均增长率为x,根据题意,得
$256(1+x)^2=400$.
解得$x_1=0.25=25\%,x_2=-\frac{9}{4}$(舍去).
答:12月、次年1月这两个月的月平均增长率为25%.
$256(1+x)^2=400$.
解得$x_1=0.25=25\%,x_2=-\frac{9}{4}$(舍去).
答:12月、次年1月这两个月的月平均增长率为25%.
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题时首先要明确平均增长率的基本数量关系：初始量×(1+月平均增长率)^增长次数=最终量。首先确定初始量是11月的销量256件，从11月到次年1月一共经过2次增长（11月到12月1次，12月到次年1月1次），最终量是次年1月的销量400件，我们设月平均增长率为x，代入关系列方程求解即可，最后要注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设12月、次年1月这两个月销量的月平均增长率为x。
根据题意列方程得：
$256(1+x)^2=400$
方程两边同时除以256，得：$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
开平方得：$1+x=\pm\frac{5}{4}$
解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-\frac{9}{4}$
由于增长率不能为负数，$x_2=-\frac{9}{4}$不符合实际意义，故舍去。
答：12月、次年1月这两个月的月平均增长率为25%。
【答案】
12月、次年1月这两个月的月平均增长率为25%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是典型的平均增长率实际应用题，解题核心是准确识别初始量、最终量和增长次数，正确套用平均增长率公式列方程求解，同时要注意结合实际问题的意义对求解得到的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题时首先要明确平均增长率的基本数量关系：初始量×(1+月平均增长率)^增长次数=最终量。首先确定初始量是11月的销量256件，从11月到次年1月一共经过2次增长（11月到12月1次，12月到次年1月1次），最终量是次年1月的销量400件，我们设月平均增长率为x，代入关系列方程求解即可，最后要注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
解：设12月、次年1月这两个月销量的月平均增长率为x。
根据题意列方程得：
$256(1+x)^2=400$
方程两边同时除以256，得：$(1+x)^2=\frac{25}{16}$
开平方得：$1+x=\pm\frac{5}{4}$
解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-\frac{9}{4}$
由于增长率不能为负数，$x_2=-\frac{9}{4}$不符合实际意义，故舍去。
答：12月、次年1月这两个月的月平均增长率为25%。
【答案】
12月、次年1月这两个月的月平均增长率为25%
【知识点】
一元二次方程的应用；平均变化率问题
【点评】
本题是典型的平均增长率实际应用题，解题核心是准确识别初始量、最终量和增长次数，正确套用平均增长率公式列方程求解，同时要注意结合实际问题的意义对求解得到的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
7. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入.4月份绿化投入25万元，4月份至6月份的绿化总投入将达到109万元，5月份和6月份绿化投入的月平均增长率相同.设5月份和6月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（
A.$25(1+x)+25(1+2x)=109$
B.$25(1-x)^2=109$
C.$25(1+x)^2=109$
D.$25+25(1+x)+25(1+x)^2=109$
D
）A.$25(1+x)+25(1+2x)=109$
B.$25(1-x)^2=109$
C.$25(1+x)^2=109$
D.$25+25(1+x)+25(1+x)^2=109$
答案
7. D
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的列方程问题，解题思路如下：首先明确月平均增长率的含义，若初始量为a，增长率为x，则下一个周期的量为a(1+x)，再下一个周期的量为a(1+x)²；其次找准题干的等量关系，本题给出的是4月到6月的总投入，不是6月单月的投入，因此需要将三个月的投入相加得到总投入，据此列方程即可。
【解析】
首先明确各月的绿化投入金额：
1. 4月份绿化投入已知为25万元；
2. 5月份投入在4月份基础上增长x，因此5月份投入为$25(1+x)$万元；
3. 6月份投入在5月份基础上再增长x，因此6月份投入为$25(1+x) × (1+x) = 25(1+x)^2$万元。
题干给出4月至6月的总投入为109万元，即三个月投入之和等于109万元，因此列方程为：
$25 + 25(1+x) + 25(1+x)^2 = 109$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平均变化率问题；由实际问题列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率问题的常规考法，解题核心是准确表示出每个周期的对应量，同时注意审题，区分题干要求的是累计总和还是单个周期的量，避免漏加初期量导致错选。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的列方程问题，解题思路如下：首先明确月平均增长率的含义，若初始量为a，增长率为x，则下一个周期的量为a(1+x)，再下一个周期的量为a(1+x)²；其次找准题干的等量关系，本题给出的是4月到6月的总投入，不是6月单月的投入，因此需要将三个月的投入相加得到总投入，据此列方程即可。
【解析】
首先明确各月的绿化投入金额：
1. 4月份绿化投入已知为25万元；
2. 5月份投入在4月份基础上增长x，因此5月份投入为$25(1+x)$万元；
3. 6月份投入在5月份基础上再增长x，因此6月份投入为$25(1+x) × (1+x) = 25(1+x)^2$万元。
题干给出4月至6月的总投入为109万元，即三个月投入之和等于109万元，因此列方程为：
$25 + 25(1+x) + 25(1+x)^2 = 109$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平均变化率问题；由实际问题列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率问题的常规考法，解题核心是准确表示出每个周期的对应量，同时注意审题，区分题干要求的是累计总和还是单个周期的量，避免漏加初期量导致错选。
【难度系数】
0.8
8. 为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造.已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个.经市场调研发现，该零件每周的销售量$ y $（单位：个）与售价$ x $（单位：元/个）之间满足一次函数关系，图象如图所示.若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则该种零件的售价应定为（
A.25元/个
B.20元/个或40元/个
C.40元/个
D.20元/个
D
）A.25元/个
B.20元/个或40元/个
C.40元/个
D.20元/个
答案
8. D
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据一次函数图象提供的两个已知点，求出销售量y与售价x的函数解析式；第二步，依据“总利润=单个利润×销售量”的等量关系列方程，其中单个利润为售价减去成本10元，总利润为6000元，代入解析式即可得到一元二次方程；第三步，解方程后根据题目给出的“售价不能超过35元/个”的限制条件，舍去不符合要求的解，最终得到正确售价。
【解析】
设销售量$y$与售价$x$的一次函数解析式为$y=kx+b(k≠ 0)$，由图象可知函数过点$(0,1000)$和$(50,0)$，代入解析式得：
1. 当$x=0$时，$b=1000$；
2. 将$b=1000$、$x=50$、$y=0$代入得$50k+1000=0$，解得$k=-20$。
因此$y$与$x$的函数关系为$y=-20x+1000$。
根据总利润为6000元列方程：单个利润为$(x-10)$元，总利润$=$单个利润$×$销售量，即
$(x-10)(-20x+1000)=6000$
整理方程得：
$x^2-60x+800=0$
因式分解得：
$(x-20)(x-40)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=40$。
已知售价不能超过35元/个，因此$x=40$不符合题意，舍去，故售价应定为20元/个。
【答案】
D
【知识点】
一次函数应用；一元二次方程应用；销售利润计算
【点评】
本题结合实际生产背景考查函数与方程的综合应用，解题的关键是正确建立函数关系，同时要注意结合实际限制条件对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先根据一次函数图象提供的两个已知点，求出销售量y与售价x的函数解析式；第二步，依据“总利润=单个利润×销售量”的等量关系列方程，其中单个利润为售价减去成本10元，总利润为6000元，代入解析式即可得到一元二次方程；第三步，解方程后根据题目给出的“售价不能超过35元/个”的限制条件，舍去不符合要求的解，最终得到正确售价。
【解析】
设销售量$y$与售价$x$的一次函数解析式为$y=kx+b(k≠ 0)$，由图象可知函数过点$(0,1000)$和$(50,0)$，代入解析式得：
1. 当$x=0$时，$b=1000$；
2. 将$b=1000$、$x=50$、$y=0$代入得$50k+1000=0$，解得$k=-20$。
因此$y$与$x$的函数关系为$y=-20x+1000$。
根据总利润为6000元列方程：单个利润为$(x-10)$元，总利润$=$单个利润$×$销售量，即
$(x-10)(-20x+1000)=6000$
整理方程得：
$x^2-60x+800=0$
因式分解得：
$(x-20)(x-40)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=40$。
已知售价不能超过35元/个，因此$x=40$不符合题意，舍去，故售价应定为20元/个。
【答案】
D
【知识点】
一次函数应用；一元二次方程应用；销售利润计算
【点评】
本题结合实际生产背景考查函数与方程的综合应用，解题的关键是正确建立函数关系，同时要注意结合实际限制条件对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
9. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培育后，总数达到24 000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培育后有多少个有益菌？
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培育后有多少个有益菌？
答案
9. (1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌,由题意,得
$60(1+x)^2=24000$.
解得$x_1=19,x_2=-21$.
∵ $x＞0$,
∴ $x=19$.
答:每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.
(2)由题意,得$60×(1+19)^3=480000$(个).
答:经过三轮培育后有480000个有益菌.
$60(1+x)^2=24000$.
解得$x_1=19,x_2=-21$.
∵ $x＞0$,
∴ $x=19$.
答:每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.
(2)由题意,得$60×(1+19)^3=480000$(个).
答:经过三轮培育后有480000个有益菌.
解析
【分析】
这是典型的细菌分裂类一元二次方程应用问题，解题思路如下：
（1）解决第一问首先要明确分裂规律：每个有益菌每轮分裂出$x$个，那么1个有益菌经过1轮后数量变为$(1+x)$个，经过2轮后数量变为$(1+x)^2$个。初始有60个活体样本，两轮后总数为24000个，据此列一元二次方程求解即可，注意分裂出的数量为正数，需要舍去不符合实际意义的负根。
（2）第二问按照相同的分裂规律，三轮后总数量为初始数量乘$(1+x)$的三次方，代入第一问求出的$x$值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出$x$个有益菌，由题意得：
$60(1+x)^2=24000$
方程两边同时除以60，得$(1+x)^2=400$
开平方得$1+x=\pm20$
解得$x_1=19$，$x_2=-21$
∵ 分裂出的有益菌数量为正数，即$x＞0$
∴ 舍去$x_2=-21$，取$x=19$
答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌。
(2) 按照该分裂速度，经过三轮培育后的总数量为：
$60×(1+19)^3=60×8000=480000$（个）
答：经过三轮培育后有480000个有益菌。
【答案】
(1) 19个；(2) 480000个
【知识点】
一元二次方程的应用、平均变化率问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，核心是掌握分裂（增长）类问题的数量变化规律，列方程求解时要注意结合实际意义对根进行取舍，计算乘方时要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.8
这是典型的细菌分裂类一元二次方程应用问题，解题思路如下：
（1）解决第一问首先要明确分裂规律：每个有益菌每轮分裂出$x$个，那么1个有益菌经过1轮后数量变为$(1+x)$个，经过2轮后数量变为$(1+x)^2$个。初始有60个活体样本，两轮后总数为24000个，据此列一元二次方程求解即可，注意分裂出的数量为正数，需要舍去不符合实际意义的负根。
（2）第二问按照相同的分裂规律，三轮后总数量为初始数量乘$(1+x)$的三次方，代入第一问求出的$x$值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出$x$个有益菌，由题意得：
$60(1+x)^2=24000$
方程两边同时除以60，得$(1+x)^2=400$
开平方得$1+x=\pm20$
解得$x_1=19$，$x_2=-21$
∵ 分裂出的有益菌数量为正数，即$x＞0$
∴ 舍去$x_2=-21$，取$x=19$
答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌。
(2) 按照该分裂速度，经过三轮培育后的总数量为：
$60×(1+19)^3=60×8000=480000$（个）
答：经过三轮培育后有480000个有益菌。
【答案】
(1) 19个；(2) 480000个
【知识点】
一元二次方程的应用、平均变化率问题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，核心是掌握分裂（增长）类问题的数量变化规律，列方程求解时要注意结合实际意义对根进行取舍，计算乘方时要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.8
