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我们知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线,也知道四边形的对角线有2条,五边形的对角线有5条.
(1)六边形的对角线有
(2)若一个多边形共有14条对角线,求这个多边形的边数n.
(3)某同学说:“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为该同学的说法正确吗?请说明理由.
(1)六边形的对角线有
9
条,八边形的对角线有20
条.(2)若一个多边形共有14条对角线,求这个多边形的边数n.
(3)某同学说:“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为该同学的说法正确吗?请说明理由.
答案
(1)9 20
(2)根据题意,得$\frac{1}{2}n(n-3)=14$.
整理,得$n^2-3n-28=0$.
解得$n_1=7,n_2=-4$(不符合题意,舍去).
∴ $n=7$,即这个多边形的边数是7.
(3)该同学的说法不正确.
理由:设这个多边形的边数为n.
根据题意,得$\frac{1}{2}n(n-3)=10$.
整理,得$n^2-3n-20=0$.
解得$n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$.
∵ $n≥3$,且n为正整数,
∴ $n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$不符合题意.
∴ 一个多边形不可能有10条对角线.
∴ 该同学的说法不正确.
(2)根据题意,得$\frac{1}{2}n(n-3)=14$.
整理,得$n^2-3n-28=0$.
解得$n_1=7,n_2=-4$(不符合题意,舍去).
∴ $n=7$,即这个多边形的边数是7.
(3)该同学的说法不正确.
理由:设这个多边形的边数为n.
根据题意,得$\frac{1}{2}n(n-3)=10$.
整理,得$n^2-3n-20=0$.
解得$n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$.
∵ $n≥3$,且n为正整数,
∴ $n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$不符合题意.
∴ 一个多边形不可能有10条对角线.
∴ 该同学的说法不正确.
解析
【分析】
解决本题的核心是先掌握n边形对角线总数的推导及公式：n边形有n个顶点，每个顶点可与除自身及相邻2个顶点外的(n-3)个顶点连对角线，且每条对角线被2个顶点重复计算一次，因此对角线总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$（n为≥3的正整数）。
(1) 直接将n=6、n=8代入公式即可求得对应六边形、八边形的对角线数量；
(2) 将对角线总数14代入公式，得到关于n的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到多边形边数；
(3) 同理将对角线总数10代入公式列方程，判断方程的解是否为≥3的正整数，即可验证该同学说法是否正确。
【解析】
(1) 根据n边形对角线总条数公式$\frac{1}{2}n(n-3)$：
当n=6（六边形）时，对角线总数为$\frac{1}{2}×6×(6-3)=9$条；
当n=8（八边形）时，对角线总数为$\frac{1}{2}×8×(8-3)=20$条。
(2) 由题意列方程：
$\frac{1}{2}n(n-3)=14$
整理得：$n^2-3n-28=0$
解得：$n_1=7$，$n_2=-4$
∵ 多边形边数n为≥3的正整数，
∴$n_2=-4$不符合题意舍去
∴ 这个多边形的边数是7。
(3) 该同学的说法不正确，理由如下：
设该多边形边数为n，由题意列方程：
$\frac{1}{2}n(n-3)=10$
整理得：$n^2-3n-20=0$
用求根公式解得：$n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$
∵ 多边形边数n必须为≥3的正整数，而$\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$均不是正整数，不符合实际意义
∴ 不存在共有10条对角线的多边形，该同学的说法不正确。
【答案】
(1) 9；20
(2) 这个多边形的边数是7
(3) 该同学的说法不正确
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程求解；一元二次方程实际应用
【点评】
本题将多边形的性质与一元二次方程的应用结合考查，解题的关键是牢记多边形对角线的计算公式，需要注意的是，多边形的边数是大于等于3的正整数，求解方程后必须检验根是否符合实际意义，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先掌握n边形对角线总数的推导及公式：n边形有n个顶点，每个顶点可与除自身及相邻2个顶点外的(n-3)个顶点连对角线，且每条对角线被2个顶点重复计算一次，因此对角线总条数为$\frac{1}{2}n(n-3)$（n为≥3的正整数）。
(1) 直接将n=6、n=8代入公式即可求得对应六边形、八边形的对角线数量；
(2) 将对角线总数14代入公式，得到关于n的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到多边形边数；
(3) 同理将对角线总数10代入公式列方程，判断方程的解是否为≥3的正整数，即可验证该同学说法是否正确。
【解析】
(1) 根据n边形对角线总条数公式$\frac{1}{2}n(n-3)$：
当n=6（六边形）时，对角线总数为$\frac{1}{2}×6×(6-3)=9$条；
当n=8（八边形）时，对角线总数为$\frac{1}{2}×8×(8-3)=20$条。
(2) 由题意列方程：
$\frac{1}{2}n(n-3)=14$
整理得：$n^2-3n-28=0$
解得：$n_1=7$，$n_2=-4$
∵ 多边形边数n为≥3的正整数，
∴$n_2=-4$不符合题意舍去
∴ 这个多边形的边数是7。
(3) 该同学的说法不正确，理由如下：
设该多边形边数为n，由题意列方程：
$\frac{1}{2}n(n-3)=10$
整理得：$n^2-3n-20=0$
用求根公式解得：$n=\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$
∵ 多边形边数n必须为≥3的正整数，而$\frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$均不是正整数，不符合实际意义
∴ 不存在共有10条对角线的多边形，该同学的说法不正确。
【答案】
(1) 9；20
(2) 这个多边形的边数是7
(3) 该同学的说法不正确
【知识点】
多边形对角线公式；一元二次方程求解；一元二次方程实际应用
【点评】
本题将多边形的性质与一元二次方程的应用结合考查，解题的关键是牢记多边形对角线的计算公式，需要注意的是，多边形的边数是大于等于3的正整数，求解方程后必须检验根是否符合实际意义，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.7
1.有1人患了流感,第一轮传染6人,第一轮过后共有
7
人患了流感;第二轮传染时平均每人也传染了6人,第二轮传染了42
人,第二轮过后共有49
人患了流感.答案
1. 7 42 49
解析
【分析】
解决这类传播问题首先要明确每轮的传染源数量：①第一轮的初始传染源是1名患者，第一轮新增患病人数=传染源数×每人传染人数，第一轮总患病人数=初始人数+第一轮新增人数；②第二轮的传染源是第一轮结束后的所有患者，第二轮新增传染人数=第一轮总患病人数×每人传染人数，第二轮总患病人数=第一轮总人数+第二轮新增人数，按这个逻辑逐步计算即可。
【解析】
1. 计算第一轮过后的患病人数：
初始患病人数为1人，第一轮1名患者共传染 $ 1×6=6 $ 人，因此第一轮过后总患病人数为 $ 1+6=7 $ 人。
2. 计算第二轮传染的人数：
第二轮的传染源为第一轮过后的7名患者，平均每人传染6人，因此第二轮传染的人数为 $ 7×6=42 $ 人。
3. 计算第二轮过后的总患病人数：
总人数=第一轮过后的人数+第二轮新增传染人数，即 $ 7+42=49 $ 人。
【答案】7；42；49
【知识点】传播问题计算；有理数四则运算
【点评】
本题是传播类应用题的基础题型，解题核心是明确每轮传染的传染源为上一轮结束后的所有患病者，避免误将初始人数或单轮新增人数作为传染源计算，掌握该逻辑即可顺利解决同类基础问题。
【难度系数】
0.9
解决这类传播问题首先要明确每轮的传染源数量：①第一轮的初始传染源是1名患者，第一轮新增患病人数=传染源数×每人传染人数，第一轮总患病人数=初始人数+第一轮新增人数；②第二轮的传染源是第一轮结束后的所有患者，第二轮新增传染人数=第一轮总患病人数×每人传染人数，第二轮总患病人数=第一轮总人数+第二轮新增人数，按这个逻辑逐步计算即可。
【解析】
1. 计算第一轮过后的患病人数：
初始患病人数为1人，第一轮1名患者共传染 $ 1×6=6 $ 人，因此第一轮过后总患病人数为 $ 1+6=7 $ 人。
2. 计算第二轮传染的人数：
第二轮的传染源为第一轮过后的7名患者，平均每人传染6人，因此第二轮传染的人数为 $ 7×6=42 $ 人。
3. 计算第二轮过后的总患病人数：
总人数=第一轮过后的人数+第二轮新增传染人数，即 $ 7+42=49 $ 人。
【答案】7；42；49
【知识点】传播问题计算；有理数四则运算
【点评】
本题是传播类应用题的基础题型，解题核心是明确每轮传染的传染源为上一轮结束后的所有患病者，避免误将初始人数或单轮新增人数作为传染源计算，掌握该逻辑即可顺利解决同类基础问题。
【难度系数】
0.9
2. 某班物理课代表在老师培训后学会了某个物理实验操作，回到班上第一节课教会了若干名同学，第二节课会做实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班36人都会做这个实验. 若设1名同学每次都能教会$x$名同学，则可列方程为（
A.$x+(x+1)x=36$
B.$1+x+(1+x)x=36$
C.$1+x+x^2=36$
D.$x+(x+1)^2=36$
B
）A.$x+(x+1)x=36$
B.$1+x+(1+x)x=36$
C.$1+x+x^2=36$
D.$x+(x+1)^2=36$
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道典型的一元二次方程传播类应用题，解题时需按时间顺序梳理每一轮会做实验的人数变化：首先确定初始会做实验的人数是1名课代表；第一节课后，1名课代表教会x名同学，此时会做实验的总人数为初始人数加新学会的人数；第二节课时，所有已经会做实验的同学每人都能教会x名同学，因此第二节课新学会的人数等于第一节课结束后的总人数乘以x，最后根据全班总共有36人会做实验，将初始人数、第一节课新增人数、第二节课新增人数相加等于36，即可列出对应的方程。
【解析】
解：第一步，确定初始会做实验的人数：最开始只有1名课代表会做实验，人数为1。
第二步，计算第一节课后会做实验的总人数：1名课代表教会了x名同学，第一节课新增x人，此时总人数为$1 + x$。
第三步，计算第二节课新增的会做实验的人数：第二节课时，$1 + x$名会做实验的同学每人教会x名同学，因此第二节课新增人数为$(1 + x)x$。
第四步，根据总人数列方程：全班36人都会做实验，即初始人数+第一节课新增人数+第二节课新增人数=36，列方程得：$1 + x + (1 + x)x = 36$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 传播问题模型
【点评】
本题考查传播类问题的方程列法，解题的核心是准确梳理每一轮传播的主体数量（即每一轮开始时已经会操作的人数），避免漏算初始人数或错算新增人数。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的一元二次方程传播类应用题，解题时需按时间顺序梳理每一轮会做实验的人数变化：首先确定初始会做实验的人数是1名课代表；第一节课后，1名课代表教会x名同学，此时会做实验的总人数为初始人数加新学会的人数；第二节课时，所有已经会做实验的同学每人都能教会x名同学，因此第二节课新学会的人数等于第一节课结束后的总人数乘以x，最后根据全班总共有36人会做实验，将初始人数、第一节课新增人数、第二节课新增人数相加等于36，即可列出对应的方程。
【解析】
解：第一步，确定初始会做实验的人数：最开始只有1名课代表会做实验，人数为1。
第二步，计算第一节课后会做实验的总人数：1名课代表教会了x名同学，第一节课新增x人，此时总人数为$1 + x$。
第三步，计算第二节课新增的会做实验的人数：第二节课时，$1 + x$名会做实验的同学每人教会x名同学，因此第二节课新增人数为$(1 + x)x$。
第四步，根据总人数列方程：全班36人都会做实验，即初始人数+第一节课新增人数+第二节课新增人数=36，列方程得：$1 + x + (1 + x)x = 36$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 传播问题模型
【点评】
本题考查传播类问题的方程列法，解题的核心是准确梳理每一轮传播的主体数量（即每一轮开始时已经会操作的人数），避免漏算初始人数或错算新增人数。
【难度系数】
0.8
3.某校研学活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出了x个支干，每个支干上再长出x个小分支.若在该主干上的支干和小分支的数量之和为42，则x等于
（
A.4
B.5
C.6
D.7
（
C
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要理清各部分的数量关系：1个主干长出x个支干，因此支干总数为x；每个支干再长出x个小分支，因此小分支总数为x乘x即x²。题目给出支干和小分支的数量之和为42，据此可列出关于x的一元二次方程，求解后结合x的实际意义（分支数量为正整数）舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
由题意可知，该植物的支干数量为$ x $个，小分支的总数量为$ x × x = x^2 $个。
根据“主干上的支干和小分支的数量之和为42”，可列方程：
$ x + x^2 = 42 $
整理为一元二次方程的标准形式：
$ x^2 + x - 42 = 0 $
对左侧因式分解得：
$ (x + 7)(x - 6) = 0 $
解得：$ x_1 = 6 $，$ x_2 = -7 $
因为分支数量为正整数，所以$ x=-7 $不符合实际意义，舍去。
因此$ x=6 $。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的分支类一元二次方程应用题，解题核心是准确梳理不同层级的数量关系，列方程时注意不要多算主干的数量，求解后要结合实际场景对根进行取舍。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理清各部分的数量关系：1个主干长出x个支干，因此支干总数为x；每个支干再长出x个小分支，因此小分支总数为x乘x即x²。题目给出支干和小分支的数量之和为42，据此可列出关于x的一元二次方程，求解后结合x的实际意义（分支数量为正整数）舍去不符合的根，即可得到结果。
【解析】
由题意可知，该植物的支干数量为$ x $个，小分支的总数量为$ x × x = x^2 $个。
根据“主干上的支干和小分支的数量之和为42”，可列方程：
$ x + x^2 = 42 $
整理为一元二次方程的标准形式：
$ x^2 + x - 42 = 0 $
对左侧因式分解得：
$ (x + 7)(x - 6) = 0 $
解得：$ x_1 = 6 $，$ x_2 = -7 $
因为分支数量为正整数，所以$ x=-7 $不符合实际意义，舍去。
因此$ x=6 $。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的分支类一元二次方程应用题，解题核心是准确梳理不同层级的数量关系，列方程时注意不要多算主干的数量，求解后要结合实际场景对根进行取舍。
【难度系数】
0.8
4. 某新能源汽车销售公司,在国家减税政策的支持下,对某款纯电动的新能源汽车连续两次降价,平均每次降价的百分率为$ x $. 已知这种新能源汽车的原价是每辆25万元,则第一次降价后每辆的售价为
$25(1-x)$
万元,第二次降价后每辆的售价为$25(1-x)^2$
万元. 若经过两次降价后这种新能源汽车的售价为每辆16万元,则可列方程为$25(1-x)^2=16$
.答案
4. $25(1-x)$ $25(1-x)^2$ $25(1-x)^2=16$
解析
【分析】
解决本题首先要明确降价率的含义：每次降价的百分率$x$指的是在当前售价基础上减少$x$，即降价后售价为降价前售价的$(1-x)$倍。第一步求第一次降价后的售价，直接用原价乘$(1-x)$即可；第二步求第二次降价后的售价，要以第一次降价后的售价为基数，再乘$(1-x)$，也就是原价乘$(1-x)$的平方；最后已知两次降价后的售价为16万元，让第二次降价后的售价等于16万元即可列出方程。
【解析】
1. 计算第一次降价后的售价：
原价为25万元，降价百分率为$x$，根据“降价后售价=原价×(1-降价百分率)”，可得第一次降价后售价为$25(1-x)$万元。
2. 计算第二次降价后的售价：
第二次降价是在第一次降价后的售价$25(1-x)$万元的基础上再次降价$x$，因此第二次降价后售价为$25(1-x) × (1-x) = 25(1-x)^2$万元。
3. 列方程：
已知两次降价后售价为16万元，令第二次降价后的售价等于16，可得方程$25(1-x)^2=16$。
【答案】
$25(1-x)$；$25(1-x)^2$；$25(1-x)^2=16$
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 列代数式
3. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均变化率类的基础题型，核心是掌握变化率问题的通用公式：若初始值为$a$，每次的平均变化率为$x$，经过$n$次变化后的终值为$b$，则有$a(1±x)^n=b$（增长用加号，下降用减号），熟练运用该公式即可快速解答这类问题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确降价率的含义：每次降价的百分率$x$指的是在当前售价基础上减少$x$，即降价后售价为降价前售价的$(1-x)$倍。第一步求第一次降价后的售价，直接用原价乘$(1-x)$即可；第二步求第二次降价后的售价，要以第一次降价后的售价为基数，再乘$(1-x)$，也就是原价乘$(1-x)$的平方；最后已知两次降价后的售价为16万元，让第二次降价后的售价等于16万元即可列出方程。
【解析】
1. 计算第一次降价后的售价：
原价为25万元，降价百分率为$x$，根据“降价后售价=原价×(1-降价百分率)”，可得第一次降价后售价为$25(1-x)$万元。
2. 计算第二次降价后的售价：
第二次降价是在第一次降价后的售价$25(1-x)$万元的基础上再次降价$x$，因此第二次降价后售价为$25(1-x) × (1-x) = 25(1-x)^2$万元。
3. 列方程：
已知两次降价后售价为16万元，令第二次降价后的售价等于16，可得方程$25(1-x)^2=16$。
【答案】
$25(1-x)$；$25(1-x)^2$；$25(1-x)^2=16$
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 列代数式
3. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均变化率类的基础题型，核心是掌握变化率问题的通用公式：若初始值为$a$，每次的平均变化率为$x$，经过$n$次变化后的终值为$b$，则有$a(1±x)^n=b$（增长用加号，下降用减号），熟练运用该公式即可快速解答这类问题。
【难度系数】
0.8
5. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（
A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
C
）A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
答案
5. C
解析
【分析】
本题属于平均变化率类的应用题，解题思路如下：首先明确降价问题的等量关系：原价×(1-每次降价百分率)ⁿ=降价n次后的价格（n为降价次数）。本题中已知原价、两次降价后的价格，降价次数为2，因此我们可以设每次降价的百分率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根，即可得到正确结果。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $。
根据题意，第一次降价后的价格为$ 48(1-x) $元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此两次降价后的价格可表示为$ 48(1-x)^2 $，可列方程：
$48(1-x)^2 = 27$
两边同时除以48，得：
$(1-x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$
开平方得：
$1-x = \pm \frac{3}{4}$
解得：
$x_1 = 1 - \frac{3}{4} = 0.25 = 25\%$，$x_2 = 1 + \frac{3}{4} = 1.75$（降价百分率不能大于1，不符合实际，舍去）
因此每次降价的百分率为25%。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均变化率的典型基础题，解题核心是准确找准降价前后价格的等量关系，求解方程后要注意验证根是否符合实际意义，排除不合理的解。
【难度系数】
0.75
本题属于平均变化率类的应用题，解题思路如下：首先明确降价问题的等量关系：原价×(1-每次降价百分率)ⁿ=降价n次后的价格（n为降价次数）。本题中已知原价、两次降价后的价格，降价次数为2，因此我们可以设每次降价的百分率为x，代入等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根，即可得到正确结果。
【解析】
设每次降价的百分率为$ x $。
根据题意，第一次降价后的价格为$ 48(1-x) $元，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此两次降价后的价格可表示为$ 48(1-x)^2 $，可列方程：
$48(1-x)^2 = 27$
两边同时除以48，得：
$(1-x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$
开平方得：
$1-x = \pm \frac{3}{4}$
解得：
$x_1 = 1 - \frac{3}{4} = 0.25 = 25\%$，$x_2 = 1 + \frac{3}{4} = 1.75$（降价百分率不能大于1，不符合实际，舍去）
因此每次降价的百分率为25%。
【答案】
C
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均变化率的典型基础题，解题核心是准确找准降价前后价格的等量关系，求解方程后要注意验证根是否符合实际意义，排除不合理的解。
【难度系数】
0.75
