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第三学时 循环问题及其他问题
问题导引
元旦来临，李老师组织班里的同学举办迎新班会，班会开场安排握手礼仪活动：班里每两名同学都握手一次，每人只和其他人握手一次，不重复、不遗漏，全班同学一共握手780次。李老师所教的班级一共有多少名学生？
知识梳理
知识点1）循环问题
单循环问题（每两队进行一次比赛）：设参赛队伍有x队，则总的比赛场数=
双循环问题（每两队进行两次比赛）：设参赛队伍有x队，则总的比赛场数=
知识点2）其他问题
销售问题：利润=售价-进价；利润率=$\frac{售价-进价}{进价}$×100%；售价=进价×(1+利润率)。
问题导引
元旦来临，李老师组织班里的同学举办迎新班会，班会开场安排握手礼仪活动：班里每两名同学都握手一次，每人只和其他人握手一次，不重复、不遗漏，全班同学一共握手780次。李老师所教的班级一共有多少名学生？
知识梳理
知识点1）循环问题
单循环问题（每两队进行一次比赛）：设参赛队伍有x队，则总的比赛场数=
$\frac{1}{2}x(x-1)$
；双循环问题（每两队进行两次比赛）：设参赛队伍有x队，则总的比赛场数=
$x(x-1)$
。知识点2）其他问题
销售问题：利润=售价-进价；利润率=$\frac{售价-进价}{进价}$×100%；售价=进价×(1+利润率)。
答案
知识点1
$\frac{1}{2}x(x-1)\ \ \ x(x-1)$
$\frac{1}{2}x(x-1)\ \ \ x(x-1)$
解析
【分析】
推导循环问题的计数公式时，我们可以分两步思考：第一步先计算不考虑重复时的总计数：每个主体都要和除自己之外的其他(x-1)个主体产生互动，x个主体共得到x(x-1)次计数。第二步判断是否存在重复计数：单循环场景下每两个主体的互动只会发生1次，但是刚才的计数里每对互动都被算了2次（两个主体各算1次），所以要除以2得到实际总次数；双循环场景下每两个主体的互动会发生2次，刚好和重复计数的次数相等，所以不需要额外除以2，直接用x(x-1)即可。
【解析】
1. 单循环问题推导：
设参赛队伍有x队，每支队伍要和其余(x-1)支队伍各比赛1次，若直接统计共得到$x(x-1)$次记录，由于每两队的比赛被重复记录了2次，因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
2. 双循环问题推导：
设参赛队伍有x队，每两队要进行2次比赛，此时之前统计的$x(x-1)$次记录中，每两队的2次比赛刚好对应两次记录，没有重复计数，因此总比赛场数为$x(x-1)$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)$；$x(x-1)$
【知识点】
单循环计数公式，双循环计数公式，代数式推导
【点评】
本题是循环类计数问题的基础公式推导，核心是要区分单双循环场景下是否存在重复计数，掌握该公式后可以快速解决握手、比赛场次、互送礼物等同类实际应用问题。
【难度系数】
0.8
推导循环问题的计数公式时，我们可以分两步思考：第一步先计算不考虑重复时的总计数：每个主体都要和除自己之外的其他(x-1)个主体产生互动，x个主体共得到x(x-1)次计数。第二步判断是否存在重复计数：单循环场景下每两个主体的互动只会发生1次，但是刚才的计数里每对互动都被算了2次（两个主体各算1次），所以要除以2得到实际总次数；双循环场景下每两个主体的互动会发生2次，刚好和重复计数的次数相等，所以不需要额外除以2，直接用x(x-1)即可。
【解析】
1. 单循环问题推导：
设参赛队伍有x队，每支队伍要和其余(x-1)支队伍各比赛1次，若直接统计共得到$x(x-1)$次记录，由于每两队的比赛被重复记录了2次，因此实际总比赛场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
2. 双循环问题推导：
设参赛队伍有x队，每两队要进行2次比赛，此时之前统计的$x(x-1)$次记录中，每两队的2次比赛刚好对应两次记录，没有重复计数，因此总比赛场数为$x(x-1)$。
【答案】
$\frac{1}{2}x(x-1)$；$x(x-1)$
【知识点】
单循环计数公式，双循环计数公式，代数式推导
【点评】
本题是循环类计数问题的基础公式推导，核心是要区分单双循环场景下是否存在重复计数，掌握该公式后可以快速解决握手、比赛场次、互送礼物等同类实际应用问题。
【难度系数】
0.8
例 2022年北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在“冰立方”进行.参加比赛的每两支队伍之间进行一场比赛,共要比赛45场,共有多少支队伍参加比赛?
分析:第一步:圈数,转化条件
已知量:①单循环问题;②总共进行的比赛场次.
未知量:③参加比赛的队伍的数量(可设为x支).
第二步:画图(如图),梳理关系
其他参赛队伍 1 2 … x-1
x支队伍共要比赛场
“单循环”问题公式
每支队伍要和其他$(x-1)$支队伍比赛一场.
注意:两支队伍之间只需要比赛一场.
由图可得,所有参赛队伍的支数×(所有参赛队伍的支数-1)÷2=总比赛场次.
解:设共有x支队伍参加比赛.
依题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=45$.
整理,得$x^2 -x -90=0$.
解得$x_1=10,x_2=-9$(不符合题意,舍去).
答:共有10支队伍参加比赛.
方法点拨 冰壶比赛采用单循环赛制,任意两支参赛队伍都需交手一场,共计比赛45场.本题是经典握手问题应用题,可设队伍数量为未知数,根据单循环比赛规则列一元二次方程求解.
分析:第一步:圈数,转化条件
已知量:①单循环问题;②总共进行的比赛场次.
未知量:③参加比赛的队伍的数量(可设为x支).
第二步:画图(如图),梳理关系
其他参赛队伍 1 2 … x-1
x支队伍共要比赛场
“单循环”问题公式
每支队伍要和其他$(x-1)$支队伍比赛一场.
注意:两支队伍之间只需要比赛一场.
由图可得,所有参赛队伍的支数×(所有参赛队伍的支数-1)÷2=总比赛场次.
解:设共有x支队伍参加比赛.
依题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=45$.
整理,得$x^2 -x -90=0$.
解得$x_1=10,x_2=-9$(不符合题意,舍去).
答:共有10支队伍参加比赛.
方法点拨 冰壶比赛采用单循环赛制,任意两支参赛队伍都需交手一场,共计比赛45场.本题是经典握手问题应用题,可设队伍数量为未知数,根据单循环比赛规则列一元二次方程求解.
答案
解：设共有$x$支队伍参加比赛。
依题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=45$。
整理，得$x^2 - x - 90 = 0$。
解得$x_1=10$，$x_2=-9$（不符合题意，舍去）。
答：共有10支队伍参加比赛。
依题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=45$。
整理，得$x^2 - x - 90 = 0$。
解得$x_1=10$，$x_2=-9$（不符合题意，舍去）。
答：共有10支队伍参加比赛。
解析
【分析】
这是单循环比赛类的实际应用题，解题思路如下：首先明确单循环赛制规则：每两支队伍之间仅比赛1场。①设参赛队伍数量为x支，每支队伍需要和其余(x-1)支队伍各赛1场，若直接用x乘(x-1)，每一场比赛会被重复计算2次，因此总比赛场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；②已知总比赛场次为45场，可据此列出一元二次方程；③求解方程后，队伍数量不能为负数，因此要舍去不符合实际意义的根，最终得到参赛队伍数量。
【解析】
解：设共有$x$支队伍参加比赛。
依题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=45$。
整理，得$x^2 - x - 90 = 0$。
解得$x_1=10$，$x_2=-9$（不符合题意，舍去）。
答：共有10支队伍参加比赛。
【答案】
共有10支队伍参加比赛。
【知识点】
一元二次方程应用，单循环问题计算，解的合理性检验
【点评】
本题是经典“握手问题”的变式，解题核心是掌握单循环赛制下总场次的计算逻辑，避免出现漏除以2的错误，同时要注意结合实际场景对方程的解进行取舍，属于贴近生活的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
这是单循环比赛类的实际应用题，解题思路如下：首先明确单循环赛制规则：每两支队伍之间仅比赛1场。①设参赛队伍数量为x支，每支队伍需要和其余(x-1)支队伍各赛1场，若直接用x乘(x-1)，每一场比赛会被重复计算2次，因此总比赛场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；②已知总比赛场次为45场，可据此列出一元二次方程；③求解方程后，队伍数量不能为负数，因此要舍去不符合实际意义的根，最终得到参赛队伍数量。
【解析】
解：设共有$x$支队伍参加比赛。
依题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=45$。
整理，得$x^2 - x - 90 = 0$。
解得$x_1=10$，$x_2=-9$（不符合题意，舍去）。
答：共有10支队伍参加比赛。
【答案】
共有10支队伍参加比赛。
【知识点】
一元二次方程应用，单循环问题计算，解的合理性检验
【点评】
本题是经典“握手问题”的变式，解题核心是掌握单循环赛制下总场次的计算逻辑，避免出现漏除以2的错误，同时要注意结合实际场景对方程的解进行取舍，属于贴近生活的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
