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1. 如图，在$\odot O$中，弦$AB=8\ \mathrm{cm}$，$OC ⊥ AB$，垂足为$C$，$OC=3\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径长为（
A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$7\ \mathrm{cm}$
B
）A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$7\ \mathrm{cm}$
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题首先应用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，先求出弦AB的一半AC的长度，再连接半径OA，构造出Rt△OAC，最后利用勾股定理计算半径OA的长度即可得到答案。
【解析】
连接OA，
∵OC⊥AB，AB=8cm，根据垂径定理，
∴AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4cm，
在Rt△OAC中，OC=3cm，AC=4cm，由勾股定理可得：
OA = $\sqrt{AC^2 + OC^2}$ = $\sqrt{4^2 + 3^2}$ = $\sqrt{16+9}$ = $\sqrt{25}$ = 5cm，
即⊙O的半径长为5cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是通过作弦心距、连接半径构造直角三角形，这是圆中求解线段长度的常用辅助线作法。
【难度系数】
0.8
解决本题首先应用垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，先求出弦AB的一半AC的长度，再连接半径OA，构造出Rt△OAC，最后利用勾股定理计算半径OA的长度即可得到答案。
【解析】
连接OA，
∵OC⊥AB，AB=8cm，根据垂径定理，
∴AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4cm，
在Rt△OAC中，OC=3cm，AC=4cm，由勾股定理可得：
OA = $\sqrt{AC^2 + OC^2}$ = $\sqrt{4^2 + 3^2}$ = $\sqrt{16+9}$ = $\sqrt{25}$ = 5cm，
即⊙O的半径长为5cm，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题的关键是通过作弦心距、连接半径构造直角三角形，这是圆中求解线段长度的常用辅助线作法。
【难度系数】
0.8
2. 如图,有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知大小,用锯子去锯这根木材,锯口深$CD=2\ \mathrm{dm}$,锯道$AB=12\ \mathrm{dm}$,则这根圆柱形木材的半径长为 (
A.$20\ \mathrm{dm}$
B.$12\ \mathrm{dm}$
C.$10\ \mathrm{dm}$
D.$8\ \mathrm{dm}$
C
)A.$20\ \mathrm{dm}$
B.$12\ \mathrm{dm}$
C.$10\ \mathrm{dm}$
D.$8\ \mathrm{dm}$
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道圆的实际应用类题目，考查垂径定理的应用，解题思路如下：1. 遇到圆中弦长相关的计算问题，首先考虑用垂径定理，先连接圆心与弦的端点得到半径，过圆心作弦的垂线，可得到弦长的一半；2. 设半径为未知数，用含未知数的式子表示出圆心到弦的距离；3. 在构造出的直角三角形中，利用勾股定理列方程，解出未知数即可得到半径长度。
【解析】
设圆柱形木材的圆心为$O$，连接$OA$。
由题意可知$OC⊥ AB$，根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{dm}$
设圆的半径$OA=r\ \mathrm{dm}$，则$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{dm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$
代入数值列方程：
$r^2=(r-2)^2+6^2$
展开计算：
$r^2=r^2-4r+4+36$
移项化简得：$4r=40$，解得$r=10$。
即这根圆柱形木材的半径为$10\ \mathrm{dm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的典型应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将几何计算转化为方程问题求解，要熟练掌握此类圆相关问题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
这是一道圆的实际应用类题目，考查垂径定理的应用，解题思路如下：1. 遇到圆中弦长相关的计算问题，首先考虑用垂径定理，先连接圆心与弦的端点得到半径，过圆心作弦的垂线，可得到弦长的一半；2. 设半径为未知数，用含未知数的式子表示出圆心到弦的距离；3. 在构造出的直角三角形中，利用勾股定理列方程，解出未知数即可得到半径长度。
【解析】
设圆柱形木材的圆心为$O$，连接$OA$。
由题意可知$OC⊥ AB$，根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{dm}$
设圆的半径$OA=r\ \mathrm{dm}$，则$OD=OC-CD=(r-2)\ \mathrm{dm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=OD^2+AD^2$
代入数值列方程：
$r^2=(r-2)^2+6^2$
展开计算：
$r^2=r^2-4r+4+36$
移项化简得：$4r=40$，解得$r=10$。
即这根圆柱形木材的半径为$10\ \mathrm{dm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理在实际问题中的典型应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将几何计算转化为方程问题求解，要熟练掌握此类圆相关问题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7
3. 如图,已知点 O,C 在直线 m 的同一侧,作$\odot O$交直线 m 于点 A,B. 连接 AC,BC,OA,OB,若点 C 在$\odot O$外,$∠ AOB=110°$,则$∠ C$的度数可能是 (
A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
A
)A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，先求出弧AB对应的圆周角度数。再明确同弧所对的角的大小规律：圆外角＜圆周角＜圆内角，结合点C在圆外的条件，即可得到∠C的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
设弧AB在$\odot O$上所对的圆周角为$∠ D$，根据圆周角定理可得：
$∠ D=\frac{1}{2}∠ AOB$
已知$∠ AOB=110°$，代入得$∠ D=\frac{1}{2}×110°=55°$。
因为点C在$\odot O$外，根据同弧所对的圆外角小于圆周角的性质，可得$∠ C＜∠ D=55°$。
观察选项，只有$50°＜55°$，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，圆外角性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题关键是掌握同弧所对的圆心角、圆周角、圆外角的大小关系，通过确定角的取值范围快速选出答案，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，先求出弧AB对应的圆周角度数。再明确同弧所对的角的大小规律：圆外角＜圆周角＜圆内角，结合点C在圆外的条件，即可得到∠C的取值范围，最后对照选项选出符合范围的答案即可。
【解析】
设弧AB在$\odot O$上所对的圆周角为$∠ D$，根据圆周角定理可得：
$∠ D=\frac{1}{2}∠ AOB$
已知$∠ AOB=110°$，代入得$∠ D=\frac{1}{2}×110°=55°$。
因为点C在$\odot O$外，根据同弧所对的圆外角小于圆周角的性质，可得$∠ C＜∠ D=55°$。
观察选项，只有$50°＜55°$，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理，圆外角性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题关键是掌握同弧所对的圆心角、圆周角、圆外角的大小关系，通过确定角的取值范围快速选出答案，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，EF，CD是$\odot O$的两条直径，A是$\overset{\frown}{DF}$的中点，若$∠ EOD=32°$，则$∠ CDA$的度数是（
A.$37°$
B.$74°$
C.$53°$
D.$63°$
C
）A.$37°$
B.$74°$
C.$53°$
D.$63°$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先利用对顶角相等得到∠COF的度数，再结合直径对应的平角求出∠DOF的度数；根据A是弧DF的中点，可得到弧AF的度数；接下来求出弧AC的度数，最后利用圆周角定理（圆周角的度数等于其所对弧度数的一半）即可计算出∠CDA的度数，也可通过等腰三角形内角和性质推导结果。
【解析】
解：
∵EF、CD是$\odot O$的直径，$∠ EOD=32°$
∴$∠ COF=∠ EOD=32°$（对顶角相等），$∠ DOF=180°-∠ EOD=180°-32°=148°$
∵A是$\overset{\frown}{DF}$的中点
∴$\overset{\frown}{AF}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DF}$，$\overset{\frown}{AF}$的度数为$\frac{1}{2}×148°=74°$
∵$\overset{\frown}{CF}$的度数等于对应圆心角$∠ COF$的度数，即$32°$
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数为$74°+32°=106°$
∵$∠ CDA$是$\overset{\frown}{AC}$对应的圆周角
∴$∠ CDA=\frac{1}{2}×106°=53°$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系，对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查圆的基本性质的综合应用，解题的核心是找准角度、弧长之间的对应关系，熟练运用相关性质逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.75
解题时先利用对顶角相等得到∠COF的度数，再结合直径对应的平角求出∠DOF的度数；根据A是弧DF的中点，可得到弧AF的度数；接下来求出弧AC的度数，最后利用圆周角定理（圆周角的度数等于其所对弧度数的一半）即可计算出∠CDA的度数，也可通过等腰三角形内角和性质推导结果。
【解析】
解：
∵EF、CD是$\odot O$的直径，$∠ EOD=32°$
∴$∠ COF=∠ EOD=32°$（对顶角相等），$∠ DOF=180°-∠ EOD=180°-32°=148°$
∵A是$\overset{\frown}{DF}$的中点
∴$\overset{\frown}{AF}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DF}$，$\overset{\frown}{AF}$的度数为$\frac{1}{2}×148°=74°$
∵$\overset{\frown}{CF}$的度数等于对应圆心角$∠ COF$的度数，即$32°$
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数为$74°+32°=106°$
∵$∠ CDA$是$\overset{\frown}{AC}$对应的圆周角
∴$∠ CDA=\frac{1}{2}×106°=53°$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系，对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查圆的基本性质的综合应用，解题的核心是找准角度、弧长之间的对应关系，熟练运用相关性质逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.75
5. 如图，AB为$\odot O$的直径，C，D为圆上两点，且$CD=CB$，若$∠ DAB=50°$，则$∠ ABC$的度数为（
A.$60°$
B.$65°$
C.$50°$
D.$55°$
B
）A.$60°$
B.$65°$
C.$50°$
D.$55°$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件联想圆的相关性质：①AB是直径，优先考虑直径所对的圆周角为直角，可构造直角三角形求解角度；②相等的弦对应相等的弧，可得到弧CD与弧CB的等量关系。具体思路：先由∠DAB的度数求出对应的弧的度数，再结合弧CD=弧CB求出弧CB的度数，最后利用直角三角形的性质和圆周角定理求出∠ABC的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ DAB=50°$，
∴$∠ ABD=90°-50°=40°$，
∴弧AD的度数为$2×40°=80°$（圆周角的度数等于所对弧度数的一半）。
∵AB为直径，半圆对应的弧度数为$180°$，
∴$\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{CB}=180°-\overset{\frown}{AD}=180°-80°=100°$。
又
∵$CD=CB$，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$（相等的弦所对的劣弧相等），
∴$\overset{\frown}{CB}=\frac{1}{2}×100°=50°$，
∴$∠ CAB=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{CB}=25°$。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-25°=65°$。
【答案】
B
【知识点】
直径的性质；弦与弧的关系；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基本性质的常规综合题，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、弦与弧的对应关系、圆周角定理等核心知识点，通过构造直角三角形结合弧的等量关系求解角度，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件联想圆的相关性质：①AB是直径，优先考虑直径所对的圆周角为直角，可构造直角三角形求解角度；②相等的弦对应相等的弧，可得到弧CD与弧CB的等量关系。具体思路：先由∠DAB的度数求出对应的弧的度数，再结合弧CD=弧CB求出弧CB的度数，最后利用直角三角形的性质和圆周角定理求出∠ABC的度数。
【解析】
解：连接BD，
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ DAB=50°$，
∴$∠ ABD=90°-50°=40°$，
∴弧AD的度数为$2×40°=80°$（圆周角的度数等于所对弧度数的一半）。
∵AB为直径，半圆对应的弧度数为$180°$，
∴$\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{CB}=180°-\overset{\frown}{AD}=180°-80°=100°$。
又
∵$CD=CB$，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$（相等的弦所对的劣弧相等），
∴$\overset{\frown}{CB}=\frac{1}{2}×100°=50°$，
∴$∠ CAB=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{CB}=25°$。
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-25°=65°$。
【答案】
B
【知识点】
直径的性质；弦与弧的关系；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基本性质的常规综合题，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、弦与弧的对应关系、圆周角定理等核心知识点，通过构造直角三角形结合弧的等量关系求解角度，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图，已知$△ ABC$，以AB为直径的$\odot O$分别交AC，BC于点D，E，连接DE，且$ED=EC$.
(1)求证:$AB=AC$;
(2)若$AB=4$，$BC=2\sqrt{3}$，求CD的长.
(1)求证:$AB=AC$;
(2)若$AB=4$，$BC=2\sqrt{3}$，求CD的长.
答案
6. (1)$\because\ \ ED=EC$,
$\therefore\ \ ∠ EDC=∠ C$.
$\because\ \ ∠ EDC+∠ ADE=180°,∠ B+∠ ADE=180°$,
$\therefore\ \ ∠ EDC=∠ B$.
$\therefore\ \ ∠ B=∠ C$.
$\therefore\ \ AB=AC$.
(2)连接BD.
$\because\ \ AB$为$\odot O$的直径,
$\therefore\ \ ∠ ADB=90°$.
$\because\ \ ∠ ADB+∠ BDC=180°$,
$\therefore\ \ ∠ BDC=180°-∠ ADB=90°$.
设$CD=a$,
由(1)知$AC=AB=4$,则$AD=4-a$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,由勾股定理,得
$BD^2=AB^2-AD^2=4^2-(4-a)^2$.
在$\mathrm{Rt}△ CBD$中,由勾股定理,得
$BD^2=BC^2-CD^2=(2\sqrt{3})^2-a^2$.
$\therefore\ \ 4^2-(4-a)^2=(2\sqrt{3})^2-a^2$.
解得$a=\dfrac{3}{2}$,即$CD$的长为$\dfrac{3}{2}$.
$\therefore\ \ ∠ EDC=∠ C$.
$\because\ \ ∠ EDC+∠ ADE=180°,∠ B+∠ ADE=180°$,
$\therefore\ \ ∠ EDC=∠ B$.
$\therefore\ \ ∠ B=∠ C$.
$\therefore\ \ AB=AC$.
(2)连接BD.
$\because\ \ AB$为$\odot O$的直径,
$\therefore\ \ ∠ ADB=90°$.
$\because\ \ ∠ ADB+∠ BDC=180°$,
$\therefore\ \ ∠ BDC=180°-∠ ADB=90°$.
设$CD=a$,
由(1)知$AC=AB=4$,则$AD=4-a$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,由勾股定理,得
$BD^2=AB^2-AD^2=4^2-(4-a)^2$.
在$\mathrm{Rt}△ CBD$中,由勾股定理,得
$BD^2=BC^2-CD^2=(2\sqrt{3})^2-a^2$.
$\therefore\ \ 4^2-(4-a)^2=(2\sqrt{3})^2-a^2$.
解得$a=\dfrac{3}{2}$,即$CD$的长为$\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
(1)要证明$AB=AC$，只需证明$∠ B=∠ C$即可。已知$ED=EC$，根据等腰三角形等边对等角可得$∠ EDC=∠ C$；再结合圆内接四边形的对角互补，可得$∠ B$与$∠ ADE$互补，而$∠ EDC$与$∠ ADE$也互补，根据同角的补角相等推出$∠ EDC=∠ B$，即可得到$∠ B=∠ C$，从而证得$AB=AC$。
(2)要求$CD$的长，$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，连接$BD$可得$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。此时在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CBD$中，$BD$为公共边，可分别用勾股定理表示出$BD^2$，建立关于$CD$的方程求解即可。
【解析】
(1)证明：
$\because\ ED=EC$，
$\therefore\ ∠ EDC=∠ C$。
$\because$ 四边形$ABED$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore\ ∠ B+∠ ADE=180°$，
又$\because\ ∠ EDC+∠ ADE=180°$，
$\therefore\ ∠ EDC=∠ B$，
$\therefore\ ∠ B=∠ C$，
$\therefore\ AB=AC$。
(2)解：连接$BD$，
$\because\ AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore\ ∠ ADB=90°$，
$\therefore\ ∠ BDC=180°-∠ ADB=90°$。
设$CD=a$，由(1)知$AC=AB=4$，则$AD=4-a$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=4^2-(4-a)^2$，
在$\mathrm{Rt}△ CBD$中，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2-CD^2=(2\sqrt{3})^2-a^2$，
$\therefore\ 4^2-(4-a)^2=(2\sqrt{3})^2-a^2$，
展开计算得$16-(16-8a+a^2)=12-a^2$，
化简得$8a=12$，
解得$a=\dfrac{3}{2}$，即$CD$的长为$\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与等腰三角形、直角三角形结合的常规题型，第一问通过角的等量代换推导等腰三角形，第二问利用直径构造直角三角形，借助公共边建立方程求解，解题时要熟练掌握圆的基本性质和常见辅助线的作法。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$AB=AC$，只需证明$∠ B=∠ C$即可。已知$ED=EC$，根据等腰三角形等边对等角可得$∠ EDC=∠ C$；再结合圆内接四边形的对角互补，可得$∠ B$与$∠ ADE$互补，而$∠ EDC$与$∠ ADE$也互补，根据同角的补角相等推出$∠ EDC=∠ B$，即可得到$∠ B=∠ C$，从而证得$AB=AC$。
(2)要求$CD$的长，$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，连接$BD$可得$∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$。此时在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CBD$中，$BD$为公共边，可分别用勾股定理表示出$BD^2$，建立关于$CD$的方程求解即可。
【解析】
(1)证明：
$\because\ ED=EC$，
$\therefore\ ∠ EDC=∠ C$。
$\because$ 四边形$ABED$是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore\ ∠ B+∠ ADE=180°$，
又$\because\ ∠ EDC+∠ ADE=180°$，
$\therefore\ ∠ EDC=∠ B$，
$\therefore\ ∠ B=∠ C$，
$\therefore\ AB=AC$。
(2)解：连接$BD$，
$\because\ AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore\ ∠ ADB=90°$，
$\therefore\ ∠ BDC=180°-∠ ADB=90°$。
设$CD=a$，由(1)知$AC=AB=4$，则$AD=4-a$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=4^2-(4-a)^2$，
在$\mathrm{Rt}△ CBD$中，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2-CD^2=(2\sqrt{3})^2-a^2$，
$\therefore\ 4^2-(4-a)^2=(2\sqrt{3})^2-a^2$，
展开计算得$16-(16-8a+a^2)=12-a^2$，
化简得$8a=12$，
解得$a=\dfrac{3}{2}$，即$CD$的长为$\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与等腰三角形、直角三角形结合的常规题型，第一问通过角的等量代换推导等腰三角形，第二问利用直径构造直角三角形，借助公共边建立方程求解，解题时要熟练掌握圆的基本性质和常见辅助线的作法。
【难度系数】
0.7
