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9. 如图,若将半径为6 cm 的圆形纸片剪去三分之一,将剩下的部分围成一个圆锥的侧面,则围成圆锥的全面积为
$40π$
cm².(结果保留π)答案
9. $40π$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路逐步推导：首先明确剪去三分之一后，剩余部分是占原圆$\frac{2}{3}$的扇形，该扇形就是圆锥的侧面，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形面积等于圆锥的侧面积；接下来先计算剩余扇形的侧面积和弧长，再通过弧长求出圆锥底面半径，算出底面积；最后将侧面积和底面积相加即可得到圆锥的全面积。
【解析】
1. 计算圆锥的侧面积：
原圆形纸片半径$R=6\mathrm{cm}$，原圆面积为$S_{\mathrm{原}}=π R^2=π×6^2=36π\ \mathrm{cm}^2$，
剪去$\frac{1}{3}$后，剩余扇形面积（即圆锥侧面积）：
$S_{\mathrm{侧}}=36π×(1-\frac{1}{3})=24π\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算圆锥底面周长：
原圆周长为$C_{\mathrm{原}}=2π R=2π×6=12π\ \mathrm{cm}$，
剩余扇形的弧长等于圆锥底面周长：
$C_{\mathrm{底}}=12π×(1-\frac{1}{3})=8π\ \mathrm{cm}$。
3. 求圆锥底面半径$r$：
由底面周长公式$C_{\mathrm{底}}=2π r$，代入$C_{\mathrm{底}}=8π$，
得$2π r=8π$，解得$r=4\mathrm{cm}$。
4. 计算圆锥全面积：
圆锥底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$，
全面积$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=24π+16π=40π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$40π$
【知识点】
扇形面积计算，圆锥侧面积计算，圆锥全面积计算
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与扇形的对应关系，解题核心是抓住“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一关键对应点，是圆锥面积计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按照以下思路逐步推导：首先明确剪去三分之一后，剩余部分是占原圆$\frac{2}{3}$的扇形，该扇形就是圆锥的侧面，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形面积等于圆锥的侧面积；接下来先计算剩余扇形的侧面积和弧长，再通过弧长求出圆锥底面半径，算出底面积；最后将侧面积和底面积相加即可得到圆锥的全面积。
【解析】
1. 计算圆锥的侧面积：
原圆形纸片半径$R=6\mathrm{cm}$，原圆面积为$S_{\mathrm{原}}=π R^2=π×6^2=36π\ \mathrm{cm}^2$，
剪去$\frac{1}{3}$后，剩余扇形面积（即圆锥侧面积）：
$S_{\mathrm{侧}}=36π×(1-\frac{1}{3})=24π\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算圆锥底面周长：
原圆周长为$C_{\mathrm{原}}=2π R=2π×6=12π\ \mathrm{cm}$，
剩余扇形的弧长等于圆锥底面周长：
$C_{\mathrm{底}}=12π×(1-\frac{1}{3})=8π\ \mathrm{cm}$。
3. 求圆锥底面半径$r$：
由底面周长公式$C_{\mathrm{底}}=2π r$，代入$C_{\mathrm{底}}=8π$，
得$2π r=8π$，解得$r=4\mathrm{cm}$。
4. 计算圆锥全面积：
圆锥底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$，
全面积$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=24π+16π=40π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$40π$
【知识点】
扇形面积计算，圆锥侧面积计算，圆锥全面积计算
【点评】
本题考查圆锥侧面展开图与扇形的对应关系，解题核心是抓住“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一关键对应点，是圆锥面积计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图,粮仓的顶部是圆锥形,这个圆锥的底面圆的半径为4 m,高为3 m.
(1)求这个圆锥的母线长;
(2)为了防雨,需要在它的顶部铺上油毡,所需油毡的面积至少是多少?(结果保留π)
(1)求这个圆锥的母线长;
(2)为了防雨,需要在它的顶部铺上油毡,所需油毡的面积至少是多少?(结果保留π)
答案
10. (1)母线长为 5 m.
(2)所需油毡的面积至少是 $20π\ \mathrm{m}^2$.
(2)所需油毡的面积至少是 $20π\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
对于第(1)问，圆锥的底面半径、高、母线恰好构成直角三角形，其中母线为斜边，因此可利用勾股定理计算母线长；对于第(2)问，粮仓顶部铺油毡只需要覆盖圆锥侧面，因此所求油毡最小面积就是圆锥的侧面积，求出母线长后，代入圆锥侧面积公式即可计算结果。
【解析】
(1) 设圆锥的母线长为$ l $，已知圆锥底面半径$ r=4\ \mathrm{m} $，高$ h=3\ \mathrm{m} $。
根据圆锥的性质，底面半径、高、母线满足勾股定理：
$ l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{m} $
(2) 所需油毡的最小面积等于圆锥的侧面积，圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，将$ r=4\ \mathrm{m} $，$ l=5\ \mathrm{m} $代入得：
$ S_{\mathrm{侧}}=π × 4 × 5=20π\ \mathrm{m}^2 $
【答案】
(1) 母线长为$ 5\ \mathrm{m} $；
(2) 所需油毡的面积至少是$ 20π\ \mathrm{m}^2 $
【知识点】
勾股定理，圆锥的特征，圆锥侧面积计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础计算题，解题的关键是理清圆锥底面半径、高、母线的数量关系，牢记圆锥侧面积公式，结合实际需求选择正确的计算方式即可。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，圆锥的底面半径、高、母线恰好构成直角三角形，其中母线为斜边，因此可利用勾股定理计算母线长；对于第(2)问，粮仓顶部铺油毡只需要覆盖圆锥侧面，因此所求油毡最小面积就是圆锥的侧面积，求出母线长后，代入圆锥侧面积公式即可计算结果。
【解析】
(1) 设圆锥的母线长为$ l $，已知圆锥底面半径$ r=4\ \mathrm{m} $，高$ h=3\ \mathrm{m} $。
根据圆锥的性质，底面半径、高、母线满足勾股定理：
$ l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{m} $
(2) 所需油毡的最小面积等于圆锥的侧面积，圆锥侧面积公式为$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，将$ r=4\ \mathrm{m} $，$ l=5\ \mathrm{m} $代入得：
$ S_{\mathrm{侧}}=π × 4 × 5=20π\ \mathrm{m}^2 $
【答案】
(1) 母线长为$ 5\ \mathrm{m} $；
(2) 所需油毡的面积至少是$ 20π\ \mathrm{m}^2 $
【知识点】
勾股定理，圆锥的特征，圆锥侧面积计算
【点评】
本题是圆锥相关的基础计算题，解题的关键是理清圆锥底面半径、高、母线的数量关系，牢记圆锥侧面积公式，结合实际需求选择正确的计算方式即可。
【难度系数】
0.8
11. 如图,扇形的圆心角∠AOB=α,半径OA=6,把此扇形做成圆锥后,其底面半径为2.
(1)求α;
(2)C是OA上的一点,若OC=4,求图中阴影部分的面积.
(1)求α;
(2)C是OA上的一点,若OC=4,求图中阴影部分的面积.
答案
11. (1)设$∠AOB=n°$,
根据题意,得 $2π×2=\frac{n×π×6}{180}$.
解得 $n=120$.
所以 $α$ 为 $120°$.
(2)阴影部分的面积为 $12π-6\sqrt{3}$.
根据题意,得 $2π×2=\frac{n×π×6}{180}$.
解得 $n=120$.
所以 $α$ 为 $120°$.
(2)阴影部分的面积为 $12π-6\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1)解决第一问的核心是掌握圆锥侧面展开图的性质：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用这个等量关系列方程即可求出圆心角α的度数。
(2)解决第二问的思路是用割补法求不规则图形面积：阴影部分面积等于扇形OAB的面积减去三角形OBC的面积，分别代入扇形面积公式和两边夹一角的三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)设∠AOB的度数为$n°$，
因为圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，
所以列方程得 $2π×2=\frac{n×π×6}{180}$，
约去$π$后化简得 $4=\frac{6n}{180}$，
解得 $n=120$，即$α=120°$。
(2)先计算扇形$OAB$的面积：
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπR^2}{360}$，代入$n=120$，$R=6$得：
$S_{扇形OAB}=\frac{120×π×6^2}{360}=12π$。
再计算$△ OBC$的面积：
已知$OB=OA=6$，$OC=4$，$∠ BOC=120°$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$得：
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×OC×OB×\sin120°=\frac{1}{2}×4×6×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
因此阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形OAB}-S_{△OBC}=12π-6\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$α=120°$；(2)阴影部分的面积为$12π-6\sqrt{3}$
【知识点】
圆锥展开图性质；扇形相关计算；不规则面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是建立圆锥和对应展开扇形的等量关系，不规则图形面积通过割补法转化为规则图形的面积和差求解，掌握基础公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1)解决第一问的核心是掌握圆锥侧面展开图的性质：圆锥侧面展开得到的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用这个等量关系列方程即可求出圆心角α的度数。
(2)解决第二问的思路是用割补法求不规则图形面积：阴影部分面积等于扇形OAB的面积减去三角形OBC的面积，分别代入扇形面积公式和两边夹一角的三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)设∠AOB的度数为$n°$，
因为圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，
所以列方程得 $2π×2=\frac{n×π×6}{180}$，
约去$π$后化简得 $4=\frac{6n}{180}$，
解得 $n=120$，即$α=120°$。
(2)先计算扇形$OAB$的面积：
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπR^2}{360}$，代入$n=120$，$R=6$得：
$S_{扇形OAB}=\frac{120×π×6^2}{360}=12π$。
再计算$△ OBC$的面积：
已知$OB=OA=6$，$OC=4$，$∠ BOC=120°$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$得：
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×OC×OB×\sin120°=\frac{1}{2}×4×6×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。
因此阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形OAB}-S_{△OBC}=12π-6\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$α=120°$；(2)阴影部分的面积为$12π-6\sqrt{3}$
【知识点】
圆锥展开图性质；扇形相关计算；不规则面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是建立圆锥和对应展开扇形的等量关系，不规则图形面积通过割补法转化为规则图形的面积和差求解，掌握基础公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
