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1. 如图，$\odot O$的直径$AB$与弦$DE$交于点$C$，且$CD=CO$，若$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角的度数为$40°$，则$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为（
A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
C
）A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决本题，首先考虑连接OD、OE构造圆的半径，将弧的度数转化为圆心角的度数。已知CD=CO，可得△CDO为等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角、三角形外角性质以及同圆半径相等得到△ODE也为等腰三角形，逐步推导即可求出弧AE对应的圆心角度数。
【解析】
连接OD、OE：
1. 由$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角为$40°$，可得$∠ AOD=40°$。
2. 因为$CD=CO$，所以$△ CDO$是等腰三角形，根据等边对等角可得$∠ D=∠ AOD=40°$。
3. 因为OD、OE都是$\odot O$的半径，所以$OD=OE$，$△ ODE$为等腰三角形，因此$∠ E=∠ D=40°$。
4. $∠ OCE$是$△ OCD$的外角，根据三角形外角性质：$∠ OCE=∠ D+∠ COD=40°+40°=80°$。
5. 在$△ OCE$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ COE=180°-∠ OCE-∠ E=180°-80°-40°=60°$，即$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角为$60°$。
【答案】
C
【知识点】
圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，解题的关键是通过连接半径构造等腰三角形，结合三角形的角度相关性质进行推导，需熟练掌握此类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先考虑连接OD、OE构造圆的半径，将弧的度数转化为圆心角的度数。已知CD=CO，可得△CDO为等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角、三角形外角性质以及同圆半径相等得到△ODE也为等腰三角形，逐步推导即可求出弧AE对应的圆心角度数。
【解析】
连接OD、OE：
1. 由$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角为$40°$，可得$∠ AOD=40°$。
2. 因为$CD=CO$，所以$△ CDO$是等腰三角形，根据等边对等角可得$∠ D=∠ AOD=40°$。
3. 因为OD、OE都是$\odot O$的半径，所以$OD=OE$，$△ ODE$为等腰三角形，因此$∠ E=∠ D=40°$。
4. $∠ OCE$是$△ OCD$的外角，根据三角形外角性质：$∠ OCE=∠ D+∠ COD=40°+40°=80°$。
5. 在$△ OCE$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ COE=180°-∠ OCE-∠ E=180°-80°-40°=60°$，即$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角为$60°$。
【答案】
C
【知识点】
圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题型，解题的关键是通过连接半径构造等腰三角形，结合三角形的角度相关性质进行推导，需熟练掌握此类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6
2. 如图，M是$\overset{\frown}{AB}$的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设$\odot O$的半径为4 cm，MN = $4\sqrt{3}$ cm.
(1)求圆心O到弦MN的距离；
(2)求∠ACN的度数.
(1)求圆心O到弦MN的距离；
(2)求∠ACN的度数.
答案
2. (1)如图,过点O作$OD ⊥ MN$,垂足为D,连接OM.
$\therefore MD=ND.$
$\because MN=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm},$
$\therefore MD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}.$
又 $OM=4\ \mathrm{cm},$
$\therefore OD=\sqrt{OM^2-MD^2}=2(\mathrm{cm}),$
即圆心O到弦MN的距离为2 cm.
(2) $∠ ACN=120°.$
解析
【分析】
(1) 求圆心到弦MN的距离，可根据垂径定理的常用辅助线思路：过圆心作弦的垂线，连接半径构造直角三角形，先利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出弦心距。
(2) 先在第一问得到的Rt△OMD中，根据边长关系求出∠OMN的度数；再结合M是弧AB中点的条件，由垂径定理推论可知OM垂直于弦AB，得到AB与OM的夹角为90°，进而求出∠MCB的度数，最后利用邻补角的关系即可求出∠ACN的度数。
【解析】
(1) 过点O作$OD ⊥ MN$，垂足为D，连接OM。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$MD=ND$。
已知$MN=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，所以$MD=\frac{1}{2}MN=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
又$\odot O$的半径$OM=4\ \mathrm{cm}$，在Rt△OMD中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OM^2-MD^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16-12}=2\ \mathrm{cm}$
即圆心O到弦MN的距离为2 cm。
(2) 在Rt△OMD中，$OD=2\ \mathrm{cm}$，$OM=4\ \mathrm{cm}$，即OD是OM的一半，因此直角边OD所对的角$∠ OMD=30°$。
因为M是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据垂径定理的推论，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以$OM ⊥ AB$，可得$∠ MCB=90°-∠ OMD=60°$。
$∠ ACN$与$∠ MCB$是邻补角，因此$∠ ACN=180°-60°=120°$。
【答案】
2. (1)如图,过点O作$OD ⊥ MN$,垂足为D,连接OM.
圆心O到弦MN的距离为2 cm。
(2) $∠ ACN=120°.$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧中点的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的典型应用题，解题核心是掌握“过圆心作弦的垂线”这类常用辅助线的作法，结合垂径定理和勾股定理即可解决圆中线段、角度的计算问题，需要熟练掌握相关定理的应用方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求圆心到弦MN的距离，可根据垂径定理的常用辅助线思路：过圆心作弦的垂线，连接半径构造直角三角形，先利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出弦心距。
(2) 先在第一问得到的Rt△OMD中，根据边长关系求出∠OMN的度数；再结合M是弧AB中点的条件，由垂径定理推论可知OM垂直于弦AB，得到AB与OM的夹角为90°，进而求出∠MCB的度数，最后利用邻补角的关系即可求出∠ACN的度数。
【解析】
(1) 过点O作$OD ⊥ MN$，垂足为D，连接OM。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$MD=ND$。
已知$MN=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，所以$MD=\frac{1}{2}MN=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
又$\odot O$的半径$OM=4\ \mathrm{cm}$，在Rt△OMD中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OM^2-MD^2}=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{16-12}=2\ \mathrm{cm}$
即圆心O到弦MN的距离为2 cm。
(2) 在Rt△OMD中，$OD=2\ \mathrm{cm}$，$OM=4\ \mathrm{cm}$，即OD是OM的一半，因此直角边OD所对的角$∠ OMD=30°$。
因为M是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据垂径定理的推论，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以$OM ⊥ AB$，可得$∠ MCB=90°-∠ OMD=60°$。
$∠ ACN$与$∠ MCB$是邻补角，因此$∠ ACN=180°-60°=120°$。
【答案】
2. (1)如图,过点O作$OD ⊥ MN$,垂足为D,连接OM.
圆心O到弦MN的距离为2 cm。
(2) $∠ ACN=120°.$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧中点的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的典型应用题，解题核心是掌握“过圆心作弦的垂线”这类常用辅助线的作法，结合垂径定理和勾股定理即可解决圆中线段、角度的计算问题，需要熟练掌握相关定理的应用方法。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，P，C是$\odot O$上的点，$\overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PC}$，弦PC交AB于点D，连接PA，OC.
(1)求证：$∠ A=∠ C$；
(2)若$OD=DC$，求$∠ A$的度数.
(1)求证：$∠ A=∠ C$；
(2)若$OD=DC$，求$∠ A$的度数.
答案
3. (1)如图,连接OP.
$\because \overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PC},$
$\therefore PA=PC.$
又 $OA=OC,OP=OP,$
$\therefore △ POA ≌ △ POC.$
$\therefore ∠ A=∠ C.$
(2)设$∠ A=∠ C=x°.$
$\because OA=OP,$
$\therefore ∠ A=∠ OPA=x°.$
$\therefore ∠ POB=2∠ A=2x°.$
$\because OD=DC,$
$\therefore ∠ DOC=∠ C=x°.$
$\because OP=OC,$
$\therefore ∠ OPC=∠ C=x°.$
在$△ POC$中,$x+x+2x+x=180,$
解得$x=36.$
$\therefore ∠ A=36°.$
解析
【分析】
(1) 要证明∠A=∠C，已知$\overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PC}$，根据同圆中等弧对等弦可推出PA=PC，又OA和OC都是$\odot O$的半径，长度相等，此时连接公共边OP，即可利用SSS判定证明$△ POA$和$△ POC$全等，全等三角形对应角相等，即可得证∠A=∠C。
(2) 求∠A的度数时，可结合(1)的结论设∠A=∠C=x°，再利用等腰三角形等边对等角的性质、圆周角定理，把$△ POC$的各个内角都用含x的式子表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解，即可得到∠A的度数。
【解析】
(1) 证明：连接OP，
∵$\overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PC}$，
∴PA=PC（同圆中相等的弧所对的弦相等），
又
∵OA=OC（圆的半径相等），OP=OP（公共边），
∴$△ POA ≌ △ POC$（SSS），
∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）。
(2) 解：设∠A=∠C=x°，
∵OA=OP，
∴∠A=∠OPA=x°，
∴∠POB=2∠A=2x°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∵OD=DC，
∴∠DOC=∠C=x°（等腰三角形两底角相等），
∵OP=OC，
∴∠OPC=∠C=x°，
在$△ POC$中，内角和为180°，即$∠OPC+∠C+∠POC=180°$，其中$∠POC=∠POB+∠DOC=2x°+x°=3x°$，代入得：
$x+x+3x=180$，
解得x=36，
∴∠A=36°。
【答案】
(1)如图,连接OP.
$\because \overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PC},$
$\therefore PA=PC.$
又 $OA=OC,OP=OP,$
$\therefore △ POA ≌ △ POC.$
$\therefore ∠ A=∠ C.$
(2)设$∠ A=∠ C=x°.$
$\because OA=OP,$
$\therefore ∠ A=∠ OPA=x°.$
$\therefore ∠ POB=2∠ A=2x°.$
$\because OD=DC,$
$\therefore ∠ DOC=∠ C=x°.$
$\because OP=OC,$
$\therefore ∠ OPC=∠ C=x°.$
在$△ POC$中,$x+x+2x+x=180,$
解得$x=36.$
$\therefore ∠ A=36°.$
【知识点】
等弧的性质，全等三角形判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，既考查了圆的基本性质，也结合了三角形全等、等腰三角形性质以及方程思想的应用。第一问构造辅助线得到全等三角形是解题的突破口，第二问通过设未知数将几何角度关系转化为代数方程求解，是几何求角度问题的常用技巧，能较好地考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠A=∠C，已知$\overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PC}$，根据同圆中等弧对等弦可推出PA=PC，又OA和OC都是$\odot O$的半径，长度相等，此时连接公共边OP，即可利用SSS判定证明$△ POA$和$△ POC$全等，全等三角形对应角相等，即可得证∠A=∠C。
(2) 求∠A的度数时，可结合(1)的结论设∠A=∠C=x°，再利用等腰三角形等边对等角的性质、圆周角定理，把$△ POC$的各个内角都用含x的式子表示，最后根据三角形内角和为180°列方程求解，即可得到∠A的度数。
【解析】
(1) 证明：连接OP，
∵$\overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PC}$，
∴PA=PC（同圆中相等的弧所对的弦相等），
又
∵OA=OC（圆的半径相等），OP=OP（公共边），
∴$△ POA ≌ △ POC$（SSS），
∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）。
(2) 解：设∠A=∠C=x°，
∵OA=OP，
∴∠A=∠OPA=x°，
∴∠POB=2∠A=2x°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∵OD=DC，
∴∠DOC=∠C=x°（等腰三角形两底角相等），
∵OP=OC，
∴∠OPC=∠C=x°，
在$△ POC$中，内角和为180°，即$∠OPC+∠C+∠POC=180°$，其中$∠POC=∠POB+∠DOC=2x°+x°=3x°$，代入得：
$x+x+3x=180$，
解得x=36，
∴∠A=36°。
【答案】
(1)如图,连接OP.
$\because \overset{\frown}{PA}=\overset{\frown}{PC},$
$\therefore PA=PC.$
又 $OA=OC,OP=OP,$
$\therefore △ POA ≌ △ POC.$
$\therefore ∠ A=∠ C.$
(2)设$∠ A=∠ C=x°.$
$\because OA=OP,$
$\therefore ∠ A=∠ OPA=x°.$
$\therefore ∠ POB=2∠ A=2x°.$
$\because OD=DC,$
$\therefore ∠ DOC=∠ C=x°.$
$\because OP=OC,$
$\therefore ∠ OPC=∠ C=x°.$
在$△ POC$中,$x+x+2x+x=180,$
解得$x=36.$
$\therefore ∠ A=36°.$
【知识点】
等弧的性质，全等三角形判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，既考查了圆的基本性质，也结合了三角形全等、等腰三角形性质以及方程思想的应用。第一问构造辅助线得到全等三角形是解题的突破口，第二问通过设未知数将几何角度关系转化为代数方程求解，是几何求角度问题的常用技巧，能较好地考查学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
4.如图,A,B,C是$\odot O$的三等分点,$BO=4$,则$∠ AOB=$$°,AB=$.
答案
4. $120\quad 4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先利用三等分点的性质求圆心角∠AOB：圆周对应的总圆心角为360°，三等分圆意味着三个相邻的圆心角相等，直接用360°除以3即可得到∠AOB的度数。再求弦AB的长度：OA、OB均为圆的半径，长度等于已知的BO=4，△OAB是顶角为120°的等腰三角形，可通过作高结合垂径定理、勾股定理计算AB的长度。
【解析】
1. 求∠AOB的度数：
∵A、B、C是⊙O的三等分点，整个圆周对应的圆心角为360°，
∴$∠ AOB = 360° ÷ 3 = 120°$。
2. 求AB的长度：
已知BO=4，⊙O的半径为4，故OA=OB=4，△OAB为等腰三角形。
过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理可得$AD=BD=\frac{1}{2}AB$。
△OAD中，$∠ OAD = \frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴$OD = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}×4=2$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，
∴$AB = 2AD = 2×2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
【答案】
$120$；$4\sqrt{3}$
【知识点】
圆心角计算；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，解题核心是先根据三等分点确定圆心角度数，再结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形边长计算问题，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三等分点的性质求圆心角∠AOB：圆周对应的总圆心角为360°，三等分圆意味着三个相邻的圆心角相等，直接用360°除以3即可得到∠AOB的度数。再求弦AB的长度：OA、OB均为圆的半径，长度等于已知的BO=4，△OAB是顶角为120°的等腰三角形，可通过作高结合垂径定理、勾股定理计算AB的长度。
【解析】
1. 求∠AOB的度数：
∵A、B、C是⊙O的三等分点，整个圆周对应的圆心角为360°，
∴$∠ AOB = 360° ÷ 3 = 120°$。
2. 求AB的长度：
已知BO=4，⊙O的半径为4，故OA=OB=4，△OAB为等腰三角形。
过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理可得$AD=BD=\frac{1}{2}AB$。
△OAD中，$∠ OAD = \frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴$OD = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}×4=2$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，
∴$AB = 2AD = 2×2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
【答案】
$120$；$4\sqrt{3}$
【知识点】
圆心角计算；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，解题核心是先根据三等分点确定圆心角度数，再结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形边长计算问题，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
