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【例2】如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(-1,3),B(-4,4),C(-2,1)$.
(1)作出$△ ABC$关于原点对称的$△ A_1B_1C_1$.
(2)若点$D$在第二象限,且以点$A,B,C,D$为顶点的四边形是平行四边形,则点$D$的坐标为
【规律方法】
在平面直角坐标系内作一个图形关于原点对称的图形的“三字诀”
(1)算:根据关于原点对称的点的横、纵坐标分别互为相反数的特点,先算出组成图形的关键点关于原点的对称点的坐标.
(2)描:描出对称点.
(3)连:依次连接这些对称点.
(1)作出$△ ABC$关于原点对称的$△ A_1B_1C_1$.
(2)若点$D$在第二象限,且以点$A,B,C,D$为顶点的四边形是平行四边形,则点$D$的坐标为
(-5,2)或(-3,6)
.【规律方法】
在平面直角坐标系内作一个图形关于原点对称的图形的“三字诀”
(1)算:根据关于原点对称的点的横、纵坐标分别互为相反数的特点,先算出组成图形的关键点关于原点的对称点的坐标.
(2)描:描出对称点.
(3)连:依次连接这些对称点.
答案
(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求
。(2)$(-5,2)$或$(-3,6)$
解析
【分析】
(1) 解决第一问需结合关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，先计算△ABC三个顶点的对称点坐标，再描点、连线即可得到对称图形。
(2) 解决第二问需利用平行四边形对角线互相平分的性质，即两条对角线的中点坐标重合，分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，结合点D在第二象限的限制条件筛选符合要求的坐标即可。
【解析】
(1) 首先计算对称点坐标：
关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，已知A(-1,3)、B(-4,4)、C(-2,1)，因此三点关于原点的对称点分别为：
A₁(1,-3)，B₁(4,-4)，C₁(2,-1)。
在平面直角坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三个点，再顺次连接三点，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 设点D的坐标为(x,y)，分情况讨论：
① 若BC为平行四边形的对角线：根据平行四边形对角线中点重合，BC的中点坐标为$(\frac{-4-2}{2},\frac{4+1}{2})=(-3,\frac{5}{2})$，AD的中点坐标为$(\frac{x-1}{2},\frac{y+3}{2})$，列方程得：
$\frac{x-1}{2}=-3$，$\frac{y+3}{2}=\frac{5}{2}$，解得x=-5，y=2，即D(-5,2)，符合第二象限的要求。
② 若AB为平行四边形的对角线：AB的中点坐标为$(\frac{-1-4}{2},\frac{3+4}{2})=(-\frac{5}{2},\frac{7}{2})$，CD的中点坐标为$(\frac{x-2}{2},\frac{y+1}{2})$，列方程得：
$\frac{x-2}{2}=-\frac{5}{2}$，$\frac{y+1}{2}=\frac{7}{2}$，解得x=-3，y=6，即D(-3,6)，符合第二象限的要求。
③ 若AC为平行四边形的对角线：AC的中点坐标为$(\frac{-1-2}{2},\frac{3+1}{2})=(-\frac{3}{2},2)$，BD的中点坐标为$(\frac{x-4}{2},\frac{y+4}{2})$，解得x=1，y=0，该点不在第二象限，舍去。
综上，点D的坐标为(-5,2)或(-3,6)。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2)$(-5,2)$或$(-3,6)$
【知识点】
1. 原点对称的坐标特征
2. 平行四边形的性质
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题基础题部分考查中心对称作图，难度较低；第二问需要结合平行四边形的性质分类讨论，解题时要注意结合点所在象限的限制条件筛选结果，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 解决第一问需结合关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，先计算△ABC三个顶点的对称点坐标，再描点、连线即可得到对称图形。
(2) 解决第二问需利用平行四边形对角线互相平分的性质，即两条对角线的中点坐标重合，分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，结合点D在第二象限的限制条件筛选符合要求的坐标即可。
【解析】
(1) 首先计算对称点坐标：
关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，已知A(-1,3)、B(-4,4)、C(-2,1)，因此三点关于原点的对称点分别为：
A₁(1,-3)，B₁(4,-4)，C₁(2,-1)。
在平面直角坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三个点，再顺次连接三点，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 设点D的坐标为(x,y)，分情况讨论：
① 若BC为平行四边形的对角线：根据平行四边形对角线中点重合，BC的中点坐标为$(\frac{-4-2}{2},\frac{4+1}{2})=(-3,\frac{5}{2})$，AD的中点坐标为$(\frac{x-1}{2},\frac{y+3}{2})$，列方程得：
$\frac{x-1}{2}=-3$，$\frac{y+3}{2}=\frac{5}{2}$，解得x=-5，y=2，即D(-5,2)，符合第二象限的要求。
② 若AB为平行四边形的对角线：AB的中点坐标为$(\frac{-1-4}{2},\frac{3+4}{2})=(-\frac{5}{2},\frac{7}{2})$，CD的中点坐标为$(\frac{x-2}{2},\frac{y+1}{2})$，列方程得：
$\frac{x-2}{2}=-\frac{5}{2}$，$\frac{y+1}{2}=\frac{7}{2}$，解得x=-3，y=6，即D(-3,6)，符合第二象限的要求。
③ 若AC为平行四边形的对角线：AC的中点坐标为$(\frac{-1-2}{2},\frac{3+1}{2})=(-\frac{3}{2},2)$，BD的中点坐标为$(\frac{x-4}{2},\frac{y+4}{2})$，解得x=1，y=0，该点不在第二象限，舍去。
综上，点D的坐标为(-5,2)或(-3,6)。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求
。(2)$(-5,2)$或$(-3,6)$
【知识点】
1. 原点对称的坐标特征
2. 平行四边形的性质
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题基础题部分考查中心对称作图，难度较低；第二问需要结合平行四边形的性质分类讨论，解题时要注意结合点所在象限的限制条件筛选结果，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
2.如图,在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-1,4),B(-1,1),C(-4,1),D(-2,2).
(1)若四边形ABCD经过平移后得到四边形A₁B₁C₁D₁,已知点D₁的坐标为(-2,-3),请画出四边形A₁B₁C₁D₁,并写出顶点A₁,B₁,C₁的坐标.
(2)若四边形ABCD和四边形A₂B₂C₂D₂关于原点O中心对称,请画出四边形A₂B₂C₂D₂,并写出四边形A₂B₂C₂D₂的各顶点的坐标.
(3)将四边形ABCD绕点O按顺时针方向旋转90°得到四边形A₃B₃C₃D₃,请画出四边形A₃B₃C₃D₃,并写出四边形A₃B₃C₃D₃的各顶点的坐标.
(1)若四边形ABCD经过平移后得到四边形A₁B₁C₁D₁,已知点D₁的坐标为(-2,-3),请画出四边形A₁B₁C₁D₁,并写出顶点A₁,B₁,C₁的坐标.
(2)若四边形ABCD和四边形A₂B₂C₂D₂关于原点O中心对称,请画出四边形A₂B₂C₂D₂,并写出四边形A₂B₂C₂D₂的各顶点的坐标.
(3)将四边形ABCD绕点O按顺时针方向旋转90°得到四边形A₃B₃C₃D₃,请画出四边形A₃B₃C₃D₃,并写出四边形A₃B₃C₃D₃的各顶点的坐标.
答案
解:(1)如图,四边形$A_1B_1C_1D_1$即为所求.
点$A_1$的坐标为$(-1,-1)$,点$B_1$的坐标为$(-1,-4)$,点$C_1$的坐标为$(-4,-4)$.
(2)如图,四边形$A_2B_2C_2D_2$即为所求.
点$A_2,B_2,C_2,D_2$的坐标分别为$A_2(1,-4),B_2(1,-1),C_2(4,-1),D_2(2,-2)$.
(3)如图,四边形$A_3B_3C_3D_3$即为所求,点$A_3,B_3,C_3,D_3$的坐标分别为$A_3(4,1),B_3(1,1),C_3(1,4),D_3(2,2)$
解析
【分析】
(1)对于平移问题，先根据已知对应点D、D₁的坐标确定平移规律：D(-2,2)平移到D₁(-2,-3)，横坐标不变，纵坐标减5，即图形整体向下平移5个单位，其余顶点均按此规律计算坐标即可。
(2)关于原点中心对称的点的坐标特征为：原坐标(x,y)的对称点坐标为(-x,-y)，直接套用该特征计算各顶点的对称点坐标即可。
(3)平面直角坐标系中，点(x,y)绕原点顺时针旋转90°后的坐标为(y,-x)，将四边形各顶点坐标代入该规律计算，即可得到旋转后对应点的坐标，再顺次连接各点得到所求图形。
【解析】
(1)由点D(-2,2)平移后得到D₁(-2,-3)，可知平移规律为：横坐标不变，纵坐标减5。
则$A_1$坐标：$(-1,4-5)=(-1,-1)$；
$B_1$坐标：$(-1,1-5)=(-1,-4)$；
$C_1$坐标：$(-4,1-5)=(-4,-4)$；
顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$、$D_1$，得到四边形$A_1B_1C_1D_1$。
(2)根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）计算：
$A_2$坐标：$(-(-1),-4)=(1,-4)$；
$B_2$坐标：$(-(-1),-1)=(1,-1)$；
$C_2$坐标：$(-(-4),-1)=(4,-1)$；
$D_2$坐标：$(-(-2),-2)=(2,-2)$；
顺次连接各点，得到四边形$A_2B_2C_2D_2$。
(3)根据绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律（原坐标(x,y)变换后为(y,-x)）计算：
$A_3$坐标：$(4,-(-1))=(4,1)$；
$B_3$坐标：$(1,-(-1))=(1,1)$；
$C_3$坐标：$(1,-(-4))=(1,4)$；
$D_3$坐标：$(2,-(-2))=(2,2)$；
顺次连接各点，得到四边形$A_3B_3C_3D_3$。
【答案】
(1)四边形$A_1B_1C_1D_1$即为所求，$A_1(-1,-1)$，$B_1(-1,-4)$，$C_1(-4,-4)$；
(2)四边形$A_2B_2C_2D_2$即为所求，$A_2(1,-4)$，$B_2(1,-1)$，$C_2(4,-1)$，$D_2(2,-2)$；
(3)四边形$A_3B_3C_3D_3$即为所求，$A_3(4,1)$，$B_3(1,1)$，$C_3(1,4)$，$D_3(2,2)$；
【知识点】
平移的坐标变换，关于原点对称的坐标特征，旋转的坐标规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的三种基本变换（平移、中心对称、旋转）的坐标变化规律，属于基础题型，熟练掌握各类变换对应的坐标运算规则，就能快速求出对应点坐标、完成作图。
【难度系数】
0.8
(1)对于平移问题，先根据已知对应点D、D₁的坐标确定平移规律：D(-2,2)平移到D₁(-2,-3)，横坐标不变，纵坐标减5，即图形整体向下平移5个单位，其余顶点均按此规律计算坐标即可。
(2)关于原点中心对称的点的坐标特征为：原坐标(x,y)的对称点坐标为(-x,-y)，直接套用该特征计算各顶点的对称点坐标即可。
(3)平面直角坐标系中，点(x,y)绕原点顺时针旋转90°后的坐标为(y,-x)，将四边形各顶点坐标代入该规律计算，即可得到旋转后对应点的坐标，再顺次连接各点得到所求图形。
【解析】
(1)由点D(-2,2)平移后得到D₁(-2,-3)，可知平移规律为：横坐标不变，纵坐标减5。
则$A_1$坐标：$(-1,4-5)=(-1,-1)$；
$B_1$坐标：$(-1,1-5)=(-1,-4)$；
$C_1$坐标：$(-4,1-5)=(-4,-4)$；
顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$、$D_1$，得到四边形$A_1B_1C_1D_1$。
(2)根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）计算：
$A_2$坐标：$(-(-1),-4)=(1,-4)$；
$B_2$坐标：$(-(-1),-1)=(1,-1)$；
$C_2$坐标：$(-(-4),-1)=(4,-1)$；
$D_2$坐标：$(-(-2),-2)=(2,-2)$；
顺次连接各点，得到四边形$A_2B_2C_2D_2$。
(3)根据绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律（原坐标(x,y)变换后为(y,-x)）计算：
$A_3$坐标：$(4,-(-1))=(4,1)$；
$B_3$坐标：$(1,-(-1))=(1,1)$；
$C_3$坐标：$(1,-(-4))=(1,4)$；
$D_3$坐标：$(2,-(-2))=(2,2)$；
顺次连接各点，得到四边形$A_3B_3C_3D_3$。
【答案】
(1)四边形$A_1B_1C_1D_1$即为所求，$A_1(-1,-1)$，$B_1(-1,-4)$，$C_1(-4,-4)$；
(2)四边形$A_2B_2C_2D_2$即为所求，$A_2(1,-4)$，$B_2(1,-1)$，$C_2(4,-1)$，$D_2(2,-2)$；
(3)四边形$A_3B_3C_3D_3$即为所求，$A_3(4,1)$，$B_3(1,1)$，$C_3(1,4)$，$D_3(2,2)$；
【知识点】
平移的坐标变换，关于原点对称的坐标特征，旋转的坐标规律
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的三种基本变换（平移、中心对称、旋转）的坐标变化规律，属于基础题型，熟练掌握各类变换对应的坐标运算规则，就能快速求出对应点坐标、完成作图。
【难度系数】
0.8
