学习任务 关于原点对称的点的坐标规律 从旧知到新知
| 情境探究|
如图,点 A,B,C,D,E 的坐标分别是A(1,1),B(-2,3),C(-3,-4),D(2,-2),E(4,0).

问题1:在图中分别作出点A,B,C,D,E关于原点的对称点$A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$,并写出它们的坐标.
问题2:观察已知点和它们的对称点的坐标有什么关系?
| 探究归纳|
两个点关于原点对称时,它们的坐标符号,即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'$.

问题1:点$A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$的坐标分别是$A_1(-1,-1),B_1(2,-3),C_1(3,4),D_1(-2,2),E_1(-4,0)$
问题2:横、纵坐标分别互为相反数.
探究归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。

【分析】
解决问题1时，首先回忆关于原点对称的两个点的位置关系：两点的连线经过原点，且到原点的距离相等，因此作图时只需将已知点与原点O连接，延长线段到另一端，使得延长部分的长度等于已知点到O的长度，得到的点就是对称点，再根据平面直角坐标系的坐标读取规则写出各对称点的坐标即可。解决问题2时，将每个原点点坐标和对应对称点的坐标横、纵坐标分别对比，观察数值和符号的变化，即可归纳出关于原点对称的点的坐标规律。
【解析】
问题1解答
1. 作对称点：分别连接点A、B、C、D、E与原点O，延长每条线段，在延长线上截取与原线段等长的线段，端点即为对应对称点$A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$。
2. 读取坐标：根据平面直角坐标系的坐标读数规则，可得各对称点坐标：
$A_1(-1,-1)$，$B_1(2,-3)$，$C_1(3,4)$，$D_1(-2,2)$，$E_1(-4,0)$。
问题2解答
将原点点坐标与对应对称点坐标逐一对比：
A(1,1)与$A_1(-1,-1)$、B(-2,3)与$B_1(2,-3)$、C(-3,-4)与$C_1(3,4)$、D(2,-2)与$D_1(-2,2)$、E(4,0)与$E_1(-4,0)$，每组点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
探究归纳
根据上述观察结论，两个点关于原点对称时，横、纵坐标的符号均相反，因此点$P(x,y)$关于原点的对称点坐标为$(-x,-y)$。
【答案】
问题1:点$A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$的坐标分别是$A_1(-1,-1),B_1(2,-3),C_1(3,4),D_1(-2,2),E_1(-4,0)$
问题2:横、纵坐标分别互为相反数。
探究归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点$P(x,y)$关于原点的对称点为$P'(-x,-y)$。
【知识点】
关于原点对称的坐标规律，平面直角坐标系，中心对称的性质
【点评】
本题通过作图探究、观察对比坐标的形式引导学生推导关于原点对称的点的坐标规律，属于基础探究题，重在考查学生的动手操作能力和归纳总结能力，掌握该规律后可快速求解同类坐标对称问题。
【难度系数】
0.9

【例1】在平面直角坐标系中，点$A(a+2,3)$关于原点的对称点为$A'(2,-b)$，则$ab$的值为（）

A.－4
B.4
C.12
D.－12
【规律方法】
若坐标中含有字母的两个点关于原点对称，则根据横、纵坐标分别互为相反数可列出方程或方程组，从而求出字母的值，再根据题目要求计算。

D

【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标分别互为相反数。结合本题已知条件，点A和A'关于原点对称，因此可分别根据横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数列出关于a、b的一元一次方程，解方程求出a、b的值后，代入ab计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，点$A(a+2,3)$关于原点的对称点为$A'(2,-b)$，
∴根据对称点坐标特征可得：
$\{\begin{array}{l}-(a+2)=2\\ -3=-b\end{array} $
分别解两个方程：
第一个方程：$-(a+2)=2$，去括号得$-a-2=2$，移项解得$a=-4$；
第二个方程：$-3=-b$，两边同时乘以$-1$得$b=3$；
将$a=-4$，$b=3$代入$ab$得：$ab=(-4)×3=-12$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查关于原点对称的点的坐标规律的应用，解题的关键是熟练掌握原点对称的点的坐标性质，准确列方程求解未知字母的值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.8

1.已知点A(a,−2)和点B(4,b)关于原点对称，则a−b的值为（）

A.6
B.−6
C.2
D.−4

B

【分析】
解题思路如下：首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。接下来利用该性质，结合已知的A、B两点坐标求出a和b的取值，最后将a、b代入代数式a-b计算即可得到答案。
【解析】
解：根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数。
已知点A(a,−2)和点B(4,b)关于原点对称，因此：
a是4的相反数，即a = -4；
b是-2的相反数，即b = 2。
将a=-4，b=2代入a−b得：
a−b = -4 - 2 = -6。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对原点对称点坐标规律的掌握程度，熟练记忆坐标变化规则即可快速解题，计算时需注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8