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1. 下列函数中，当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大的是（）
A.$y=-\dfrac{4}{x}$
B.$y=\dfrac{4}{x}$
C.$y=3(x-5)^2$
D.$y=-2(x-3)^2$
A.$y=-\dfrac{4}{x}$
B.$y=\dfrac{4}{x}$
C.$y=3(x-5)^2$
D.$y=-2(x-3)^2$
答案
A
解析
逐个分析各选项函数的增减性：
1. 选项A：反比例函数$y=-\frac{4}{x}$，$k=-4＜0$，在$x＞0$的分支上$y$随$x$的增大而增大，因此$x＞4$时满足$y$随$x$的增大而增大；
2. 选项B：反比例函数$y=\frac{4}{x}$，$k=4＞0$，在$x＞0$的分支上$y$随$x$的增大而减小，$x＞4$时$y$随$x$增大而减小，不符合要求；
3. 选项C：二次函数$y=3(x-5)^2$，开口向上，对称轴为$x=5$，当$4＜x＜5$时$y$随$x$增大而减小，不满足$x＞4$时$y$都随$x$增大而增大，不符合要求；
4. 选项D：二次函数$y=-2(x-3)^2$，开口向下，对称轴为$x=3$，当$x＞3$时$y$随$x$增大而减小，因此$x＞4$时$y$随$x$增大而减小，不符合要求。
综上，符合条件的是A。
1. 选项A：反比例函数$y=-\frac{4}{x}$，$k=-4＜0$，在$x＞0$的分支上$y$随$x$的增大而增大，因此$x＞4$时满足$y$随$x$的增大而增大；
2. 选项B：反比例函数$y=\frac{4}{x}$，$k=4＞0$，在$x＞0$的分支上$y$随$x$的增大而减小，$x＞4$时$y$随$x$增大而减小，不符合要求；
3. 选项C：二次函数$y=3(x-5)^2$，开口向上，对称轴为$x=5$，当$4＜x＜5$时$y$随$x$增大而减小，不满足$x＞4$时$y$都随$x$增大而增大，不符合要求；
4. 选项D：二次函数$y=-2(x-3)^2$，开口向下，对称轴为$x=3$，当$x＞3$时$y$随$x$增大而减小，因此$x＞4$时$y$随$x$增大而减小，不符合要求。
综上，符合条件的是A。
2.密闭容器内有一定质量的气体,当容器的体积$ V $(单位:$ m^3 $)变化时,气体的密度$ \rho $(单位:$ kg/m^3 $)随之变化.已知密度$ \rho $与体积$ V $符合$ \rho=\frac{10}{V} $,它的图象如图所示.下列说法正确的是()
A.容器内气体的质量(质量$ m=\rho V $)是5 kg
B.当$ \rho＞5\ kg/m^3 $时,$ V＞2\ m^3 $
C.当容器的体积为$ 4\ m^3 $时,气体的密度为$ 2.5\ kg/m^3 $
D.当$ 0＜V＜20\ m^3 $时,气体的密度随容器体积的增大而增大
A.容器内气体的质量(质量$ m=\rho V $)是5 kg
B.当$ \rho＞5\ kg/m^3 $时,$ V＞2\ m^3 $
C.当容器的体积为$ 4\ m^3 $时,气体的密度为$ 2.5\ kg/m^3 $
D.当$ 0＜V＜20\ m^3 $时,气体的密度随容器体积的增大而增大
答案
C
解析
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：由$\rho=\frac{10}{V}$，可得$m=\rho V=10\ \mathrm{kg}$，不是5kg，A错误。
2. 分析选项B：当$\rho＞5\ \mathrm{kg/m}^3$时，$\frac{10}{V}＞5$，结合$V＞0$解得$V＜2\ \mathrm{m}^3$，不是$V＞2\ \mathrm{m}^3$，B错误。
3. 分析选项C：将$V=4\ \mathrm{m}^3$代入$\rho=\frac{10}{V}$，得$\rho=\frac{10}{4}=2.5\ \mathrm{kg/m}^3$，C正确。
4. 分析选项D：$\rho=\frac{10}{V}$是反比例函数，$k=10＞0$，当$V＞0$时，$\rho$随$V$的增大而减小，D错误。
1. 分析选项A：由$\rho=\frac{10}{V}$，可得$m=\rho V=10\ \mathrm{kg}$，不是5kg，A错误。
2. 分析选项B：当$\rho＞5\ \mathrm{kg/m}^3$时，$\frac{10}{V}＞5$，结合$V＞0$解得$V＜2\ \mathrm{m}^3$，不是$V＞2\ \mathrm{m}^3$，B错误。
3. 分析选项C：将$V=4\ \mathrm{m}^3$代入$\rho=\frac{10}{V}$，得$\rho=\frac{10}{4}=2.5\ \mathrm{kg/m}^3$，C正确。
4. 分析选项D：$\rho=\frac{10}{V}$是反比例函数，$k=10＞0$，当$V＞0$时，$\rho$随$V$的增大而减小，D错误。
3.若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$都在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$的图象上，且$x_1＜x_2＜0＜x_3$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（用“＜”连接）。
答案
解：在反比例函数$y=\frac{6}{x}$中，$k=6＞0$，
∴该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点A、B都在第三象限，可得$y_2＜y_1＜0$。
∵$0＜x_3$，
∴点C在第一象限，可得$y_3＞0$。
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
∴该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点A、B都在第三象限，可得$y_2＜y_1＜0$。
∵$0＜x_3$，
∴点C在第一象限，可得$y_3＞0$。
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
4.若反比例函数$y=(a-1)x^{a^2 -5}$的图象在所在象限内，$y$随$x$的增大而增大，则$a$的值是________.
答案
解：
根据反比例函数的定义与性质，列不等式组：
$\begin{cases}a^2 - 5 = -1 \\a - 1 ≠ 0 \\a - 1 ＜ 0\end{cases}$
由$a^2 - 5 = -1$，得$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
由$a-1＜0$，得$a＜1$。
结合$a-1≠0$，可知仅$a=-2$满足所有条件。
故答案为：$\boldsymbol{-2}$
根据反比例函数的定义与性质，列不等式组：
$\begin{cases}a^2 - 5 = -1 \\a - 1 ≠ 0 \\a - 1 ＜ 0\end{cases}$
由$a^2 - 5 = -1$，得$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
由$a-1＜0$，得$a＜1$。
结合$a-1≠0$，可知仅$a=-2$满足所有条件。
故答案为：$\boldsymbol{-2}$
5. 提升题 光照强度是指单位面积上所接收可见光的光通量，简称照度（单位:Lux).智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度.学习小组通过查阅资料发现照度 y(单位:Lux)是透明度 x(单位:%)的反比例函数,其图象如图所示.
(1)求出 y 关于 x 的函数解析式.
(2)茉莉花适宜在照度 y 满足 2 000≤y≤5 000的室内生长,则智能玻璃的透明度 x 应控制在什么范围内?请说明理由.
(1)求出 y 关于 x 的函数解析式.
(2)茉莉花适宜在照度 y 满足 2 000≤y≤5 000的室内生长,则智能玻璃的透明度 x 应控制在什么范围内?请说明理由.
答案
解：
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将点$(20, 3000)$代入解析式，得：
$3000=\frac{k}{20}$
解得$k=60000$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{60000}{x}(x＞0)$。
(2) 对于反比例函数$y=\frac{60000}{x}$，$k=60000＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=2000$时，代入解析式得$2000=\frac{60000}{x}$，解得$x=30$；
当$y=5000$时，代入解析式得$5000=\frac{60000}{x}$，解得$x=12$。
由$y$随$x$增大而减小的性质可知，当$2000≤ y≤5000$时，$12≤ x≤30$。
答：智能玻璃的透明度$x$应控制在$12\%$到$30\%$的范围内。
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将点$(20, 3000)$代入解析式，得：
$3000=\frac{k}{20}$
解得$k=60000$。
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{60000}{x}(x＞0)$。
(2) 对于反比例函数$y=\frac{60000}{x}$，$k=60000＞0$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
当$y=2000$时，代入解析式得$2000=\frac{60000}{x}$，解得$x=30$；
当$y=5000$时，代入解析式得$5000=\frac{60000}{x}$，解得$x=12$。
由$y$随$x$增大而减小的性质可知，当$2000≤ y≤5000$时，$12≤ x≤30$。
答：智能玻璃的透明度$x$应控制在$12\%$到$30\%$的范围内。
