1. 对于反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$，下列说法正确的是()

A.图象经过点$(2,-3)$
B.图象位于第一、三象限
C.$y$随$x$增大而减小
D.图象与$x$轴有交点

C

逐个分析选项：
1. 验证A：将x=2代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=3≠-3$，图象不经过点$(2,-3)$，A错误。
2. 验证B：已知自变量取值范围是$x＞0$，函数图象仅分布在第一象限，不存在第三象限的部分，B错误。
3. 验证C：该反比例函数的比例系数$k=6＞0$，在限定的$x＞0$区间内，$y$随$x$增大而减小，C正确。
4. 验证D：反比例函数$y=\frac{6}{x}$中$y≠0$，图象与$x$轴没有交点，D错误。

2.已知一次函数$y=-bx+a$的图象如图所示，则反比例函数$y=\frac{c}{x}$和二次函数$y=ax^2+bx-c$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

解：
由一次函数$y=-bx+a$的图象经过第一、二、三象限，可得：
$\begin{cases}a＞0\\-b＞0\end{cases}$
即$\begin{cases}a＞0\\b＜0\end{cases}$。
1. 由$a＞0$可知二次函数$y=ax^2+bx-c$的开口向上，排除开口向下的选项B。
2. 二次函数的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，结合$a＞0,b＜0$得$-b＞0$，因此$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在$y$轴右侧。
3. 选项A中，反比例函数$y=\frac{c}{x}$的图象在第一、三象限，说明$c＞0$，因此二次函数在$x=0$处的函数值$y=-c＜0$，即二次函数与$y$轴交于负半轴，与图象特征一致，所有条件均满足。
4. 选项C中，反比例函数图象在第二、四象限，说明$c＜0$，则$-c＞0$，二次函数在$x=0$处的函数值$y=-c＞0$，即二次函数应与$y$轴交于正半轴，与图中二次函数交$y$轴负半轴矛盾，排除C。
5. 选项D中，反比例函数图象在第二、四象限，说明$c＜0$，同理得二次函数应与$y$轴交于正半轴，与图中二次函数交$y$轴负半轴矛盾，排除D。
综上，答案为$\boldsymbol{A}$。

3.若反比例函数的图象如图所示，则该反比例函数的解析式可能是（）

A.$y=\dfrac{2}{x}$
B.$y=\dfrac{6}{x}$
C.$y=\dfrac{7}{x}$
D.$y=\dfrac{9}{x}$

C

设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k＞0)$。由图像位置可知：点$A(3,3)$在第一象限分支远离原点的一侧，因此$k＜3×3=9$；点$B(-2,-3)$在第三象限分支靠近原点的一侧，因此$k＞(-2)×(-3)=6$，可得$6＜k＜9$。对比选项，只有$k=7$满足该范围，对应解析式为$y=\frac{7}{x}$。

4.若直线$y=k_1x+b$与双曲线$y=\frac{k_2}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于$x$的不等式$\frac{k_2}{x}＞k_1x+b$的解集为。

$\boldsymbol{x＜-2或0＜x＜3}$

解：观察图象可知，直线$y=k_1x+b$与双曲线$y=\frac{k_2}{x}$的两个交点的横坐标分别为$-2$和$3$。
不等式$\frac{k_2}{x}＞k_1x+b$的几何意义是双曲线的图象在直线图象上方时对应的$x$的取值范围，结合图象可得该不等式的解集为$x＜-2$或$0＜x＜3$。

5.如图,已知反比例函数$y_1=\frac{k}{x}(x＜0)$和$y_2=-\frac{1}{x}(x＜0)$的图象分别为$C_1$,$C_2$,$A$是$C_1$上一点,过点$A$作$AB⊥ x$轴,垂足为$B$,$AB$与$C_2$相交于点$D$.若$△ AOD$的面积为$2$,则$k$的值为.

$\boldsymbol{-5}$

解：
∵点D在反比例函数$y_2=-\frac{1}{x}(x＜0)$的图象上，$AB⊥ x$轴，
∴$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×|-1|=\frac{1}{2}$。
∵点A在反比例函数$y_1=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，$AB⊥ x$轴，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|$。
又∵$S_{△ AOD}=S_{△ AOB}-S_{△ BOD}=2$，
∴$\frac{1}{2}|k| - \frac{1}{2}=2$，
解得$|k|=5$。
由图象可知，反比例函数$y_1=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象位于第二象限，
∴$k＜0$，
∴$k=-5$。

6. 提升题 在图①所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图②所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过点C，M为EF的中点.下列结论正确的是（填序号）.

①当$x=3$时，$EC＜EM$；
②当$y=9$时，$EC＞EM$；
③当$x$增大时，$EC· CF$的值增大；
④当$y$增大时，$BE· DF$的值不变.

$\boldsymbol{④}$

解：设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，由图②知函数过点$(3,3)$，代入得$k=3×3=9$，即$xy=9$。
$\because △ AEF$是等腰直角三角形，$∠ A=90°$，
$\therefore ∠ E=∠ F=45°$，
又$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ EBC=∠ ABC=90°$，$∠ CDF=∠ ADC=90°$，
$\therefore △ EBC$和$△ CDF$均为等腰直角三角形，
$\therefore EC=\sqrt{2}BC=\sqrt{2}x$，$CF=\sqrt{2}CD=\sqrt{2}y$，$BE=BC=x$，$DF=CD=y$。
斜边$EF=EC+CF=\sqrt{2}(x+y)$，
$\because M$为$EF$中点，$\therefore EM=\frac{1}{2}EF=\frac{\sqrt{2}(x+y)}{2}$。
逐个判断结论：
① 当$x=3$时，由$xy=9$得$y=3$，此时$EC=3\sqrt{2}$，$EM=3\sqrt{2}$，即$EC=EM$，故①错误；
② 当$y=9$时，由$xy=9$得$x=1$，此时$EC=\sqrt{2}$，$EM=5\sqrt{2}$，即$EC＜EM$，故②错误；
③ $EC· CF=\sqrt{2}x·\sqrt{2}y=2xy=18$，为定值，不随$x$增大而变化，故③错误；
④ $BE· DF=x· y=9$，为定值，即$y$增大时，$BE· DF$的值不变，故④正确。

7. 提升题 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，点$C(2,0)$，点$B(0,4)$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若将直线OA向上平移m个单位长度后经过反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的点$(1,n)$，求$m,n$的值.

解：
(1) 过点A作$AD⊥ x$轴于点D，
$\therefore ∠ ADC=90°=∠ BOC$，
$\therefore ∠ OBC + ∠ OCB=90°$，
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ OCB + ∠ ACD=90°$，
$\therefore ∠ OBC=∠ ACD$。
在$△ BOC$和$△ CDA$中：
$\begin{cases}∠ BOC=∠ CDA \\∠ OBC=∠ ACD \\BC=AC\end{cases}$
$\therefore △ BOC≌△ CDA(\mathrm{AAS})$，
$\therefore CD=BO$，$AD=OC$。
已知$C(2,0)$，$B(0,4)$，则$OC=2$，$BO=4$，
$\therefore CD=4$，$AD=2$，
$\therefore OD=OC+CD=2+4=6$，
即点A的坐标为$(6,2)$。
将$A(6,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{6}$，解得$k=12$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}(x＞0)$。
(2) 设直线OA的解析式为$y=k_1x$，
将$A(6,2)$代入得$2=6k_1$，解得$k_1=\frac{1}{3}$，
$\therefore$ 直线OA的解析式为$y=\frac{1}{3}x$。
$\because$ 点$(1,n)$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
$\therefore n=\frac{12}{1}=12$。
直线OA向上平移$m$个单位后的解析式为$y=\frac{1}{3}x + m$，
将$(1,12)$代入得$12=\frac{1}{3}×1 + m$，
解得$m=\frac{35}{3}$。
综上，$m=\frac{35}{3}$，$n=12$。