2.在钟表问题中,时针与分针转动的度数有如下关系:分针每转动$1°$时针转动$°$。你能计算出2:25时,钟表上时针和分针所成的角度吗?
归纳总结
在处理余角、补角问题时,可以利用方程的思想来完成题目解答。
跟踪练习

解：
分针每分钟转动的度数为：$360°÷60=6°$
25分钟内，分针转动的总度数为：$25×6°=150°$
根据题意，这段时间内时针转动的度数为：$150°×\frac{1}{12}=12.5°$
2点整时，时针从12点刻度位置转过的度数为：$2×30°=60°$
因此2:25时，时针从12点刻度位置转过的总度数为：$60°+12.5°=72.5°$
此时时针与分针的夹角为：$150°-72.5°=77.5°$
答：2:25时，钟表上时针和分针所成的角度为$77.5°$。

【分析】
要计算2:25时钟表上时针和分针的夹角，可分别求出此时分针、时针从12点刻度位置转过的总度数，再求两者的差值即可。第一步先算分针的转动度数：分针60分钟转一圈即360°，先算出分针每分钟转动的度数，再乘25得到25分钟分针总共转过的度数。第二步算时针的总转动度数：首先2点整时，时针已经转过2个大格，钟表共12个大格，每个大格对应30°，可先得到2点整时针的转动度数；再根据题目给出的“分针每转动1°时针转动$\frac{1}{12}$°”的关系，用分针转过的总度数乘$\frac{1}{12}$，得到25分钟内时针额外转过的度数，将两部分相加就是2:25时时针的总转动度数。最后用分针的总度数减去时针的总度数，即可得到两针的夹角。
【解析】
解：首先计算分针转动的度数：
分针每分钟转动的度数为：$360°÷60=6°$
25分钟内，分针转动的总度数为：$25×6°=150°$
再计算时针转动的总度数：
根据题意，25分钟内时针随分针转动的度数为：$150°×\frac{1}{12}=12.5°$
2点整时，时针从12点刻度位置转过的度数为：$2×30°=60°$
因此2:25时，时针从12点刻度位置转过的总度数为：$60°+12.5°=72.5°$
此时时针与分针的夹角为：$150°-72.5°=77.5°$
【答案】
$77.5°$
【知识点】
钟表角度计算、角的和差运算
【点评】
本题是钟表角度计算的典型习题，解题核心是明确时针与分针的转动规律，注意不要忽略分针转动时时针也会同步发生转动，避免直接按2点整的夹角计算的错误。
【难度系数】
0.7

3.一个角的补角是其余角的3倍，这个角为多少度？

解：设这个角的度数为$x$，
则它的补角为$(180 - x)°$，它的余角为$(90 - x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 3(90 - x)$
展开得：
$180 - x = 270 - 3x$
移项合并同类项得：
$2x = 90$
解得：
$x = 45$
答：这个角为45度。

【分析】
解决本题可采用方程思想，思路如下：首先明确余角和补角的定义：两个角和为90°则互为余角，和为180°则互为补角。我们可以先设这个角的度数为未知数，用含未知数的式子分别表示出它的余角和补角，再结合题干给出的“补角是余角的3倍”这一等量关系列方程，最后解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$，
则它的补角为$(180 - x)°$，它的余角为$(90 - x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 3(90 - x)$
展开得：
$180 - x = 270 - 3x$
移项合并同类项得：
$2x = 90$
解得：
$x = 45$
答：这个角为45度。
【答案】
45°
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题侧重考查基础概念的理解与简单方程的应用，解题关键是准确表示出所求角的余角和补角，结合题干的等量关系建立方程求解，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.85

例4 如图，OE是∠AOD的平分线，OC是∠BOD的平分线。

(1)如果∠AOE=45°,∠BOD=40°,那么∠COE是多少度？
(2)如果∠AOB=130°,∠COD=20°,那么∠BOE是多少度？

解：
(1) ∵ OE是∠AOD的平分线，
∴ ∠DOE = ∠AOE = 45°，
∵ OC是∠BOD的平分线，∠BOD=40°，
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×40° = 20°，
∴ ∠COE = ∠DOE + ∠COD = 45° + 20° = 65°。
(2) ∵ OC是∠BOD的平分线，∠COD=20°，
∴ ∠BOD = 2∠COD = 2×20° = 40°，
∵ ∠AOB = 130°，
∴ ∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 130° - 40° = 90°，
∵ OE是∠AOD的平分线，
∴ ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
∴ ∠BOE = ∠DOE + ∠BOD = 45° + 40° = 85°。
答：(1) ∠COE是65°；(2) ∠BOE是85°。

【分析】
本题围绕角平分线的性质和角的和差关系求解：
(1) 解第一问时，先根据OE是∠AOD的平分线，得到∠DOE=∠AOE；再根据OC是∠BOD的平分线，求出∠COD的度数；最后观察图形可知∠COE=∠DOE+∠COD，代入对应数值计算即可。
(2) 解第二问时，先根据OC是∠BOD的平分线，由已知∠COD的度数求出∠BOD的度数；再用∠AOB的度数减去∠BOD的度数得到∠AOD的度数；然后根据OE是∠AOD的平分线求出∠DOE的度数；最后观察图形可知∠BOE=∠DOE+∠BOD，代入数值计算即可。
【解析】
(1)
∵ OE是∠AOD的平分线，
∴ ∠DOE = ∠AOE = 45°，
∵ OC是∠BOD的平分线，∠BOD=40°，
∴ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×40° = 20°，
∴ ∠COE = ∠DOE + ∠COD = 45° + 20° = 65°。
(2)
∵ OC是∠BOD的平分线，∠COD=20°，
∴ ∠BOD = 2∠COD = 2×20° = 40°，
∵ ∠AOB = 130°，
∴ ∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 130° - 40° = 90°，
∵ OE是∠AOD的平分线，
∴ ∠DOE = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
∴ ∠BOE = ∠DOE + ∠BOD = 45° + 40° = 85°。
【答案】
(1) ∠COE是65°；(2) ∠BOE是85°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度运算题，解题关键是理清各个角的位置关系，结合角平分线的性质转化已知条件，逐步推导所求角度即可，运算时注意不要混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7

例3 一个角的补角比它的余角的2倍多$50°$，求这个角的度数。
思路导引
设这个角为$x°$，根据余角、补角定义，得其余角为$(90 - x)°$，补角为$(180 - x)°$，利用方程思想解决题目。

解：设这个角的度数为$x°$，
则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 2(90 - x) + 50$
去括号，得：
$180 - x = 180 - 2x + 50$
移项，得：
$-x + 2x = 180 + 50 - 180$
合并同类项，得：
$x = 50$
答：这个角的度数为$50°$。

【分析】
要解决这道题，我们可以采用方程思想思考：首先设这个角的度数为未知数，再根据余角、补角的定义，用含未知数的式子分别表示出这个角的余角和补角；接着结合题目给出的“补角比余角的2倍多50°”的等量关系列出一元一次方程，最后按照一元一次方程的解法步骤求解即可。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，
则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 2(90 - x) + 50$
去括号，得：
$180 - x = 180 - 2x + 50$
移项，得：
$-x + 2x = 180 + 50 - 180$
合并同类项，得：
$x = 50$
答：这个角的度数为$50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
余角与补角的定义，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题核心是熟练掌握余角、补角的概念，准确提取题目中的等量关系列方程，能有效锻炼用代数方法解决几何问题的思维。
【难度系数】
0.8