例1 如图，$AB=24\ \mathrm{cm}$，点$C$，$D$在线段$AB$上，且$CD=10\ \mathrm{cm}$，点$M$，$N$分别是$AC$，$BD$的中点，求线段$MN$的长。

解：
因为$AB=24\ \mathrm{cm}$，$CD=10\ \mathrm{cm}$，
所以$AC + BD = AB - CD = 24 - 10 = 14\ \mathrm{cm}$。
因为点$M$是$AC$的中点，点$N$是$BD$的中点，
所以$MC = \frac{1}{2}AC$，$DN = \frac{1}{2}BD$，
所以$MC + DN = \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{1}{2} × 14 = 7\ \mathrm{cm}$。
因此$MN = MC + CD + DN = 7 + 10 = 17\ \mathrm{cm}$。
答：线段$MN$的长为$17\ \mathrm{cm}$。

【分析】
要求线段MN的长度，首先观察线段MN的组成：MN可拆分为$MC+CD+DN$，其中CD长度已知为10cm，因此只需要求出$MC+DN$的长度即可。已知点M、N分别是AC、BD的中点，根据线段中点的性质，MC是AC的一半，DN是BD的一半，因此$MC+DN$等于AC与BD和的一半。接下来先计算$AC+BD$的和：AB总长为24cm，减去中间CD的长度10cm，即可得到$AC+BD$的长度，代入前面的关系就能算出$MC+DN$，最后加上CD的长度就得到MN的长。
【解析】
解：已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，$CD=10\ \mathrm{cm}$，
首先计算AC与BD的和：$AC + BD = AB - CD = 24 - 10 = 14\ \mathrm{cm}$。
因为点M是AC的中点，点N是BD的中点，根据线段中点的定义，得：
$MC = \frac{1}{2}AC$，$DN = \frac{1}{2}BD$，
因此$MC + DN = \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{1}{2} × 14 = 7\ \mathrm{cm}$。
所以$MN = MC + CD + DN = 7 + 10 = 17\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$17\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的常见基础题型，解题的核心是将所求线段合理拆分，利用线段中点的性质进行转化，采用整体代入计算AC+BD的和，无需单独求解AC、BD各自的长度，能简化运算过程。
【难度系数】
0.8

1.已知线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，$C$是直线$AB$上一点，$BC=4\ \mathrm{cm}$，若$M$是$AB$的中点，$N$是$BC$的中点，则线段$MN$的长度是()。

A.7 cm
B.3 cm或5 cm
C.7 cm或3 cm
D.5 cm

C

【分析】
解题时首先要注意题干中“C是直线AB上一点”的表述，直线可向两端无限延伸，因此点C的位置有两种可能：①点C在线段AB上，②点C在线段AB的延长线上，需要分类讨论求解。接下来根据线段中点的定义，先分别求出AB中点M到B的长度、BC中点N到B的长度，再结合两种位置下MN与MB、BN的和差关系，就能算出MN的两种长度。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB上时：
∵M是AB的中点，$AB=10\ \mathrm{cm}$
∴$MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×10 = 5\ \mathrm{cm}$
∵N是BC的中点，$BC=4\ \mathrm{cm}$
∴$BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2\ \mathrm{cm}$
此时$MN = MB - BN = 5 - 2 = 3\ \mathrm{cm}$
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
同理可得$MB=5\ \mathrm{cm}$，$BN=2\ \mathrm{cm}$
此时$MN = MB + BN = 5 + 2 =7\ \mathrm{cm}$
综上，线段MN的长度为7cm或3cm。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型易错题，易错点是忽略直线上点的位置的多种可能性，只考虑点C在线段AB上的情况导致漏解，解题时建议结合草图分析不同位置下线段的和差关系，避免思维定势。
【难度系数】
0.7

例2 下午上课时间为13:30，请确定此时时针与分针夹角为多少度。
思路导引
首先确定分针每分钟转动 $6°$，时针每分钟转动 $0.5°$，钟面上每个大格为 $30°$，每个小格为 $6°$。具体策略为：假设从13:00开始分针转动时，时针不动，则13:30时，时针与分针的夹角为 $150°$，但30分钟时针转过 $15°$，则时针与分针的夹角为 $150° - 15° = 135°$。
归纳总结
时针每分钟转动 $0.5°$，分针每分钟转动 $6°$，可以类似于同向追及问题来处理时针、分针夹角问题，注意考虑所有的可能情况。
跟踪练习

解：
钟面上一圈为360°，共12个大格，因此每个大格的度数为：$360°÷12 = 30°$
分针每分钟转动的度数为：$360°÷60 = 6°$
时针每分钟转动的度数为：$30°÷60 = 0.5°$
13:00时，时针指向刻度1，分针指向刻度12。
到13:30时，分针转动30分钟，转过的总度数为：$6°×30 = 180°$，此时分针指向刻度6。
时针30分钟转过的度数为：$0.5°×30 = 15°$，即时针从刻度1的位置向刻度2方向转动了15°。
刻度1到刻度6之间的夹角为：$5×30° = 150°$
因此13:30时，时针与分针的夹角为：$150° - 15° = 135°$
答：13:30时针与分针的夹角为$135°$。

【分析】
要计算13:30时针与分针的夹角，首先需要明确钟面的基本角度规律：钟面一周为360°，共分为12个大格、60个小格，我们可以先算出每个大格的度数，以及分针、时针每分钟分别转动的角度。解题时先确定13:00时针和分针的初始位置，再计算30分钟后两针各自转过的角度，最后用刻度1到刻度6的固定夹角减去时针30分钟转过的角度，就能得到实际的夹角度数。
【解析】
钟面上一圈为360°，共12个大格，因此每个大格的度数为：$360°÷12 = 30°$
分针每分钟转动的度数为：$360°÷60 = 6°$
时针每分钟转动的度数为：$30°÷60 = 0.5°$
13:00时，时针指向刻度1，分针指向刻度12。
到13:30时，分针转动30分钟，转过的总度数为：$6°×30 = 180°$，此时分针指向刻度6。
时针30分钟转过的度数为：$0.5°×30 = 15°$，即时针从刻度1的位置向刻度2方向转动了15°。
刻度1到刻度6之间的夹角为：$5×30° = 150°$
因此13:30时，时针与分针的夹角为：$150° - 15° = 135°$
答：13:30时针与分针的夹角为$135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
钟面角计算，角的和差运算
【点评】
本题是钟面夹角计算的基础典型题，解题关键是熟记时针、分针的转动速度，注意不要忽略时针会随时间同步转动，避免直接用固定刻度差计算出现错误。
【难度系数】
0.75