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7.由若干个小圆圈按一定规律拼出的一组图形。如图所示
通过观察，第5个图形中小圆圈的个数为
通过观察，第5个图形中小圆圈的个数为
40
，第n个图形中小圆圈的个数为$n^2+3n$
。答案
40 $n^2+3n$
解析
【分析】
解题时先观察前4个图形对应的等式，把等式拆成两个加数分别找规律：第一个加数是“图形序号×(图形序号+1)”，第二个加数是“2×图形序号”，先按规律计算第5个图形的小圆圈数量，再推导第n个图形的通用表达式即可。
【解析】
整理前4个图形的小圆圈数规律如下：
第1个图形：$1×2 + 2×1=2+2=4$
第2个图形：$2×3 + 2×2=6+4=10$
第3个图形：$3×4 + 2×3=12+6=18$
第4个图形：$4×5 + 2×4=20+8=28$
按照上述规律计算：
第5个图形的小圆圈个数为：$5×6 + 2×5=30+10=40$
第n个图形的小圆圈个数为：$n(n+1)+2n=n^2+n+2n=n^2+3n$
【答案】
40；$n^2+3n$
【知识点】
图形规律探究；用字母表示数；整式化简
【点评】
本题属于常见的图形类规律探究题型，解题关键是拆分已知数值，找到数值和图形序号的对应关系，可锻炼观察能力与归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察前4个图形对应的等式，把等式拆成两个加数分别找规律：第一个加数是“图形序号×(图形序号+1)”，第二个加数是“2×图形序号”，先按规律计算第5个图形的小圆圈数量，再推导第n个图形的通用表达式即可。
【解析】
整理前4个图形的小圆圈数规律如下：
第1个图形：$1×2 + 2×1=2+2=4$
第2个图形：$2×3 + 2×2=6+4=10$
第3个图形：$3×4 + 2×3=12+6=18$
第4个图形：$4×5 + 2×4=20+8=28$
按照上述规律计算：
第5个图形的小圆圈个数为：$5×6 + 2×5=30+10=40$
第n个图形的小圆圈个数为：$n(n+1)+2n=n^2+n+2n=n^2+3n$
【答案】
40；$n^2+3n$
【知识点】
图形规律探究；用字母表示数；整式化简
【点评】
本题属于常见的图形类规律探究题型，解题关键是拆分已知数值，找到数值和图形序号的对应关系，可锻炼观察能力与归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
8. 观察等式，找出规律并回答问题：
第1个等式：$\frac{3}{1}×\frac{1}{2}=\frac{3}{1}-\frac{3}{2}$；
第2个等式：$\frac{4}{2}×\frac{1}{3}=\frac{4}{2}-\frac{4}{3}$；
第3个等式：$\frac{5}{3}×\frac{1}{4}=\frac{5}{3}-\frac{5}{4}$；
第4个等式：$\frac{6}{4}×\frac{1}{5}=\frac{6}{4}-\frac{6}{5}$；
第5个等式：$\frac{7}{5}×\frac{1}{6}=\frac{7}{5}-\frac{7}{6}$；
……
(1)请写出第6个等式并验证；
(2)请猜想第n个等式(用含n的等式表示)。
第1个等式：$\frac{3}{1}×\frac{1}{2}=\frac{3}{1}-\frac{3}{2}$；
第2个等式：$\frac{4}{2}×\frac{1}{3}=\frac{4}{2}-\frac{4}{3}$；
第3个等式：$\frac{5}{3}×\frac{1}{4}=\frac{5}{3}-\frac{5}{4}$；
第4个等式：$\frac{6}{4}×\frac{1}{5}=\frac{6}{4}-\frac{6}{5}$；
第5个等式：$\frac{7}{5}×\frac{1}{6}=\frac{7}{5}-\frac{7}{6}$；
……
(1)请写出第6个等式并验证；
(2)请猜想第n个等式(用含n的等式表示)。
答案
(1)$\frac{8}{6}×\frac{1}{7}=\frac{8}{6}-\frac{8}{7}$，验证：$\frac{8}{6}×\frac{1}{7}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$，$\frac{8}{6}-\frac{8}{7}=\frac{56-48}{42}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$。
(2)$\frac{n+2}{n}×\frac{1}{n+1}=\frac{n+2}{n}-\frac{n+2}{n+1}$。
(2)$\frac{n+2}{n}×\frac{1}{n+1}=\frac{n+2}{n}-\frac{n+2}{n+1}$。
解析
【分析】
解决本题的核心是先观察已知等式各部分和序号的对应规律：①第一个分数的分子：第1个等式是3=1+2，第2个是4=2+2，第3个是5=3+2，可推出第k个等式的第一个分数分子为k+2；②第一个分数的分母：第1个是1，第2个是2，第3个是3，恰好等于等式序号k；③乘的第二个分数分子恒为1，分母为k+1；④等式右侧是第一个分数减去分子为k+2、分母为k+1的分数。第(1)问代入k=6即可写出第6个等式，再分别计算左右两边结果验证相等即可；第(2)问将序号替换为n，用含n的式子表达规律即可。
【解析】
(1) 根据规律，第6个等式序号为6，代入对应数值可得等式：$\frac{8}{6}×\frac{1}{7}=\frac{8}{6}-\frac{8}{7}$
验证：左边$\frac{8}{6}×\frac{1}{7}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$
右边$\frac{8}{6}-\frac{8}{7}=\frac{8×7 - 8×6}{6×7}=\frac{56-48}{42}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$
左边等于右边，等式成立。
(2) 设n为正整数，将各部分用含n的式子替换，可得第n个等式：
$\frac{n+2}{n}×\frac{1}{n+1}=\frac{n+2}{n}-\frac{n+2}{n+1}$
【答案】
(1)$\frac{8}{6}×\frac{1}{7}=\frac{8}{6}-\frac{8}{7}$，验证：$\frac{8}{6}×\frac{1}{7}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$，$\frac{8}{6}-\frac{8}{7}=\frac{56-48}{42}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$。
(2)$\frac{n+2}{n}×\frac{1}{n+1}=\frac{n+2}{n}-\frac{n+2}{n+1}$。
【知识点】
数字规律探究，用字母表示数，分数运算
【点评】
本题是典型的数字规律类题目，考察从特殊示例中归纳一般规律的能力，只要找准等式各部分和序号的对应关系，结合基础运算验证就能顺利解题，是规律探究类的基础题型。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先观察已知等式各部分和序号的对应规律：①第一个分数的分子：第1个等式是3=1+2，第2个是4=2+2，第3个是5=3+2，可推出第k个等式的第一个分数分子为k+2；②第一个分数的分母：第1个是1，第2个是2，第3个是3，恰好等于等式序号k；③乘的第二个分数分子恒为1，分母为k+1；④等式右侧是第一个分数减去分子为k+2、分母为k+1的分数。第(1)问代入k=6即可写出第6个等式，再分别计算左右两边结果验证相等即可；第(2)问将序号替换为n，用含n的式子表达规律即可。
【解析】
(1) 根据规律，第6个等式序号为6，代入对应数值可得等式：$\frac{8}{6}×\frac{1}{7}=\frac{8}{6}-\frac{8}{7}$
验证：左边$\frac{8}{6}×\frac{1}{7}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$
右边$\frac{8}{6}-\frac{8}{7}=\frac{8×7 - 8×6}{6×7}=\frac{56-48}{42}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$
左边等于右边，等式成立。
(2) 设n为正整数，将各部分用含n的式子替换，可得第n个等式：
$\frac{n+2}{n}×\frac{1}{n+1}=\frac{n+2}{n}-\frac{n+2}{n+1}$
【答案】
(1)$\frac{8}{6}×\frac{1}{7}=\frac{8}{6}-\frac{8}{7}$，验证：$\frac{8}{6}×\frac{1}{7}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$，$\frac{8}{6}-\frac{8}{7}=\frac{56-48}{42}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$。
(2)$\frac{n+2}{n}×\frac{1}{n+1}=\frac{n+2}{n}-\frac{n+2}{n+1}$。
【知识点】
数字规律探究，用字母表示数，分数运算
【点评】
本题是典型的数字规律类题目，考察从特殊示例中归纳一般规律的能力，只要找准等式各部分和序号的对应关系，结合基础运算验证就能顺利解题，是规律探究类的基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图所示是由若干个三角形和六边形有规律地排列、拼接而成的图案。
(1)第5个图案中，三角形有
(2)第n(n为正整数)个图案中，三角形与六边形各有多少个？
(3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
(1)第5个图案中，三角形有
12
个，六边形有5
个。(2)第n(n为正整数)个图案中，三角形与六边形各有多少个？
(3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形和40个六边形？如果存在，指出是第几个图案；如果不存在，请说明理由。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
(1)第1个图案中，三角形有4个，六边形有1个；
第2个图案中，三角形有6个，六边形有2个；
第3个图案中，三角形有8个，六边形有3个；
第4个图案中，三角形有10个，六边形有4个；
所以第5个图案中，三角形有12个，六边形有5个。
故答案为12，5。
(2)由(1)可得，第n个图案中三角形有$(2n+2)$个，六边形有n个。
(3)不存在。
若图案中有40个六边形，也就是第40个图案。
由(2)可知，当$n=40$时，$40×2+2=82≠100$，
所以不存在符合上述规律的图案。
第2个图案中，三角形有6个，六边形有2个；
第3个图案中，三角形有8个，六边形有3个；
第4个图案中，三角形有10个，六边形有4个；
所以第5个图案中，三角形有12个，六边形有5个。
故答案为12，5。
(2)由(1)可得，第n个图案中三角形有$(2n+2)$个，六边形有n个。
(3)不存在。
若图案中有40个六边形，也就是第40个图案。
由(2)可知，当$n=40$时，$40×2+2=82≠100$，
所以不存在符合上述规律的图案。
解析
【分析】
这是图形规律探究类题目，解题思路如下：首先观察前3个图案，分别统计每个图案中三角形、六边形的数量，可发现两个变化规律：一是六边形的数量和图案的序号完全相等；二是每往后一个图案，三角形的数量比前一个多2个。第一问根据这个变化规律，依次推导第4、第5个图案的对应数量即可。第二问用n表示图案序号，把数量和n的关系用代数式表达即可得到通用规律。第三问先根据六边形的数量求出对应的图案序号，再代入三角形的代数式验证数值是否匹配，即可判断是否存在符合条件的图案。
【解析】
(1) 统计前3个图案的数量：
第1个图案：三角形4个，六边形1个；
第2个图案：三角形6个，六边形2个；
第3个图案：三角形8个，六边形3个；
可推出：每增加1个图案，三角形数量增加2个，六边形数量增加1个，六边形个数等于图案序号。
因此第4个图案三角形有$8+2=10$个，六边形4个；第5个图案三角形有$10+2=12$个，六边形5个。
(2) 结合(1)的规律：
第n个图案中，六边形的个数等于序号，即$n$个；
三角形的个数：第1个为$2×1+2=4$，第2个为$2×2+2=6$，第3个为$2×3+2=8$，因此第$n$个图案三角形个数为$2n+2$个。
(3) 不存在，理由如下：
若图案中有40个六边形，根据规律可知该图案是第40个图案。
将$n=40$代入三角形个数的表达式：$2×40+2=82$，$82≠100$，不符合100个三角形的条件，因此不存在这样的图案。
【答案】
(1) $\boxed{12}$，$\boxed{5}$
(2) 三角形有$\boxed{(2n+2)}$个，六边形有$\boxed{n}$个
(3) 不存在，若有40个六边形，对应第40个图案，此时三角形数量为82个，不等于100个，故不存在该图案。
【知识点】
图形规律探究；用字母表示数；代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是通过观察前几个图形的数量特征，归纳出数量与图形序号的通用规律，再利用规律解决问题，能够锻炼学生的观察归纳能力和代数式的应用能力。
【难度系数】
0.7
这是图形规律探究类题目，解题思路如下：首先观察前3个图案，分别统计每个图案中三角形、六边形的数量，可发现两个变化规律：一是六边形的数量和图案的序号完全相等；二是每往后一个图案，三角形的数量比前一个多2个。第一问根据这个变化规律，依次推导第4、第5个图案的对应数量即可。第二问用n表示图案序号，把数量和n的关系用代数式表达即可得到通用规律。第三问先根据六边形的数量求出对应的图案序号，再代入三角形的代数式验证数值是否匹配，即可判断是否存在符合条件的图案。
【解析】
(1) 统计前3个图案的数量：
第1个图案：三角形4个，六边形1个；
第2个图案：三角形6个，六边形2个；
第3个图案：三角形8个，六边形3个；
可推出：每增加1个图案，三角形数量增加2个，六边形数量增加1个，六边形个数等于图案序号。
因此第4个图案三角形有$8+2=10$个，六边形4个；第5个图案三角形有$10+2=12$个，六边形5个。
(2) 结合(1)的规律：
第n个图案中，六边形的个数等于序号，即$n$个；
三角形的个数：第1个为$2×1+2=4$，第2个为$2×2+2=6$，第3个为$2×3+2=8$，因此第$n$个图案三角形个数为$2n+2$个。
(3) 不存在，理由如下：
若图案中有40个六边形，根据规律可知该图案是第40个图案。
将$n=40$代入三角形个数的表达式：$2×40+2=82$，$82≠100$，不符合100个三角形的条件，因此不存在这样的图案。
【答案】
(1) $\boxed{12}$，$\boxed{5}$
(2) 三角形有$\boxed{(2n+2)}$个，六边形有$\boxed{n}$个
(3) 不存在，若有40个六边形，对应第40个图案，此时三角形数量为82个，不等于100个，故不存在该图案。
【知识点】
图形规律探究；用字母表示数；代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是通过观察前几个图形的数量特征，归纳出数量与图形序号的通用规律，再利用规律解决问题，能够锻炼学生的观察归纳能力和代数式的应用能力。
【难度系数】
0.7
