登录
4. 先化简,再求值:$x(\sqrt{6}-x)+(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$,其中$x=\sqrt{6}-\sqrt{2}.$
答案
4. 解:原式$=\sqrt{6}x-x^2+x^2-5=\sqrt{6}x-5$. 当$x=\sqrt{6}-\sqrt{2}$时,原式$=\sqrt{6}×(\sqrt{6}-\sqrt{2})-5=6-2\sqrt{3}-5=1-2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
这是一道二次根式的化简求值题，遵循“先化简，再求值”的原则可大幅简化计算。解题思路如下：第一步先处理整式运算部分：①对第一项$x(\sqrt{6}-x)$，按照单项式乘多项式的法则展开；②对第二项$(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$，观察发现其符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，直接用公式展开；③展开后合并同类项，消去含$x^2$的项，得到最简整式。第二步将$x$的取值代入最简式，按照二次根式的乘法法则计算，最后化简得到结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{6}x - x^2 + (x^2 - (\sqrt{5})^2)\\&=\sqrt{6}x - x^2 + x^2 - 5\\&=\sqrt{6}x - 5\end{aligned}$
将$x=\sqrt{6}-\sqrt{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{6}×(\sqrt{6}-\sqrt{2}) - 5\\&=(\sqrt{6}×\sqrt{6}) - (\sqrt{6}×\sqrt{2}) - 5\\&=6 - \sqrt{12} - 5\\&=6 - 2\sqrt{3} - 5\\&=1 - 2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$1-2\sqrt{3}$
【知识点】
整式乘法运算；平方差公式；二次根式化简求值
【点评】
本题侧重考查代数基础运算能力，先化简后代入的解题思路能有效降低计算量，解题时需注意整式乘法的符号规则、平方差公式的结构特征，最终二次根式的结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
这是一道二次根式的化简求值题，遵循“先化简，再求值”的原则可大幅简化计算。解题思路如下：第一步先处理整式运算部分：①对第一项$x(\sqrt{6}-x)$，按照单项式乘多项式的法则展开；②对第二项$(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})$，观察发现其符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，直接用公式展开；③展开后合并同类项，消去含$x^2$的项，得到最简整式。第二步将$x$的取值代入最简式，按照二次根式的乘法法则计算，最后化简得到结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{6}x - x^2 + (x^2 - (\sqrt{5})^2)\\&=\sqrt{6}x - x^2 + x^2 - 5\\&=\sqrt{6}x - 5\end{aligned}$
将$x=\sqrt{6}-\sqrt{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{6}×(\sqrt{6}-\sqrt{2}) - 5\\&=(\sqrt{6}×\sqrt{6}) - (\sqrt{6}×\sqrt{2}) - 5\\&=6 - \sqrt{12} - 5\\&=6 - 2\sqrt{3} - 5\\&=1 - 2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$1-2\sqrt{3}$
【知识点】
整式乘法运算；平方差公式；二次根式化简求值
【点评】
本题侧重考查代数基础运算能力，先化简后代入的解题思路能有效降低计算量，解题时需注意整式乘法的符号规则、平方差公式的结构特征，最终二次根式的结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
5. 先化简,再求值:$(2x+y)^2 + (x-y)(x+y) -5x(x-y)$,其中$x=\sqrt{2}+1,y=\sqrt{2}-1$.
答案
5. 解:原式$=4x^2+4xy+y^2+x^2-y^2-5x^2+5xy=9xy$. 当$x=\sqrt{2}+1,y=\sqrt{2}-1$时,原式$=9×(\sqrt{2}+1)×(\sqrt{2}-1)=9$.
解析
【分析】
本题是整式化简结合二次根式求值的基础题型，解题思路分两步：第一步先化简整式，依次用完全平方公式展开$(2x+y)^2$，平方差公式展开$(x-y)(x+y)$，单项式乘多项式法则计算$-5x(x-y)$，再合并同类项得到最简式；第二步代入$x$、$y$的值求值，计算时可再次用平方差公式简化运算，减少计算错误。
【解析】
解：先化简原式：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$；
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$；
根据单项式乘多项式运算法则，得$-5x(x-y)=-5x^2+5xy$；
合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2+4xy+y^2+x^2-y^2-5x^2+5xy\\&=(4x^2+x^2-5x^2)+(y^2-y^2)+(4xy+5xy)\\&=9xy\end{aligned}$
再代入$x=\sqrt{2}+1$，$y=\sqrt{2}-1$求值：
$xy=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$，
故原式$=9×1=9$。
【答案】
$9$
【知识点】
整式混合运算，乘法公式，二次根式运算
【点评】
本题属于常规基础综合题，核心是熟练掌握整式运算的法则和乘法公式，遵循先化简再代入的解题思路，可大幅降低计算量，避免直接代入高次项运算出现失误。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简结合二次根式求值的基础题型，解题思路分两步：第一步先化简整式，依次用完全平方公式展开$(2x+y)^2$，平方差公式展开$(x-y)(x+y)$，单项式乘多项式法则计算$-5x(x-y)$，再合并同类项得到最简式；第二步代入$x$、$y$的值求值，计算时可再次用平方差公式简化运算，减少计算错误。
【解析】
解：先化简原式：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得$(2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2$；
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$；
根据单项式乘多项式运算法则，得$-5x(x-y)=-5x^2+5xy$；
合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2+4xy+y^2+x^2-y^2-5x^2+5xy\\&=(4x^2+x^2-5x^2)+(y^2-y^2)+(4xy+5xy)\\&=9xy\end{aligned}$
再代入$x=\sqrt{2}+1$，$y=\sqrt{2}-1$求值：
$xy=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$，
故原式$=9×1=9$。
【答案】
$9$
【知识点】
整式混合运算，乘法公式，二次根式运算
【点评】
本题属于常规基础综合题，核心是熟练掌握整式运算的法则和乘法公式，遵循先化简再代入的解题思路，可大幅降低计算量，避免直接代入高次项运算出现失误。
【难度系数】
0.8
6. 对于任意的正实数 $a$ 和 $b$，我们定义新运算：
$a*b=\begin{cases}\sqrt{a}-\sqrt{b} & (a≥ b), \\\sqrt{a}+\sqrt{b} & (a＜ b).\end{cases}$
例如：$27*12=\sqrt{27}-\sqrt{12}=\sqrt{3}$。求$(5*2)×(18*45)$的值。
$a*b=\begin{cases}\sqrt{a}-\sqrt{b} & (a≥ b), \\\sqrt{a}+\sqrt{b} & (a＜ b).\end{cases}$
例如：$27*12=\sqrt{27}-\sqrt{12}=\sqrt{3}$。求$(5*2)×(18*45)$的值。
答案
6. 解:$\because 5＞2,18＜45,\therefore (5*2)×(18*45)=(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(\sqrt{18}+\sqrt{45})=(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(3\sqrt{2}+3\sqrt{5})=3×(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(\sqrt{5}+\sqrt{2})=3×(5-2)=9$.
解析
【分析】
解题时首先要明确新定义运算*的规则：先比较参与运算的两个数a和b的大小，若a≥b则运算结果为$\sqrt{a}-\sqrt{b}$，若a＜b则运算结果为$\sqrt{a}+\sqrt{b}$。解题分两步进行：第一步分别计算两个括号内的新定义运算，先比较每组两个数的大小，代入对应规则得到含二次根式的式子；第二步计算两个式子的乘积，先化简二次根式，观察式子特征提取公因式后，利用平方差公式简化计算，避免直接展开导致运算出错。
【解析】
解：首先判断两组新运算中两个数的大小：
∵$5＞2$，$18＜45$，
∴根据新定义运算规则可得：
$5*2=\sqrt{5}-\sqrt{2}$，$18*45=\sqrt{18}+\sqrt{45}$，
则原式$=(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(\sqrt{18}+\sqrt{45})$，
化简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，代入得：
原式$=(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(3\sqrt{2}+3\sqrt{5})$，
提取第二个括号内的公因式3：
$=3×(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(\sqrt{5}+\sqrt{2})$，
利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
$=3×[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2]$
$=3×(5-2)$
$=3×3=9$
【答案】
$9$
【知识点】
新定义运算；二次根式化简；平方差公式
【点评】
本题将新定义运算与二次根式计算结合，解题核心是准确理解新运算的规则，再结合二次根式的性质和乘法公式简化计算，能有效考查学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确新定义运算*的规则：先比较参与运算的两个数a和b的大小，若a≥b则运算结果为$\sqrt{a}-\sqrt{b}$，若a＜b则运算结果为$\sqrt{a}+\sqrt{b}$。解题分两步进行：第一步分别计算两个括号内的新定义运算，先比较每组两个数的大小，代入对应规则得到含二次根式的式子；第二步计算两个式子的乘积，先化简二次根式，观察式子特征提取公因式后，利用平方差公式简化计算，避免直接展开导致运算出错。
【解析】
解：首先判断两组新运算中两个数的大小：
∵$5＞2$，$18＜45$，
∴根据新定义运算规则可得：
$5*2=\sqrt{5}-\sqrt{2}$，$18*45=\sqrt{18}+\sqrt{45}$，
则原式$=(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(\sqrt{18}+\sqrt{45})$，
化简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，代入得：
原式$=(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(3\sqrt{2}+3\sqrt{5})$，
提取第二个括号内的公因式3：
$=3×(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(\sqrt{5}+\sqrt{2})$，
利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
$=3×[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2]$
$=3×(5-2)$
$=3×3=9$
【答案】
$9$
【知识点】
新定义运算；二次根式化简；平方差公式
【点评】
本题将新定义运算与二次根式计算结合，解题核心是准确理解新运算的规则，再结合二次根式的性质和乘法公式简化计算，能有效考查学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
