1. 计算:
(1)$(2024·河南)\sqrt{2}×\sqrt{50}-(1-\sqrt{3})^0$.
(2)$(2024·兰州)\sqrt{27}-\sqrt{\frac{3}{2}}×\sqrt{8}$.
(3)$(2\sqrt{5}+\sqrt{3})×(2\sqrt{5}-\sqrt{3})$.
(4)$2\sqrt{2}×\sqrt{10}-6\sqrt{15}÷2\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{5}}$.

1. 解:(1)原式$=\sqrt{100}-1=10-1=9$.
(2)原式$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$.
(3)原式$=(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=20-3=17$.
(4)原式$=2\sqrt{20}-3\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}=4\sqrt{5}-3\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

【分析】
这是一组二次根式的混合运算题，解题遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，结合对应性质、公式计算即可：
(1)先分别计算二次根式乘法、零指数幂，再做减法：二次根式乘法遵循$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），非零数的0次幂等于1；
(2)先化简二次根式、计算二次根式乘法，再合并同类二次根式；
(3)观察算式符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，直接套用公式计算更简便；
(4)先分别计算二次根式的乘、除法，再将所有二次根式化为最简，最后合并同类二次根式。
【解析】
(1)原式$=\sqrt{2×50} - 1 = \sqrt{100} - 1 = 10 - 1 = 9$
(2)原式$=3\sqrt{3} - \sqrt{\frac{3}{2}×8} = 3\sqrt{3} - \sqrt{12} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$
(3)原式$=(2\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 4×5 - 3 = 20 - 3 = 17$
(4)原式$=2\sqrt{2×10} - (6÷2)×\sqrt{15÷3} - \frac{\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{20} - 3\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$
【答案】
(1)$9$；(2)$\sqrt{3}$；(3)$17$；(4)$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
二次根式的运算，零指数幂，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考察运算顺序和相关运算性质的应用，熟练掌握二次根式化简、乘除法则以及常用乘法公式，可有效提升运算的速度和准确率。
【难度系数】
0.8

2. 计算:
(1) $(\sqrt{12} - 4\sqrt{\frac{1}{8}}) - (3\sqrt{\frac{1}{3}} - 4\sqrt{0.5})$.
(2) $\sqrt{24} × \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{48} ÷ (\sqrt{12} - \sqrt{3})$.
(3) $\frac{\sqrt{12} - 3}{\sqrt{3}} - (\sqrt{\frac{1}{3}})^2 - \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2}$.
(4) $(1 - π)^0 - (2 - \sqrt{6})^2 + |-\sqrt{24}| + (\frac{1}{\sqrt{6}})^{-1}$.

2. 解:(1)原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$.
(2)原式$=\sqrt{24×\frac{3}{2}}+\sqrt{48}÷(2\sqrt{3}-\sqrt{3})=\sqrt{36}+\sqrt{48}÷\sqrt{3}=6+4=10$.
(3)原式$=\frac{(\sqrt{12}-3)×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}-\frac{1}{3}-(2-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{12×3}-3\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}-2+\sqrt{3}=\frac{6-3\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}-2+\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-\frac{1}{3}-2+\sqrt{3}=-\frac{1}{3}$.
(4)原式$=1-(4-4\sqrt{6}+6)+2\sqrt{6}+\sqrt{6}=1-4+4\sqrt{6}-6+3\sqrt{6}=-9+7\sqrt{6}$.

【分析】
这4道题均为二次根式混合运算类题目，通用解题思路如下：①先将所有二次根式化简为最简二次根式；②严格遵循运算顺序：有括号先算括号内的，再算乘方、开方，随后算乘除，最后算加减；③计算过程中注意特殊规则的应用：非零数的零次幂为1、负整数指数幂运算规则、$\sqrt{a^2}=|a|$、分母有理化、完全平方公式、去括号符号规则等；④最后合并同类二次根式得到最终结果。
各小题具体思考方向：(1)先去括号，再化简各根式后合并同类二次根式；(2)先算二次根式乘除与括号内减法，再算加法；(3)先对第一项分母有理化，再计算乘方、化简带平方的二次根式，最后合并同类项；(4)先分别计算零指数幂、完全平方、绝对值、负指数幂，再去括号合并同类项。
【解析】
(1) 去括号后化简各二次根式，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{12} - 4\sqrt{\frac{1}{8}} - 3\sqrt{\frac{1}{3}} + 4\sqrt{0.5}\\&=2\sqrt{3} - 4×\frac{\sqrt{2}}{4} - 3×\frac{\sqrt{3}}{3} + 4×\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=2\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{3} + 2\sqrt{2}\\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先算二次根式乘法、括号内减法，再算除法，最后求和：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{24×\frac{3}{2}} + \sqrt{48}÷(2\sqrt{3}-\sqrt{3})\\&=\sqrt{36} + \sqrt{48}÷\sqrt{3}\\&=6 + \sqrt{\frac{48}{3}}\\&=6+4=10\end{aligned}$
(3) 先对第一项分母有理化，再计算乘方、化简二次根式，合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(\sqrt{12}-3)×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} - (\sqrt{\frac{1}{3}})^2 - |\sqrt{3}-2|\\&=\frac{\sqrt{36}-3\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3} - (2-\sqrt{3})\\&=2 - \sqrt{3} - \frac{1}{3} - 2 + \sqrt{3}\\&=-\frac{1}{3}\end{aligned}$
(4) 先计算各特殊运算，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=1 - (4-4\sqrt{6}+6) + |-\sqrt{24}| + (\frac{1}{\sqrt{6}})^{-1}\\&=1 - 10 + 4\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + \sqrt{6}\\&=-9+7\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$；(2) $10$；(3) $-\frac{1}{3}$；(4) $-9+7\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式化简；二次根式混合运算；特殊幂与绝对值运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，全面覆盖了二次根式相关的核心考点，解题时需注意运算顺序，去括号、去绝对值时要留意符号变化，二次根式需化简为最简形式后再合并同类二次根式。
【难度系数】
0.65

3. 新考向·过程性学习 下面是亮亮进行二次根式运算的过程,请仔细阅读,并完成任务.
解:$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 × (5+2\sqrt{6})$
$=(3-2\sqrt{6}+2)×(5+2\sqrt{6})······$第一步
$=(5-2\sqrt{6})×(5+$$\sqrt{6})······$第二步
$=25-12······$第三步
$=13.······$第四步
任务:
(1)从第二步到第三步运用的乘法公式是（填“完全平方公式”或“平方差公式”).
(2)上述解题过程中,最开始出现错误的步骤是第步.
(3)请写出正确的解题过程.
(4)请根据本题以及平时学习的经验,给同学们提出一条二次根式运算的注意事项.

3. 解:(1)平方差公式
(2)三
(3)正确的解题过程如下:$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2×(5+2\sqrt{6})=(3-2\sqrt{6}+2)×(5+2\sqrt{6})=(5-2\sqrt{6})×(5+2\sqrt{6})=25-24=1$.
(4)例如:二次根式的运算,最后结果应化为最简二次根式(答案不唯一).

【分析】
（1）先观察第二步到第三步的式子结构：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，对应平方差公式的特征即可判断；（2）逐一核对每步运算：第三步计算$(2\sqrt{6})^2$时，应先算系数的平方再乘根号部分的平方，原计算错误，即可确定出错步骤；（3）先利用完全平方公式展开$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$，合并同类项后再利用平方差公式计算，注意乘方运算时系数也要参与运算；（4）结合本题容易出错的点，提出合理的运算注意事项即可。
【解析】
(1) 第二步的算式为$(5-2\sqrt{6})×(5+2\sqrt{6})$，符合平方差公式“两个数的和与两个数的差相乘，等于这两个数的平方差”的结构特征，因此运用的乘法公式是平方差公式。
(2) 计算$(2\sqrt{6})^2$时，正确结果为$2^2×(\sqrt{6})^2=4×6=24$，原第三步错写为12，因此最开始出现错误的步骤是第三步。
(3) 正确解题过程：
先根据完全平方公式展开$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$：
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{6}+2$，
合并同类项得$5-2\sqrt{6}$，
再计算乘法：$(5-2\sqrt{6})×(5+2\sqrt{6})$，
根据平方差公式得$5^2-(2\sqrt{6})^2=25-24=1$。
(4) 二次根式运算时，要注意根号前的系数也要参与对应的乘方、乘法运算即可，答案合理即可。
【答案】
(1) 平方差公式
(2) 三
(3) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2×(5+2\sqrt{6})=(3-2\sqrt{6}+2)×(5+2\sqrt{6})=(5-2\sqrt{6})×(5+2\sqrt{6})=25-24=1$
(4) 示例：进行二次根式乘方运算时，系数也要同时进行乘方运算（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，二次根式的运算
【点评】
本题属于过程性探究题，围绕二次根式的混合运算设置，既考查了乘法公式的识别与应用，也考查了运算的严谨性，引导学生重视运算过程的每一步规则，避免出现漏算系数的常见错误。
【难度系数】
0.7