7.若$a+b=2$，则称$a$与$b$是关于1的平衡数.
(1)3与是关于1的平衡数，$5-\sqrt{2}$与是关于1的平衡数.
(2)若$(m+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=-5+3\sqrt{3}$，判断$m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$是不是关于1的平衡数，并说明理由.

7. 解:(1)$-1\quad -3+\sqrt{2}$
(2)不是. 理由如下:$m+\sqrt{3}=(-5+3\sqrt{3})÷(1-\sqrt{3})=(5-3\sqrt{3})÷(\sqrt{3}-1)=(5-3\sqrt{3})×\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{5\sqrt{3}+5-9-3\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}$. $\therefore (m+\sqrt{3})+(5-\sqrt{3})=(-2+\sqrt{3})+(5-\sqrt{3})=3$. $\therefore m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$不是关于1的平衡数.

【分析】
首先理解新定义：若a与b是关于1的平衡数，则满足a+b=2。
（1）已知其中一个数求对应的平衡数，直接用2减去已知数即可计算出结果。
（2）要判断两个数是否为关于1的平衡数，需先根据给出的含m的等式，通过二次根式的运算求出$m+\sqrt{3}$的具体值，再计算$m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$的和，判断和是否等于2即可。计算过程中需要对二次根式进行分母有理化，注意运算准确性。
【解析】
（1）根据平衡数的定义，和为2的两个数是关于1的平衡数：
3对应的平衡数为：$2-3=-1$；
$5-\sqrt{2}$对应的平衡数为：$2-(5-\sqrt{2})=2-5+\sqrt{2}=-3+\sqrt{2}$。
（2）不是，理由如下：
先求$m+\sqrt{3}$的值：
$\because (m+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=-5+3\sqrt{3}$
$\therefore m+\sqrt{3}=\frac{-5+3\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$
对式子分母有理化，分子分母同乘$1+\sqrt{3}$：
$m+\sqrt{3}=\frac{(-5+3\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\frac{-5-5\sqrt{3}+3\sqrt{3}+9}{1-3}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-2}=-2+\sqrt{3}$
再计算$m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$的和：
$(m+\sqrt{3})+(5-\sqrt{3})=(-2+\sqrt{3})+(5-\sqrt{3})=3≠2$
因此$m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$不是关于1的平衡数。
【答案】
(1) $-1$，$-3+\sqrt{2}$；
(2) 不是，理由见解析。
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，分母有理化
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的基础运算，解题核心是准确理解新定义的规则，再按照二次根式的运算规范计算验证即可，侧重对新定义的理解能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7

8. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$。善于思考的小明进行了以下探索：设 $a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$（其中 $a,b,m,n$ 均为正整数），则有 $a+b\sqrt{2}=m^2+2n^2+2\sqrt{2}mn$。$\therefore a=m^2+2n^2, b=2mn$。这样小明就找到了一种把形如 $a+b\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法。请仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1) 当 $a,b,m,n$ 均为正整数时，若 $a+b\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，用含 $m,n$ 的式子分别表示 $a,b$，得 $a=\_\_\_\_\_\_, b=\_\_\_\_\_\_$。
(2) 利用所探索的结论，找一组正整数 $a,b,m,n$ 填空：$\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3}=(\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3})^2$。
(3) 若 $a+4\sqrt{3}=(m+n\sqrt{3})^2$，且 $a,m,n$ 均为正整数，求 $a$ 的值。

8. 解:(1)$m^2+3n^2\quad 2mn$
(2)$13\quad 4\quad 1\quad 2$(答案不唯一)
(3)根据题意,得$a=m^2+3n^2,4=2mn$. $\therefore mn=2$. $\because m,n$ 为正整数, $\therefore m=2,n=1$ 或 $m=1,n=2$. 当 $m=2,n=1$ 时,$a=m^2+3n^2=7$;当 $m=1,n=2$ 时,$a=m^2+3n^2=13$. $\therefore a$ 的值为7或13.

【分析】
本题属于阅读迁移类题目，解题思路如下：
(1) 类比题干中根号为2的推导方法，将右侧完全平方式展开，把有理数部分、含$\sqrt{3}$的部分分别和左侧对应，即可得到$a,b$的表达式；
(2) 任意选取一组正整数$m,n$，代入(1)得到的$a,b$表达式计算出对应值即可，答案不唯一；
(3) 先根据$b$的表达式结合已知$b=4$，求出$mn$的正整数解，再分情况代入$a$的表达式计算，就能得到所有符合条件的$a$值。
【解析】
(1) 展开右侧完全平方式：$(m+n\sqrt{3})^2=m^2+2mn\sqrt{3}+(n\sqrt{3})^2=m^2+3n^2+2mn\sqrt{3}$，
和左侧$a+b\sqrt{3}$对应匹配，可得$a=m^2+3n^2$，$b=2mn$。
(2) 示例：取正整数$m=1,n=2$，代入上述公式计算：
$a=1^2+3×2^2=13$，$b=2×1×2=4$，
即$13+4\sqrt{3}=(1+2\sqrt{3})^2$，答案不唯一。
(3) 根据(1)的结论可列关系式：$\begin{cases}a=m^2+3n^2\\4=2mn\end{cases}$，
化简$4=2mn$得$mn=2$，
∵$m,n$均为正整数，
∴$m,n$的取值有两种情况：①$m=2,n=1$；②$m=1,n=2$。
当$m=2,n=1$时，$a=2^2+3×1^2=7$；
当$m=1,n=2$时，$a=1^2+3×2^2=13$。
综上，$a$的值为7或13。
【答案】
(1)$m^2+3n^2$；$2mn$
(2)13；4；1；2（答案不唯一）
(3)7或13
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 二次根式运算
3. 系数对应匹配
【点评】
本题是典型的方法迁移类题型，需要准确理解题干给出的推导逻辑，再类比应用到含$\sqrt{3}$的式子中，第三问要注意分类讨论所有正整数解，避免漏解。
【难度系数】
0.7