7. (★★)如图，$∠ ACB = ∠ ADB = 90°$，$AC = AD$，$E$是$AB$上的一点. 求证：$CE = DE$.

证明：
∵ ∠ACB = ∠ADB = 90°，
∴ △ACB和△ADB都是直角三角形。
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
$\{\begin{array}{l}AC = AD \\AB = AB\end{array} $
∴ Rt△ACB ≌ Rt△ADB（HL）。
∴ ∠CAB = ∠DAB。
在△ACE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AC = AD \\∠CAE = ∠DAE \\AE = AE\end{array} $
∴ △ACE ≌ △ADE（SAS）。
∴ CE = DE。

8. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D$在$△ ABC$外,连接$AD$,作$DE ⊥ AB$于点$E$,交$BC$于点$F$,$AD=AB$,$AE=AC$.
(1)求证:$BC=DE$;
(2)若$BF=2$,$CF=1$,求$DF$的长.

证明：
(1) ∵ DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴ ∠AED = ∠ACB = 90°。
在Rt△ADE和Rt△ABC中，
$\{\begin{array}{l}AD = AB \\AE = AC\end{array} $
∴ Rt△ADE ≌ Rt△ABC（HL），
∴ BC = DE。
解：
(2) 连接AF，
∵ ∠AEF = ∠ACF = 90°，
在Rt△AEF和Rt△ACF中，
$\{\begin{array}{l}AE = AC \\AF = AF\end{array} $
∴ Rt△AEF ≌ Rt△ACF（HL），
∴ EF = CF = 1。
∵ BC = BF + CF = 2 + 1 = 3，
由(1)知 DE = BC = 3，
又∵ D、E、F三点共线，点E在D和F之间，
∴ DF = DE + EF = 3 + 1 = 4。
∴ DF的长为4。

9. (★)如图，$BC ⊥ AC$，$ED ⊥ AB$，$BD = BC$，$AE = 5$，$DE = 2$，则$AC$的长为 【 】

A.5
B.6
C.7
D.8

C

∵ $BC ⊥ AC$，$ED ⊥ AB$，
∴ $∠ BDE = ∠ C = 90°$，即$△ BDE$和$△ BCE$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ BCE$中，
$\begin{cases} BD = BC \\ BE = BE \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ BCE$（HL），
∴ $CE = DE = 2$。
又∵ $AC = AE + CE$，$AE=5$，
∴ $AC = 5 + 2 = 7$。

10. (★★)如图，D是∠MAN内部一点，$DE ⊥ AM$于点E，$DF ⊥ AN$于点F，且$DE=DF$，B是线段AE上一点，$AB=6$，$BE=2$，在射线AN上取一点C，使得$DC=DB$，则AC的长为。

解：
连接AD。
∵ $DE ⊥ AM$，$DF ⊥ AN$，$DE=DF$，
∴ $AD$平分$∠MAN$，$∠DEA=∠DFA=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中，
$\begin{cases}AD=AD \\DE=DF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADE ≌ \mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，
∴ $AE=AF$。
∵ $AE = AB + BE = 6 + 2 = 8$，
∴ $AF = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\begin{cases}DE=DF \\DB=DC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $BE = CF = 2$。
分两种情况：
① 当点$C$在线段$AF$上时，
$AC = AF - CF = 8 - 2 = 6$；
② 当点$C$在点$F$远离点$A$的一侧时，
$AC = AF + CF = 8 + 2 = 10$。
综上，$AC$的长为$\boldsymbol{6}$或$\boldsymbol{10}$。

11. (★★) 如图，AD 是 $△ ABC$ 的中线，$BE ⊥ AD$ 于点 $E$，$CF ⊥ AD$，交 $AD$ 的延长线于点 $F$，$G$ 是 $DA$ 延长线上一点，连接 $BG$.
(1)求证：$BE=CF$；
(2)若 $BG=CA$，求证：$GA=2DE$.

证明：
(1)
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
∵ BE⊥AD，CF⊥AD，
∴ ∠BED = ∠CFD = 90°。
在△BDE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠BED = ∠CFD \\∠BDE = ∠CDF \\BD = CD\end{array} $
∴ △BDE ≌ △CDF（AAS），
∴ BE = CF。
(2)
在Rt△BGE和Rt△CAF中，
$\{\begin{array}{l}BG = CA \\BE = CF\end{array} $
∴ Rt△BGE ≌ Rt△CAF（HL），
∴ GE = AF。
∵ GE = GA + AE，AF = AE + EF，
由(1)中△BDE ≌ △CDF可得：DE = DF，
∴ EF = DE + DF = 2DE，
∴ AF = AE + 2DE，
∴ GA + AE = AE + 2DE，
等式两边同时减去AE，可得GA = 2DE。