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1. (★)写出下列多项式的公因式：
(1)$2x - 2xy^2$
(2)$3a^2 - 6a^2b + 2ab$
(3)$3x^2(a - b)^2 + 6y(b - a)$
(4)$(a + b)^2 + (a + b)(a - 3b)$
(1)$2x - 2xy^2$
(2)$3a^2 - 6a^2b + 2ab$
(3)$3x^2(a - b)^2 + 6y(b - a)$
(4)$(a + b)^2 + (a + b)(a - 3b)$
答案
解：
(1) 公因式为$2x$
(2) 公因式为$a$
(3) 公因式为$3(a-b)$
(4) 公因式为$a+b$
(1) 公因式为$2x$
(2) 公因式为$a$
(3) 公因式为$3(a-b)$
(4) 公因式为$a+b$
2. (★)多项式$3a^2b^2 -15a^3b^3 -12a^2b^2c$的公因式是
【 】
A.$3a^2b^2$
B.$-15a^3b^3$
C.$3a^2b^2c$
D.$-12a^2b^2c$
【 】
A.$3a^2b^2$
B.$-15a^3b^3$
C.$3a^2b^2c$
D.$-12a^2b^2c$
答案
A
解析
确定公因式步骤：1. 取各项系数的最大公约数：多项式各项系数为3、-15、-12，最大公约数是3；2. 取各项共有的相同字母的最低次幂：各项都含字母a、b，a的最低次数为2，b的最低次数为2，前两项不含字母c，因此公因式不包含c。综上，该多项式的公因式是$3a^2b^2$。
3. (★)把多项式$-7ab -14abx +49aby$分解因式,提公因式$-7ab$后,另一个因式是【 】
A.$1+2x-7y$
B.$1-2x-7y$
C.$-1+2x+2y$
D.$-1-2x+7y$
A.$1+2x-7y$
B.$1-2x-7y$
C.$-1+2x+2y$
D.$-1-2x+7y$
答案
A
解析
将多项式$-7ab -14abx +49aby$的每一项分别除以公因式$-7ab$：$(-7ab)÷(-7ab)=1$，$(-14abx)÷(-7ab)=2x$，$49aby÷(-7ab)=-7y$，合并计算结果，得到另一个因式为$1+2x-7y$。
4. (★)多项式$9a^2x^2 - 18a^4x^3$可提的公因式是 【 】
A.$9ax$
B.$9a^2x^2$
C.$a^2x^2$
D.$9a^4x^3$
A.$9ax$
B.$9a^2x^2$
C.$a^2x^2$
D.$9a^4x^3$
答案
B
解析
按照找公因式的步骤：1. 取各项系数的最大公约数，两项系数9和-18的最大公约数是9；2. 取各项都含有的相同字母的最低次幂，两项共有的字母为a、x，a的最低次数是2，x的最低次数是2；将两部分相乘，得到可提取的公因式为$9a^2x^2$。
5. (★)把多项式$a^2 -4a$分解因式的正确结果是
【】
A.$a(a-4)$
B.$(a+2)(a-2)$
C.$a(a+2)(a-2)$
D.$(a-2)^2 -4$
【】
A.$a(a-4)$
B.$(a+2)(a-2)$
C.$a(a+2)(a-2)$
D.$(a-2)^2 -4$
答案
A
解析
对多项式$a^2-4a$提取公因式$a$，可得$a^2-4a=a(a-4)$，其余选项中B不符合原式、C分解错误、D未化为整式乘积的形式，不属于正确的因式分解结果。
6. (★)计算$(-2)^{2026} + (-2)^{2027}$所得结果是【】
A.$2^{2026}$
B.$-2^{4053}$
C.$-2$
D.$-2^{2026}$
A.$2^{2026}$
B.$-2^{4053}$
C.$-2$
D.$-2^{2026}$
答案
D
解析
对原式提取公因式$(-2)^{2026}$，可得：
原式$=(-2)^{2026} + (-2)^{2026} × (-2) = (-2)^{2026} × (1-2) = 2^{2026} × (-1) = -2^{2026}$
原式$=(-2)^{2026} + (-2)^{2026} × (-2) = (-2)^{2026} × (1-2) = 2^{2026} × (-1) = -2^{2026}$
7. (★)把下列多项式分解因式,结果正确的是 【 】
A.$12xyz - 9x^2y^2 = 3xyz(4 - 3xyz)$
B.$3a^2y - 3ay + 6y = 3y(a^2 - a + 2)$
C.$-x^2 + xy - xz = -x(x^2 + y - z)$
D.$a^2b + 5ab - b = b(a^2 + 5a)$
A.$12xyz - 9x^2y^2 = 3xyz(4 - 3xyz)$
B.$3a^2y - 3ay + 6y = 3y(a^2 - a + 2)$
C.$-x^2 + xy - xz = -x(x^2 + y - z)$
D.$a^2b + 5ab - b = b(a^2 + 5a)$
答案
B
解析
逐个验证各选项的提公因式分解结果：
1. 选项A：多项式$12xyz-9x^2y^2$的公因式是$3xy$，正确分解为$3xy(4z-3xy)$，A错误；
2. 选项B：提取公因式$3y$，可得$3a^2y - 3ay + 6y = 3y(a^2 - a + 2)$，分解正确；
3. 选项C：多项式$-x^2+xy-xz$的公因式是$-x$，正确分解为$-x(x-y+z)$，C错误；
4. 选项D：提取公因式$b$后，最后一项剩余1，正确分解为$b(a^2+5a-1)$，D错误。
1. 选项A：多项式$12xyz-9x^2y^2$的公因式是$3xy$，正确分解为$3xy(4z-3xy)$，A错误；
2. 选项B：提取公因式$3y$，可得$3a^2y - 3ay + 6y = 3y(a^2 - a + 2)$，分解正确；
3. 选项C：多项式$-x^2+xy-xz$的公因式是$-x$，正确分解为$-x(x-y+z)$，C错误；
4. 选项D：提取公因式$b$后，最后一项剩余1，正确分解为$b(a^2+5a-1)$，D错误。
8. (★)分解因式:$5a(m+n)-3b(m+n)=$ .
答案
$\boldsymbol{(m+n)(5a-3b)}$
解析
解：
多项式$5a(m+n)-3b(m+n)$的各项公因式为$(m+n)$，提取公因式$(m+n)$可得：
$5a(m+n)-3b(m+n)=(m+n)(5a-3b)$
最终
多项式$5a(m+n)-3b(m+n)$的各项公因式为$(m+n)$，提取公因式$(m+n)$可得：
$5a(m+n)-3b(m+n)=(m+n)(5a-3b)$
最终
9. (★★)分解因式:
(1) $x^2 -25x$;
(2) $m(a-2)+n(2-a)$;
(3) $2x(a-2)^2 + y(2-a)^3$.
(1) $x^2 -25x$;
(2) $m(a-2)+n(2-a)$;
(3) $2x(a-2)^2 + y(2-a)^3$.
答案
解：
(1) $x^2 - 25x = x(x - 25)$
(2) $m(a-2)+n(2-a)$
$= m(a-2) - n(a-2)$
$= (a-2)(m - n)$
(3) $2x(a-2)^2 + y(2-a)^3$
$= 2x(a-2)^2 - y(a-2)^3$
$= (a-2)^2[2x - y(a-2)]$
$= (a-2)^2(2x - ay + 2y)$
(1) $x^2 - 25x = x(x - 25)$
(2) $m(a-2)+n(2-a)$
$= m(a-2) - n(a-2)$
$= (a-2)(m - n)$
(3) $2x(a-2)^2 + y(2-a)^3$
$= 2x(a-2)^2 - y(a-2)^3$
$= (a-2)^2[2x - y(a-2)]$
$= (a-2)^2(2x - ay + 2y)$
10. (★)多项式$-8x^2y^3z + 12xy^2z^3 - 24x^3yz^2$的公因式是 【 】
A.$-xyz$
B.$-4x^3y^3z^3$
C.$-4xyz$
D.$-x^3y^3z^3$
A.$-xyz$
B.$-4x^3y^3z^3$
C.$-4xyz$
D.$-x^3y^3z^3$
答案
C
解析
先确定公因式的系数部分：多项式各项系数为-8、12、-24，它们的最大公约数是4，因首项为负，公因式系数取-4；再确定字母部分：各项都含有的相同字母是x、y、z，其中x的最低次数为1，y的最低次数为1，z的最低次数为1，因此相同字母部分为xyz；组合可得该多项式的公因式是-4xyz。
11. (★)一个多项式，把它分解因式后有一个因式为$x-1$，请你写出一个符合条件的多项式：
答案
解：$2x-2$（答案不唯一）
