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知识点2）三角形的稳定性
如图,在日常生活中,"人"字形屋顶钢架、风筝骨架等经常采用三角形的结构,是因为三角形具有
易错提示
三角形的三条边确定后,三角形的形状就唯一确定了,这就是三角形的稳定性.判断图形是否具有稳定性,关键看它的基本组成部分是不是三角形,若是,则具有稳定性;若不是,则不具有稳定性.
易混辨析
1. 三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状不会改变,这就是说,三角形具有稳定性.
2. 四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变,这就是说,四边形不具有稳定性.四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用,如活动挂架、伸缩门等.在该四边形木架上再钉一根木条,将它的一对不相邻的顶点连接起来,然后扭动它,它的形状不会改变,原因是四边形变成了两个三角形,这样就利用了三角形的稳定性.稳定性是三角形特有的,在生产和生活中具有广泛的应用,有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状,如起重机、钢架桥等.
3. 四边形及四边以上的图形不具有稳定性.
如图,在日常生活中,"人"字形屋顶钢架、风筝骨架等经常采用三角形的结构,是因为三角形具有
稳定性
.易错提示
三角形的三条边确定后,三角形的形状就唯一确定了,这就是三角形的稳定性.判断图形是否具有稳定性,关键看它的基本组成部分是不是三角形,若是,则具有稳定性;若不是,则不具有稳定性.
易混辨析
1. 三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状不会改变,这就是说,三角形具有稳定性.
2. 四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变,这就是说,四边形不具有稳定性.四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用,如活动挂架、伸缩门等.在该四边形木架上再钉一根木条,将它的一对不相邻的顶点连接起来,然后扭动它,它的形状不会改变,原因是四边形变成了两个三角形,这样就利用了三角形的稳定性.稳定性是三角形特有的,在生产和生活中具有广泛的应用,有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状,如起重机、钢架桥等.
3. 四边形及四边以上的图形不具有稳定性.
答案
稳定性
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形的特有性质：四边形等多边形容易变形，而三角形一旦三条边的长度确定，形状和大小就唯一固定，不会发生形变，这种性质就是三角形的稳定性。题目中的“人”字形屋顶钢架、风筝骨架都需要结构稳固不易变形，因此对应利用的就是三角形的这个性质。
【解析】
三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，不会轻易发生形变。生活中需要保持结构稳固的物体常采用三角形结构，本题中的“人”字形屋顶钢架、风筝骨架采用三角形结构就是利用了三角形的稳定性。
【答案】
稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形的基本特性，题目贴近生活，难度较低，意在让学生了解数学知识在实际生活中的应用，掌握相关基础概念即可正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形的特有性质：四边形等多边形容易变形，而三角形一旦三条边的长度确定，形状和大小就唯一固定，不会发生形变，这种性质就是三角形的稳定性。题目中的“人”字形屋顶钢架、风筝骨架都需要结构稳固不易变形，因此对应利用的就是三角形的这个性质。
【解析】
三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全固定，不会轻易发生形变。生活中需要保持结构稳固的物体常采用三角形结构，本题中的“人”字形屋顶钢架、风筝骨架采用三角形结构就是利用了三角形的稳定性。
【答案】
稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活实际场景考查三角形的基本特性，题目贴近生活，难度较低，意在让学生了解数学知识在实际生活中的应用，掌握相关基础概念即可正确作答。
【难度系数】
0.9
例 用一根长18 cm的铁丝围成一个三角形，其中三边长分别为4 cm,x cm,y cm,且有两边相等.求x,y的值.
分析:紧扣“两边相等”进行分类讨论,利用三角形三边关系进行检验是解题的关键.
解:当x=4时,y=18-4-4=10.
∵ 4+4＜10,
∴ 不能构成三角形,不符合题意.
当y=4时,x=18-4-4=10.
∵ 4+4＜10,
∴ 不能构成三角形,不符合题意.
当x=y时,x=y=$\frac{18-4}{2}$=7.
∵ 4+7＞7,
∴ 能构成三角形,符合题意.
综上可知,x=y=7.
方法点拨 当等腰三角形的腰长和底边长不确定时,要注意分情况讨论.同时,求出相应边长后,应利用三角形的三边关系检验是否能构成三角形.
分析:紧扣“两边相等”进行分类讨论,利用三角形三边关系进行检验是解题的关键.
解:当x=4时,y=18-4-4=10.
∵ 4+4＜10,
∴ 不能构成三角形,不符合题意.
当y=4时,x=18-4-4=10.
∵ 4+4＜10,
∴ 不能构成三角形,不符合题意.
当x=y时,x=y=$\frac{18-4}{2}$=7.
∵ 4+7＞7,
∴ 能构成三角形,符合题意.
综上可知,x=y=7.
方法点拨 当等腰三角形的腰长和底边长不确定时,要注意分情况讨论.同时,求出相应边长后,应利用三角形的三边关系检验是否能构成三角形.
答案
解：分三种情况讨论：
当$x=4$时，$y=18-4-4=10$。
$\because 4+4＜10$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 不能构成三角形，不符合题意。
当$y=4$时，$x=18-4-4=10$。
$\because 4+4＜10$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 不能构成三角形，不符合题意。
当$x=y$时，$x=y=\dfrac{18-4}{2}=7$。
$\because 4+7＞7$，满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 能构成三角形，符合题意。
综上可知，$x=7$，$y=7$。
当$x=4$时，$y=18-4-4=10$。
$\because 4+4＜10$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 不能构成三角形，不符合题意。
当$y=4$时，$x=18-4-4=10$。
$\because 4+4＜10$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 不能构成三角形，不符合题意。
当$x=y$时，$x=y=\dfrac{18-4}{2}=7$。
$\because 4+7＞7$，满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 能构成三角形，符合题意。
综上可知，$x=7$，$y=7$。
解析
【分析】
已知铁丝总长18cm即为三角形的周长，题目说明三角形有两边相等，属于等腰三角形，但未明确哪两条边相等，因此需要分三类讨论：①x与4cm边相等，即x=4；②y与4cm边相等，即y=4；③x和y为相等的两条边，即x=y。每类情况先根据周长公式计算未知边长，再用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）检验是否能构成三角形，舍去不符合条件的解，最终得到正确结果。
【解析】
分三种情况讨论：
当$x=4$时，$y=18-4-4=10$。
$\because 4+4＜10$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 不能构成三角形，不符合题意。
当$y=4$时，$x=18-4-4=10$。
$\because 4+4＜10$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 不能构成三角形，不符合题意。
当$x=y$时，$x=y=\dfrac{18-4}{2}=7$。
$\because 4+7＞7$，满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 能构成三角形，符合题意。
综上可知，$x=7$，$y=7$。
【答案】
$x=7$，$y=7$
【知识点】
等腰三角形分类讨论、三角形三边关系、三角形周长计算
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，在等腰三角形腰长和底边长不明确时，必须对相等边的情况进行全面分类，同时求出边长后要结合三角形三边关系验证，排除无法构成三角形的情况，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
已知铁丝总长18cm即为三角形的周长，题目说明三角形有两边相等，属于等腰三角形，但未明确哪两条边相等，因此需要分三类讨论：①x与4cm边相等，即x=4；②y与4cm边相等，即y=4；③x和y为相等的两条边，即x=y。每类情况先根据周长公式计算未知边长，再用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）检验是否能构成三角形，舍去不符合条件的解，最终得到正确结果。
【解析】
分三种情况讨论：
当$x=4$时，$y=18-4-4=10$。
$\because 4+4＜10$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 不能构成三角形，不符合题意。
当$y=4$时，$x=18-4-4=10$。
$\because 4+4＜10$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 不能构成三角形，不符合题意。
当$x=y$时，$x=y=\dfrac{18-4}{2}=7$。
$\because 4+7＞7$，满足三角形两边之和大于第三边的关系，
$\therefore$ 能构成三角形，符合题意。
综上可知，$x=7$，$y=7$。
【答案】
$x=7$，$y=7$
【知识点】
等腰三角形分类讨论、三角形三边关系、三角形周长计算
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，在等腰三角形腰长和底边长不明确时，必须对相等边的情况进行全面分类，同时求出边长后要结合三角形三边关系验证，排除无法构成三角形的情况，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
