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| 变式训练1 | 某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月收取每户家庭的电费：月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费。设某户家庭月用电量为x度时，电费为y元。
(1)分别求出$0≤ x≤200$和$x＞200$时，y与x之间的表达式；
(2)小明家5月份的电费为117元，则小明家这个月用电多少度？
(1)分别求出$0≤ x≤200$和$x＞200$时，y与x之间的表达式；
(2)小明家5月份的电费为117元，则小明家这个月用电多少度？
答案
解:(1)当$0≤x≤200$时,y与x之间的表达式是$y=0.55x$；
当$x＞200$时,y与x之间的表达式是
$y=0.55×200+0.7(x-200)$,
即$y=0.7x-30$。
(2)把$y=117$代入$y=0.7x-30$,得$x=210$,
所以小明家5月份用电210度。
当$x＞200$时,y与x之间的表达式是
$y=0.55×200+0.7(x-200)$,
即$y=0.7x-30$。
(2)把$y=117$代入$y=0.7x-30$,得$x=210$,
所以小明家5月份用电210度。
解析
【分析】
（1）本题属于分段计费的实际应用题，需分两种情况推导函数表达式：①当$0≤x≤200$时，电费直接用“单价×用电量”计算即可得到y与x的关系；②当$x＞200$时，电费由两部分组成：200度的基础费用+超出200度部分的费用，分别计算两部分费用相加后化简，就能得到对应区间的表达式。
（2）求小明家用电量时，先算出200度电的总费用为$0.55×200=110$元，对比已知电费117元大于110元，说明用电量超过200度，将y=117代入$x＞200$对应的表达式，解一元一次方程即可求出用电量。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤200$时，按0.55元/度计费，因此：
$y=0.55x$
当$x＞200$时，200度按0.55元/度计费，超出部分$(x-200)$按0.7元/度计费，因此：
$y=0.55×200 + 0.7(x-200)$
化简得：$y=110 + 0.7x - 140 = 0.7x - 30$
(2) 首先计算用电量为200度时的电费：$0.55×200=110$元
因为$117＞110$，说明小明家5月用电量超过200度，将$y=117$代入$y=0.7x-30$得：
$117=0.7x - 30$
移项计算得：$0.7x=147$，解得$x=210$
【答案】
(1) 当$0≤ x≤200$时，$y=0.55x$；当$x＞200$时，$y=0.7x-30$
(2) 小明家这个月用电210度
【知识点】
分段计费问题，一次函数解析式，一元一次方程应用
【点评】
本题是分段计费类的典型基础题，解题核心是先明确不同区间的计费规则，再根据费用数值判断所属计费区间，代入对应表达式求解即可，能有效考查学生对实际问题的分析能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
（1）本题属于分段计费的实际应用题，需分两种情况推导函数表达式：①当$0≤x≤200$时，电费直接用“单价×用电量”计算即可得到y与x的关系；②当$x＞200$时，电费由两部分组成：200度的基础费用+超出200度部分的费用，分别计算两部分费用相加后化简，就能得到对应区间的表达式。
（2）求小明家用电量时，先算出200度电的总费用为$0.55×200=110$元，对比已知电费117元大于110元，说明用电量超过200度，将y=117代入$x＞200$对应的表达式，解一元一次方程即可求出用电量。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤200$时，按0.55元/度计费，因此：
$y=0.55x$
当$x＞200$时，200度按0.55元/度计费，超出部分$(x-200)$按0.7元/度计费，因此：
$y=0.55×200 + 0.7(x-200)$
化简得：$y=110 + 0.7x - 140 = 0.7x - 30$
(2) 首先计算用电量为200度时的电费：$0.55×200=110$元
因为$117＞110$，说明小明家5月用电量超过200度，将$y=117$代入$y=0.7x-30$得：
$117=0.7x - 30$
移项计算得：$0.7x=147$，解得$x=210$
【答案】
(1) 当$0≤ x≤200$时，$y=0.55x$；当$x＞200$时，$y=0.7x-30$
(2) 小明家这个月用电210度
【知识点】
分段计费问题，一次函数解析式，一元一次方程应用
【点评】
本题是分段计费类的典型基础题，解题核心是先明确不同区间的计费规则，再根据费用数值判断所属计费区间，代入对应表达式求解即可，能有效考查学生对实际问题的分析能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
1. 下列函数中，$y$是$x$的一次函数的是（
①$y=\frac{1}{x-1}$；②$y=\frac{x^2}{x}-1$；③$y=3x$；④$y=2x^2$；⑤$y=-\frac{4}{5}x+12$；⑥$y=2(x-1)-2x$。
A.①③⑤
B.②③⑤
C.③⑤
D.③⑥
B
）①$y=\frac{1}{x-1}$；②$y=\frac{x^2}{x}-1$；③$y=3x$；④$y=2x^2$；⑤$y=-\frac{4}{5}x+12$；⑥$y=2(x-1)-2x$。
A.①③⑤
B.②③⑤
C.③⑤
D.③⑥
答案
B
解析
【分析】
要判断给定的函数是不是一次函数，首先要明确一次函数的判定标准：1. 函数化简后符合形如$y=kx+b$（$k$、$b$是常数，$k\ne0$）的形式；2. 自变量$x$的最高次数为1；3. 一次项系数$k$不能为0。解题时先逐个分析6个函数，先化简表达式，再对照判定标准筛选，最后匹配选项即可。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）的函数叫做一次函数，其中正比例函数$y=kx$（$k\ne0$）是特殊的一次函数。
逐个判断各函数：
①$y=\frac{1}{x-1}$：分母含有自变量$x$，属于分式函数，不是整式，不符合一次函数定义，排除；
②$y=\frac{x^2}{x}-1$：自变量取值为$x\ne0$，化简后可得$y=x-1$（$x\ne0$），符合$y=kx+b$（$k=1\ne0$，$b=-1$）的形式，属于一次函数；
③$y=3x$：是正比例函数，满足$k=3\ne0$，属于特殊的一次函数；
④$y=2x^2$：自变量$x$的最高次数是2，是二次函数，不符合要求，排除；
⑤$y=-\frac{4}{5}x+12$：符合$y=kx+b$（$k=-\frac{4}{5}\ne0$，$b=12$）的形式，是一次函数；
⑥$y=2(x-1)-2x$：化简后得$y=-2$，一次项系数为0，是常数函数，不符合$k\ne0$的要求，排除。
综上，是一次函数的为②③⑤，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义、整式的化简、正比例函数的概念
【点评】
本题是一次函数判定的基础题，解题的核心是牢记一次函数的定义，注意要先对函数表达式化简后再判断，尤其要注意一次项系数不能为0，同时不要忽略自变量的取值限制。
【难度系数】
0.6
要判断给定的函数是不是一次函数，首先要明确一次函数的判定标准：1. 函数化简后符合形如$y=kx+b$（$k$、$b$是常数，$k\ne0$）的形式；2. 自变量$x$的最高次数为1；3. 一次项系数$k$不能为0。解题时先逐个分析6个函数，先化简表达式，再对照判定标准筛选，最后匹配选项即可。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）的函数叫做一次函数，其中正比例函数$y=kx$（$k\ne0$）是特殊的一次函数。
逐个判断各函数：
①$y=\frac{1}{x-1}$：分母含有自变量$x$，属于分式函数，不是整式，不符合一次函数定义，排除；
②$y=\frac{x^2}{x}-1$：自变量取值为$x\ne0$，化简后可得$y=x-1$（$x\ne0$），符合$y=kx+b$（$k=1\ne0$，$b=-1$）的形式，属于一次函数；
③$y=3x$：是正比例函数，满足$k=3\ne0$，属于特殊的一次函数；
④$y=2x^2$：自变量$x$的最高次数是2，是二次函数，不符合要求，排除；
⑤$y=-\frac{4}{5}x+12$：符合$y=kx+b$（$k=-\frac{4}{5}\ne0$，$b=12$）的形式，是一次函数；
⑥$y=2(x-1)-2x$：化简后得$y=-2$，一次项系数为0，是常数函数，不符合$k\ne0$的要求，排除。
综上，是一次函数的为②③⑤，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的定义、整式的化简、正比例函数的概念
【点评】
本题是一次函数判定的基础题，解题的核心是牢记一次函数的定义，注意要先对函数表达式化简后再判断，尤其要注意一次项系数不能为0，同时不要忽略自变量的取值限制。
【难度系数】
0.6
2. 下列问题中，变量 y 与 x 之间是一次函数关系的是(
A.路程一定时，时间 y 和速度 x 的关系
B.长 10 m 的铁丝折成长为 y m、宽为 x m的长方形
C.圆的面积 y 与它的半径 x
D.斜边长为 5 的直角三角形的直角边长 y和 x
B
)A.路程一定时，时间 y 和速度 x 的关系
B.长 10 m 的铁丝折成长为 y m、宽为 x m的长方形
C.圆的面积 y 与它的半径 x
D.斜边长为 5 的直角三角形的直角边长 y和 x
答案
B
解析
【分析】
要判断变量y与x是否为一次函数关系，首先要明确一次函数的定义：形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数。解题时先根据每个选项对应的数量关系列出y与x的函数关系式，再对照一次函数的定义逐一判断即可得出答案。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne 0$）的函数是一次函数。我们逐个分析选项：
A选项：设路程为定值$s$，根据路程=速度×时间，可得$y=\frac{s}{x}$，属于反比例函数，不是一次函数，不符合要求；
B选项：长方形周长等于铁丝长度10m，根据长方形周长公式$2(长+宽)=周长$，可得$2(y+x)=10$，化简得$y=-x+5$，符合一次函数的形式，符合要求；
C选项：根据圆的面积公式，可得$y=π x^2$，$x$的次数为2，属于二次函数，不是一次函数，不符合要求；
D选项：根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$x^2+y^2=25$，变形后不符合一次函数的形式，不是一次函数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 函数关系式的列写
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数的判定方法，解题的关键是先结合行程、几何等常见的数量关系写出两个变量的函数表达式，再和一次函数的标准形式对比即可，解题时要注意区分不同类型函数的形式特征。
【难度系数】
0.8
要判断变量y与x是否为一次函数关系，首先要明确一次函数的定义：形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数。解题时先根据每个选项对应的数量关系列出y与x的函数关系式，再对照一次函数的定义逐一判断即可得出答案。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne 0$）的函数是一次函数。我们逐个分析选项：
A选项：设路程为定值$s$，根据路程=速度×时间，可得$y=\frac{s}{x}$，属于反比例函数，不是一次函数，不符合要求；
B选项：长方形周长等于铁丝长度10m，根据长方形周长公式$2(长+宽)=周长$，可得$2(y+x)=10$，化简得$y=-x+5$，符合一次函数的形式，符合要求；
C选项：根据圆的面积公式，可得$y=π x^2$，$x$的次数为2，属于二次函数，不是一次函数，不符合要求；
D选项：根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$x^2+y^2=25$，变形后不符合一次函数的形式，不是一次函数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 函数关系式的列写
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数的判定方法，解题的关键是先结合行程、几何等常见的数量关系写出两个变量的函数表达式，再和一次函数的标准形式对比即可，解题时要注意区分不同类型函数的形式特征。
【难度系数】
0.8
3. 如图，有一块长5 m、宽2 m的长方形木板，现要在长边上截去长为x m的一部分，则剩余木板的面积(空白部分)y(单位:m²)与x(单位:m)之间的表达式为(
A.$y=10-x$
B.$y=5x$
C.$y=2x$
D.$y=-2x+10$
D
)A.$y=10-x$
B.$y=5x$
C.$y=2x$
D.$y=-2x+10$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先判断剩余空白木板的形状仍为长方形，接下来需要确定该长方形的长和宽：宽和原长方形的宽相同，为2m；原长方形长为5m，截去长为x m的部分后，剩余部分的长为(5-x)m。再结合长方形面积公式代入计算，化简表达式后对比选项即可得到正确答案。
【解析】
剩余空白木板为长方形，它的宽为2m，长为$(5-x)\mathrm{m}$。
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$y=2×(5-x)$
整理得：$y=-2x+10$
因此选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积计算；列函数关系式；整式化简
【点评】
本题属于基础类应用题，解题核心是准确识别剩余图形的形状及对应边长，结合面积公式列式即可，审题时注意区分截去的长度和剩余的长度，避免混淆出错。
【难度系数】
0.85
解题时首先判断剩余空白木板的形状仍为长方形，接下来需要确定该长方形的长和宽：宽和原长方形的宽相同，为2m；原长方形长为5m，截去长为x m的部分后，剩余部分的长为(5-x)m。再结合长方形面积公式代入计算，化简表达式后对比选项即可得到正确答案。
【解析】
剩余空白木板为长方形，它的宽为2m，长为$(5-x)\mathrm{m}$。
根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得：
$y=2×(5-x)$
整理得：$y=-2x+10$
因此选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积计算；列函数关系式；整式化简
【点评】
本题属于基础类应用题，解题核心是准确识别剩余图形的形状及对应边长，结合面积公式列式即可，审题时注意区分截去的长度和剩余的长度，避免混淆出错。
【难度系数】
0.85
4.某市出租车的收费标准为:起步价14元，即路程不超过3 km时收费14元，超过部分每千米收费2.4元。设某乘客乘坐出租车的路程为$x(x＞3)$km，车费为$y$元，则$y$与$x$之间的表达式为
$y=2.4x+6.8$
。答案
$y=2.4x+6.8$
解析
【分析】
解题时首先明确车费的构成：当行驶路程超过3km时，总车费由两部分组成，一是3km以内的固定起步价14元，二是超过3km部分的额外费用。首先计算超出3km的路程长度，再乘以超出部分每千米的收费标准得到额外费用，最后将两部分费用相加，再化简代数式即可得到y与x的表达式。
【解析】
已知乘客乘车路程$x＞3$ km，
第一步：计算超出3km的路程：$(x-3)$ km，
第二步：计算超出部分的费用：$2.4(x-3)$ 元，
第三步：总车费=起步价+超出部分费用，因此：
$y=14 + 2.4(x-3)$
展开并化简：
$y=14 + 2.4x - 7.2$
$y=2.4x + 6.8$
【答案】
$y=2.4x+6.8$
【知识点】
1. 分段计费问题
2. 列函数关系式
3. 整式化简
【点评】
本题是生活中常见的计费类应用题，解题核心是理清费用的分段计算规则，明确不同路程范围对应的收费标准，再正确列代数式并化简即可，解题时注意不要漏算起步价或错误计算超出的路程。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确车费的构成：当行驶路程超过3km时，总车费由两部分组成，一是3km以内的固定起步价14元，二是超过3km部分的额外费用。首先计算超出3km的路程长度，再乘以超出部分每千米的收费标准得到额外费用，最后将两部分费用相加，再化简代数式即可得到y与x的表达式。
【解析】
已知乘客乘车路程$x＞3$ km，
第一步：计算超出3km的路程：$(x-3)$ km，
第二步：计算超出部分的费用：$2.4(x-3)$ 元，
第三步：总车费=起步价+超出部分费用，因此：
$y=14 + 2.4(x-3)$
展开并化简：
$y=14 + 2.4x - 7.2$
$y=2.4x + 6.8$
【答案】
$y=2.4x+6.8$
【知识点】
1. 分段计费问题
2. 列函数关系式
3. 整式化简
【点评】
本题是生活中常见的计费类应用题，解题核心是理清费用的分段计算规则，明确不同路程范围对应的收费标准，再正确列代数式并化简即可，解题时注意不要漏算起步价或错误计算超出的路程。
【难度系数】
0.8
