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9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，点$P$为$BC$上的一点，且点$P$不与$B$，$C$重合。设$CP=x$，$S_{△ APB}=y$，求$y$与$x$之间的函数表达式，并求自变量$x$的取值范围。
答案
9. 解:因为 $BC=8,CP=x$,
所以 $PB=8-x$,
所以 $y=\frac{1}{2}×PB×AC$
$=\frac{1}{2}×(8-x)×6$
$=24-3x(0＜x＜8)$。
所以 $PB=8-x$,
所以 $y=\frac{1}{2}×PB×AC$
$=\frac{1}{2}×(8-x)×6$
$=24-3x(0＜x＜8)$。
解析
【分析】
要推导y与x的函数表达式，首先明确△APB的底和高：已知∠C=90°，可得AC⊥BC，因此以PB为△APB的底时，AC就是该底对应的高。首先用含x的式子表示出PB的长度，再代入三角形面积公式即可得到函数关系，最后根据点P不与B、C重合的限制条件，确定自变量x的取值范围。
【解析】
解：因为$BC=8$，$CP=x$，
所以$PB=BC-CP=8-x$，
又因为$∠ C=90°$，即$AC⊥ BC$，AC是△APB中PB边上的高，且$AC=6$，
根据三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2}×PB×AC$
$=\frac{1}{2}×(8-x)×6$
$=24-3x$
由于点P不与B、C重合，因此$x＞0$且$8-x＞0$，即$0＜x＜8$。
【答案】
$y=24-3x(0＜x＜8)$
【知识点】
三角形面积计算；函数表达式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题核心是结合图形的直角特征确定所求三角形的底和高，通过面积公式建立变量间的关系，解题时需注意结合点的位置限制，结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.85
要推导y与x的函数表达式，首先明确△APB的底和高：已知∠C=90°，可得AC⊥BC，因此以PB为△APB的底时，AC就是该底对应的高。首先用含x的式子表示出PB的长度，再代入三角形面积公式即可得到函数关系，最后根据点P不与B、C重合的限制条件，确定自变量x的取值范围。
【解析】
解：因为$BC=8$，$CP=x$，
所以$PB=BC-CP=8-x$，
又因为$∠ C=90°$，即$AC⊥ BC$，AC是△APB中PB边上的高，且$AC=6$，
根据三角形面积公式可得：
$y=\frac{1}{2}×PB×AC$
$=\frac{1}{2}×(8-x)×6$
$=24-3x$
由于点P不与B、C重合，因此$x＞0$且$8-x＞0$，即$0＜x＜8$。
【答案】
$y=24-3x(0＜x＜8)$
【知识点】
三角形面积计算；函数表达式求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题核心是结合图形的直角特征确定所求三角形的底和高，通过面积公式建立变量间的关系，解题时需注意结合点的位置限制，结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.85
10.某桶装水销售部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，现在每桶水的销售价格为8元。用x(单位:桶)表示每天的销售数量，用y(单位:元)表示每天的利润(利润=总销售额一固定成本一售出水的成本)。
(1)试写出y与x之间的表达式；
(2)若固定成本增加了5%，每桶水的进价增加了1元，求此时y与x之间的表达式。
(1)试写出y与x之间的表达式；
(2)若固定成本增加了5%，每桶水的进价增加了1元，求此时y与x之间的表达式。
答案
10. 解:(1)$y=8x-5x-200=3x-200$。
(2)$y=8x-6x-200×(1+5\%)=2x-210$。
(2)$y=8x-6x-200×(1+5\%)=2x-210$。
解析
【分析】
解题前先明确题干给出的利润计算公式：利润=总销售额-固定成本-售出水的成本。
(1) 先拆分各计算量：总销售额=每桶售价×销售数量，即$8x$元；售出水的成本=每桶进价×销售数量，即$5x$元；固定成本为固定值200元。将三个量代入利润公式，再合并同类项即可得到y与x的表达式。
(2) 先定位变化的量：固定成本增加5%，即新固定成本=原固定成本×(1+5%)；每桶进价增加1元，即新进价为$5+1=6$元，新的售水成本为$6x$元，售价保持不变。将更新后的各量代入利润公式，合并同类项即可得到新的表达式。
【解析】
(1) 根据题意，总销售额为$8x$元，售出水的总成本为$5x$元，固定成本为200元，代入利润公式：
$y=8x-5x-200$
合并同类项得：$y=3x-200$
(2) 变化后，固定成本为$200×(1+5\%)=210$元，每桶进价为$5+1=6$元，售出水的总成本为$6x$元，售价不变仍为8元/桶，代入利润公式：
$y=8x-6x-210$
合并同类项得：$y=2x-210$
【答案】
(1) $y=3x-200$
(2) $y=2x-210$
【知识点】
1. 列代数式
2. 销售利润计算
3. 百分数应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是紧扣题干给出的利润公式，准确区分不变量和变化量，代入计算时注意不要混淆不同成本项，侧重考查对实际问题中数量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.85
解题前先明确题干给出的利润计算公式：利润=总销售额-固定成本-售出水的成本。
(1) 先拆分各计算量：总销售额=每桶售价×销售数量，即$8x$元；售出水的成本=每桶进价×销售数量，即$5x$元；固定成本为固定值200元。将三个量代入利润公式，再合并同类项即可得到y与x的表达式。
(2) 先定位变化的量：固定成本增加5%，即新固定成本=原固定成本×(1+5%)；每桶进价增加1元，即新进价为$5+1=6$元，新的售水成本为$6x$元，售价保持不变。将更新后的各量代入利润公式，合并同类项即可得到新的表达式。
【解析】
(1) 根据题意，总销售额为$8x$元，售出水的总成本为$5x$元，固定成本为200元，代入利润公式：
$y=8x-5x-200$
合并同类项得：$y=3x-200$
(2) 变化后，固定成本为$200×(1+5\%)=210$元，每桶进价为$5+1=6$元，售出水的总成本为$6x$元，售价不变仍为8元/桶，代入利润公式：
$y=8x-6x-210$
合并同类项得：$y=2x-210$
【答案】
(1) $y=3x-200$
(2) $y=2x-210$
【知识点】
1. 列代数式
2. 销售利润计算
3. 百分数应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题核心是紧扣题干给出的利润公式，准确区分不变量和变化量，代入计算时注意不要混淆不同成本项，侧重考查对实际问题中数量关系的梳理能力。
【难度系数】
0.85
例1 为了加强居民节约用水意识，某市制定了如下收费标准：每户每月用水不超过10 t时，每吨水收费3.2元；超过10 t时，超过部分每吨按3.8元收费。设该市某户居民5月份用水x t，水费为y元，求y与x之间的表达式。
[点拨] 此题考查的知识点是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意找出等量关系是解决问题的关键。
[解] 当$0＜x≤10$时，$y=3.2x$；
当$x＞10$时，$y=3.2×10+(x-10)×3.8=3.8x-6$。
[点拨] 此题考查的知识点是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意找出等量关系是解决问题的关键。
[解] 当$0＜x≤10$时，$y=3.2x$；
当$x＞10$时，$y=3.2×10+(x-10)×3.8=3.8x-6$。
答案
解：
分两种情况求解：
当$0＜x≤10$时，用水量不超过10t，水费按每吨3.2元计算，可得$y=3.2x$；
当$x＞10$时，10t水的费用为$3.2×10$元，超过10t的部分为$(x-10)\ \mathrm{t}$，这部分水费为$3.8(x-10)$元，因此总水费为：
$\begin{aligned}y&=3.2×10 + 3.8(x-10)\\&=32 + 3.8x - 38\\&=3.8x - 6\end{aligned}$
综上，y与x之间的表达式为
$y=\begin{cases}3.2x & (0＜x≤10) \\3.8x-6 & (x＞10)\end{cases}$
分两种情况求解：
当$0＜x≤10$时，用水量不超过10t，水费按每吨3.2元计算，可得$y=3.2x$；
当$x＞10$时，10t水的费用为$3.2×10$元，超过10t的部分为$(x-10)\ \mathrm{t}$，这部分水费为$3.8(x-10)$元，因此总水费为：
$\begin{aligned}y&=3.2×10 + 3.8(x-10)\\&=32 + 3.8x - 38\\&=3.8x - 6\end{aligned}$
综上，y与x之间的表达式为
$y=\begin{cases}3.2x & (0＜x≤10) \\3.8x-6 & (x＞10)\end{cases}$
解析
【分析】
本题为阶梯收费类的实际应用题，收费标准以10t用水量为分界点，因此需分两种情况分类讨论列写y与x的关系式：首先判断用水量所处的区间，当用水量未超过10t时，直接按照“总费用=单价×用水量”计算；当用水量超过10t时，总费用分为两部分：前10t按每吨3.2元计费，超出10t的部分按每吨3.8元计费，两部分费用相加即为总水费，最后合并为分段函数即可。
【解析】
分两种情况求解：
当$0＜x≤10$时，用水量不超过10t，水费按每吨3.2元计算，可得$y=3.2x$；
当$x＞10$时，10t水的费用为$3.2×10$元，超过10t的部分为$(x-10)\ \mathrm{t}$，这部分水费为$3.8(x-10)$元，因此总水费为：
$\begin{aligned}y&=3.2×10 + 3.8(x-10)\\&=32 + 3.8x - 38\\&=3.8x - 6\end{aligned}$
综上，y与x之间的表达式为分段函数形式。
【答案】
$y=\begin{cases}3.2x & (0＜x≤10) \\3.8x-6 & (x＞10)\end{cases}$
【知识点】
分段函数、一次函数实际应用、阶梯收费计算
【点评】
本题是生活中常见的阶梯计费类题型，解题关键是找准分段计费的节点，明确不同区间的计费规则，分类讨论时注意不要遗漏区间范围，计算时需区分不同部分对应的单价和用水量，这类题型是函数实际应用的高频考点。
【难度系数】
0.8
本题为阶梯收费类的实际应用题，收费标准以10t用水量为分界点，因此需分两种情况分类讨论列写y与x的关系式：首先判断用水量所处的区间，当用水量未超过10t时，直接按照“总费用=单价×用水量”计算；当用水量超过10t时，总费用分为两部分：前10t按每吨3.2元计费，超出10t的部分按每吨3.8元计费，两部分费用相加即为总水费，最后合并为分段函数即可。
【解析】
分两种情况求解：
当$0＜x≤10$时，用水量不超过10t，水费按每吨3.2元计算，可得$y=3.2x$；
当$x＞10$时，10t水的费用为$3.2×10$元，超过10t的部分为$(x-10)\ \mathrm{t}$，这部分水费为$3.8(x-10)$元，因此总水费为：
$\begin{aligned}y&=3.2×10 + 3.8(x-10)\\&=32 + 3.8x - 38\\&=3.8x - 6\end{aligned}$
综上，y与x之间的表达式为分段函数形式。
【答案】
$y=\begin{cases}3.2x & (0＜x≤10) \\3.8x-6 & (x＞10)\end{cases}$
【知识点】
分段函数、一次函数实际应用、阶梯收费计算
【点评】
本题是生活中常见的阶梯计费类题型，解题关键是找准分段计费的节点，明确不同区间的计费规则，分类讨论时注意不要遗漏区间范围，计算时需区分不同部分对应的单价和用水量，这类题型是函数实际应用的高频考点。
【难度系数】
0.8
