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5.学校食堂按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，若x表示餐桌的张数，y表示椅子的把数，则椅子数y(单位:把)与餐桌数x(单位:张)之间的表达式为
$y=2x+2$
。答案
$y=2x+2$
解析
【分析】
解题时先分别数出不同餐桌张数对应的椅子数量，观察变化特点：首先找到固定不变的椅子数量（左右两端各1把，共2把），再找随餐桌数量变化的部分：每增加1张餐桌，上下方向各增加1把椅子，也就是每张餐桌对应2把上下方向的椅子，最后结合两部分的数量就能推导出y与x的关系式。
【解析】
解：观察图形：
当x=1（1张餐桌）时，椅子数$y=4=2×1+2$；
当x=2（2张餐桌）时，椅子数$y=6=2×2+2$；
当x=3（3张餐桌）时，椅子数$y=8=2×3+2$；
可发现规律：左右两端始终有2把固定的椅子，每多1张餐桌，就多2把椅子。
因此x张餐桌时，椅子总数$y=2x+2$。
【答案】
$y=2x+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；变量间的关系
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题的核心是区分规律中的固定项和变化项，分析变化项和变量的对应关系即可顺利求解，这类题也是规律探究题中的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题时先分别数出不同餐桌张数对应的椅子数量，观察变化特点：首先找到固定不变的椅子数量（左右两端各1把，共2把），再找随餐桌数量变化的部分：每增加1张餐桌，上下方向各增加1把椅子，也就是每张餐桌对应2把上下方向的椅子，最后结合两部分的数量就能推导出y与x的关系式。
【解析】
解：观察图形：
当x=1（1张餐桌）时，椅子数$y=4=2×1+2$；
当x=2（2张餐桌）时，椅子数$y=6=2×2+2$；
当x=3（3张餐桌）时，椅子数$y=8=2×3+2$；
可发现规律：左右两端始终有2把固定的椅子，每多1张餐桌，就多2把椅子。
因此x张餐桌时，椅子总数$y=2x+2$。
【答案】
$y=2x+2$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；变量间的关系
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题的核心是区分规律中的固定项和变化项，分析变化项和变量的对应关系即可顺利求解，这类题也是规律探究题中的常见考法。
【难度系数】
0.8
6.为了鼓励市民节约资源，某市居民用的管道天然气执行阶梯价格制度，各阶梯价格水平如下表：
(1)小明家2024年用气量为100 m³，则小明家2024年的燃气费为
(2)若某用户2024年用气量为x m³，则当x＞600时，燃气费为
(3)某用户2024年的燃气费为1 640元，求该用户2024年的实际用气量。
(1)小明家2024年用气量为100 m³，则小明家2024年的燃气费为
280
元；(2)若某用户2024年用气量为x m³，则当x＞600时，燃气费为
$4x-600$
元(用含x的代数式表示)；(3)某用户2024年的燃气费为1 640元，求该用户2024年的实际用气量。
答案
解:(1)因为小明家2024年用气量为100 m³,且100＜300,
所以小明家2024年的燃气费为
$100×2.8=280$(元)。
(2)因为$x＞600$,
所以燃气费为
$300×2.8+300×3.2+4.0(x-600)=(4x-600)$元。
(3)当用气量为300 m³时,费用为
$300×2.8=840$(元);
当用气量为600 m³时,费用为
$300×2.8+300×3.2=1800$(元)。
因为$840＜1640＜1800$,
所以燃气费为1640元时,用气量大于300 m³且小于600 m³。
设该用户2024年用气量为$a\ \mathrm{m}^3$,
依题意得$300×2.8+3.2×(a-300)=1640$,
解得$a=550$。
所以该用户2024年实际用气量为550 m³。
所以小明家2024年的燃气费为
$100×2.8=280$(元)。
(2)因为$x＞600$,
所以燃气费为
$300×2.8+300×3.2+4.0(x-600)=(4x-600)$元。
(3)当用气量为300 m³时,费用为
$300×2.8=840$(元);
当用气量为600 m³时,费用为
$300×2.8+300×3.2=1800$(元)。
因为$840＜1640＜1800$,
所以燃气费为1640元时,用气量大于300 m³且小于600 m³。
设该用户2024年用气量为$a\ \mathrm{m}^3$,
依题意得$300×2.8+3.2×(a-300)=1640$,
解得$a=550$。
所以该用户2024年实际用气量为550 m³。
解析
【分析】
(1) 首先判断用气量100$\mathrm{m}^3$属于第一档，直接根据“总费用=用气量×对应档位单价”计算即可；
(2) 当$x＞600$时，燃气费分三部分计算：第一档300$\mathrm{m}^3$的费用、第二档300$\mathrm{m}^3$（301~600$\mathrm{m}^3$）的费用、超过600$\mathrm{m}^3$部分的费用，将三部分费用相加后化简代数式即可；
(3) 先分别计算用气量为300$\mathrm{m}^3$、600$\mathrm{m}^3$时的燃气费，判断1640元对应的用气量所属档位，再根据该档位的计费规则列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 因为$100＜300$，属于第一档计费，所以小明家2024年的燃气费为：
$100×2.8=280$（元）
(2) 当$x＞600$时，燃气费为三个档位费用的总和：
$\begin{split}&300×2.8 + 300×3.2 + 4.0×(x-600)\\=&840+960+4x-2400\\=&4x-600\end{split}$
即燃气费为$(4x-600)$元。
(3) 先计算不同档位上限的燃气费：
① 用气量为300$\mathrm{m}^3$时，费用为$300×2.8=840$元；
② 用气量为600$\mathrm{m}^3$时，费用为$300×2.8+300×3.2=1800$元。
因为$840＜1640＜1800$，所以该用户的用气量在301~600$\mathrm{m}^3$之间，属于第二档。
设该用户2024年用气量为$a\ \mathrm{m}^3$，依题意列方程：
$300×2.8 + 3.2×(a-300)=1640$
解方程得：
$\begin{split}840+3.2a-960&=1640\\3.2a&=1760\\a&=550\end{split}$
所以该用户2024年实际用气量为550$\mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $\boxed{280}$；(2) $\boxed{(4x-600)}$；(3) $\boxed{550\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
阶梯计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的阶梯收费场景，重点考查分段讨论的数学思想，解题时需先明确不同用量对应的收费标准，反求用量时要先判断所属计费区间，再列关系式或方程求解，实用性较强，能很好地锻炼学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先判断用气量100$\mathrm{m}^3$属于第一档，直接根据“总费用=用气量×对应档位单价”计算即可；
(2) 当$x＞600$时，燃气费分三部分计算：第一档300$\mathrm{m}^3$的费用、第二档300$\mathrm{m}^3$（301~600$\mathrm{m}^3$）的费用、超过600$\mathrm{m}^3$部分的费用，将三部分费用相加后化简代数式即可；
(3) 先分别计算用气量为300$\mathrm{m}^3$、600$\mathrm{m}^3$时的燃气费，判断1640元对应的用气量所属档位，再根据该档位的计费规则列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 因为$100＜300$，属于第一档计费，所以小明家2024年的燃气费为：
$100×2.8=280$（元）
(2) 当$x＞600$时，燃气费为三个档位费用的总和：
$\begin{split}&300×2.8 + 300×3.2 + 4.0×(x-600)\\=&840+960+4x-2400\\=&4x-600\end{split}$
即燃气费为$(4x-600)$元。
(3) 先计算不同档位上限的燃气费：
① 用气量为300$\mathrm{m}^3$时，费用为$300×2.8=840$元；
② 用气量为600$\mathrm{m}^3$时，费用为$300×2.8+300×3.2=1800$元。
因为$840＜1640＜1800$，所以该用户的用气量在301~600$\mathrm{m}^3$之间，属于第二档。
设该用户2024年用气量为$a\ \mathrm{m}^3$，依题意列方程：
$300×2.8 + 3.2×(a-300)=1640$
解方程得：
$\begin{split}840+3.2a-960&=1640\\3.2a&=1760\\a&=550\end{split}$
所以该用户2024年实际用气量为550$\mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $\boxed{280}$；(2) $\boxed{(4x-600)}$；(3) $\boxed{550\ \mathrm{m}^3}$
【知识点】
阶梯计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的阶梯收费场景，重点考查分段讨论的数学思想，解题时需先明确不同用量对应的收费标准，反求用量时要先判断所属计费区间，再列关系式或方程求解，实用性较强，能很好地锻炼学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
7.某工厂加工一批新款手机，为了提前交货，规定每个工人每天完成100部以内，每部手机付酬1.5元；超过100部时，超过部分每部手机付酬增加0.3元；超过200部时，超过部分除按上述规定外，每部手机再增加0.4元。
(1)求小王一天完成100部以内所得的报酬y(单位:元)与产品数量x(单位:部)之间的表达式；
(2)若小王的师兄一天完成了150部手机，则他能拿到多少报酬？
(3)如果小王的师傅一天的报酬为440元，那么小王的师傅一天完成了多少部手机？
(1)求小王一天完成100部以内所得的报酬y(单位:元)与产品数量x(单位:部)之间的表达式；
(2)若小王的师兄一天完成了150部手机，则他能拿到多少报酬？
(3)如果小王的师傅一天的报酬为440元，那么小王的师傅一天完成了多少部手机？
答案
解:(1)$y=1.5x(0≤x≤100$,且$x$为整数)。
(2)$100×1.5+(150-100)×(1.5+0.3)$
$=150+50×1.8$
$=150+90$
$=240$(元),
所以小王的师兄能拿到240元的报酬。
(3)当完成200部手机时,报酬为
$1.5×100+100×1.8=330$(元)。
因为$440＞330$,
所以小王的师傅一天完成的手机大于200部。
设小王的师傅完成了$m$部手机,
根据题意得
$100×1.5+100×(1.5+0.3)+(m-200)·(1.5+0.3+0.4)=440$,
解得$m=250$。
所以小王的师傅一天完成了250部手机。
(2)$100×1.5+(150-100)×(1.5+0.3)$
$=150+50×1.8$
$=150+90$
$=240$(元),
所以小王的师兄能拿到240元的报酬。
(3)当完成200部手机时,报酬为
$1.5×100+100×1.8=330$(元)。
因为$440＞330$,
所以小王的师傅一天完成的手机大于200部。
设小王的师傅完成了$m$部手机,
根据题意得
$100×1.5+100×(1.5+0.3)+(m-200)·(1.5+0.3+0.4)=440$,
解得$m=250$。
所以小王的师傅一天完成了250部手机。
解析
【分析】
这是典型的分段计费实际应用题，解题时首先要明确不同产量区间对应的付酬规则：①0≤x≤100时，每部报酬1.5元；②100＜x≤200时，前100部按1.5元/部计费，超出100的部分按1.8元/部计费；③x＞200时，前200部按前两段规则计费，超出200的部分按2.2元/部计费。
(1)第一问对应第一段计费规则，直接根据“总报酬=单部报酬×数量”写关系式，注意标注自变量的取值范围；
(2)第二问中150部属于第二段计费区间，分别计算前100部和超出100部分的报酬，相加即可得总报酬；
(3)第三问已知总报酬，先计算完成200部时的总报酬，和440元比较判断所属计费区间，再根据对应规则列方程求解即可。
【解析】
(1)当完成数量x在100部以内，即0≤x≤100且x为整数时，总报酬=单部报酬×数量，因此$y=1.5x$（$0≤x≤100$，且$x$为整数）。
(2)150部超过100部且未超过200部，前100部的报酬为$100×1.5=150$元，超出100部的$150-100=50$部，每部报酬为$1.5+0.3=1.8$元，超出部分报酬为$50×1.8=90$元，总报酬为$150+90=240$元。
(3)先计算完成200部时的总报酬：前100部报酬150元，101~200部共100部，每部报酬1.8元，这部分报酬为$100×1.8=180$元，完成200部总报酬为$150+180=330$元。
因为$440＞330$，所以师傅一天完成的手机数量大于200部。设师傅完成了$m$部手机，超出200部的部分为$(m-200)$部，这部分每部报酬为$1.8+0.4=2.2$元，根据题意列方程：
$100×1.5+100×(1.5+0.3)+(m-200)×(1.5+0.3+0.4)=440$
解得$m=250$。
【答案】
(1)$y=1.5x(0≤x≤100$，且$x$为整数)
(2)240元
(3)250部
【知识点】
分段计费问题 一元一次方程的应用 列函数关系式
【点评】
本题结合生活实际考查分段计费类问题的解法，解题核心是理清不同数量区间对应的计费标准，计算总费用时需分段计算各段费用再求和，已知总费用求数量时要先判断所属计费区间再列式求解，对学生的分析判断能力和方程应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
这是典型的分段计费实际应用题，解题时首先要明确不同产量区间对应的付酬规则：①0≤x≤100时，每部报酬1.5元；②100＜x≤200时，前100部按1.5元/部计费，超出100的部分按1.8元/部计费；③x＞200时，前200部按前两段规则计费，超出200的部分按2.2元/部计费。
(1)第一问对应第一段计费规则，直接根据“总报酬=单部报酬×数量”写关系式，注意标注自变量的取值范围；
(2)第二问中150部属于第二段计费区间，分别计算前100部和超出100部分的报酬，相加即可得总报酬；
(3)第三问已知总报酬，先计算完成200部时的总报酬，和440元比较判断所属计费区间，再根据对应规则列方程求解即可。
【解析】
(1)当完成数量x在100部以内，即0≤x≤100且x为整数时，总报酬=单部报酬×数量，因此$y=1.5x$（$0≤x≤100$，且$x$为整数）。
(2)150部超过100部且未超过200部，前100部的报酬为$100×1.5=150$元，超出100部的$150-100=50$部，每部报酬为$1.5+0.3=1.8$元，超出部分报酬为$50×1.8=90$元，总报酬为$150+90=240$元。
(3)先计算完成200部时的总报酬：前100部报酬150元，101~200部共100部，每部报酬1.8元，这部分报酬为$100×1.8=180$元，完成200部总报酬为$150+180=330$元。
因为$440＞330$，所以师傅一天完成的手机数量大于200部。设师傅完成了$m$部手机，超出200部的部分为$(m-200)$部，这部分每部报酬为$1.8+0.4=2.2$元，根据题意列方程：
$100×1.5+100×(1.5+0.3)+(m-200)×(1.5+0.3+0.4)=440$
解得$m=250$。
【答案】
(1)$y=1.5x(0≤x≤100$，且$x$为整数)
(2)240元
(3)250部
【知识点】
分段计费问题 一元一次方程的应用 列函数关系式
【点评】
本题结合生活实际考查分段计费类问题的解法，解题核心是理清不同数量区间对应的计费标准，计算总费用时需分段计算各段费用再求和，已知总费用求数量时要先判断所属计费区间再列式求解，对学生的分析判断能力和方程应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7
8.某市居民用的管道天然气收费标准如下表：
设某户每年用气量为$x$(单位:$m^3$),燃气费为$y$(单位:元)。
(1)直接写出用气量未超过$228\ m^3$时,$y$与$x$之间的表达式;
(2)若小明家某年燃气费为$1\ 156.8$元,求小明家该年的用气量。
设某户每年用气量为$x$(单位:$m^3$),燃气费为$y$(单位:元)。
(1)直接写出用气量未超过$228\ m^3$时,$y$与$x$之间的表达式;
(2)若小明家某年燃气费为$1\ 156.8$元,求小明家该年的用气量。
答案
解:(1)由表格可知,当$x≤228$时,$y=3.35x$,所以$y$与$x$之间的表达式为$y=3.35x(0≤x≤228)$。
(2)因为$228×3.35=763.8$(元),
$228×3.35+3.93×(348-228)=1235.4$(元),
所以小明家的用气量超过228 m³,但不超过348 m³,即$228＜x＜348$。
所以$228×3.35+3.93(x-228)=1156.8$,
解得$x=328$。
所以小明家该年的用气量为328 m³。
(2)因为$228×3.35=763.8$(元),
$228×3.35+3.93×(348-228)=1235.4$(元),
所以小明家的用气量超过228 m³,但不超过348 m³,即$228＜x＜348$。
所以$228×3.35+3.93(x-228)=1156.8$,
解得$x=328$。
所以小明家该年的用气量为328 m³。
解析
【分析】
（1）第一问求用气量未超过228m³时y与x的关系式，根据“总价=单价×数量”的基本数量关系，该区间单价固定为3.35元/m³，直接代入即可写出关系式，同时标注x的取值范围即可。
（2）第二问属于阶梯收费的逆运算，解题时首先要算出两个档位分界点对应的总燃气费，先算第一档最高（228m³）的缴费金额，再算第二档最高（348m³）的缴费金额，将小明家的燃气费和这两个金额对比，确定用气量所属的档位，再根据对应档位的收费规则列方程求解即可。
【解析】
(1) 当用气量未超过228m³时，单价为3.35元/m³，根据总价=单价×用气量，可得：
$y=3.35x\quad(0≤ x≤228)$。
(2) 先计算两个分界用气量对应的燃气费：
① 用气量为228m³时，总费用：$228×3.35=763.8$元；
② 用气量为348m³时，总费用：$763.8 + 3.93×(348-228)=1235.4$元。
已知小明家燃气费为1156.8元，对比得$763.8＜1156.8＜1235.4$，说明小明家年用气量在$228＜x＜348$的区间内。
根据该区间收费规则列方程：
$228×3.35 + 3.93(x-228)=1156.8$
化简计算：
$763.8 + 3.93(x-228)=1156.8$
$3.93(x-228)=393$
$x-228=100$
解得$x=328$。
【答案】
(1) $y=3.35x(0≤ x≤228)$
(2) $328\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
阶梯计费问题，列函数关系式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中常见的阶梯收费场景出题，解题核心是先通过分界点的费用判断实际用量所属的收费档位，再按照对应档位的计价规则计算，注意不要混淆不同档位的单价，避免直接用总费用除以单一单价的错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问求用气量未超过228m³时y与x的关系式，根据“总价=单价×数量”的基本数量关系，该区间单价固定为3.35元/m³，直接代入即可写出关系式，同时标注x的取值范围即可。
（2）第二问属于阶梯收费的逆运算，解题时首先要算出两个档位分界点对应的总燃气费，先算第一档最高（228m³）的缴费金额，再算第二档最高（348m³）的缴费金额，将小明家的燃气费和这两个金额对比，确定用气量所属的档位，再根据对应档位的收费规则列方程求解即可。
【解析】
(1) 当用气量未超过228m³时，单价为3.35元/m³，根据总价=单价×用气量，可得：
$y=3.35x\quad(0≤ x≤228)$。
(2) 先计算两个分界用气量对应的燃气费：
① 用气量为228m³时，总费用：$228×3.35=763.8$元；
② 用气量为348m³时，总费用：$763.8 + 3.93×(348-228)=1235.4$元。
已知小明家燃气费为1156.8元，对比得$763.8＜1156.8＜1235.4$，说明小明家年用气量在$228＜x＜348$的区间内。
根据该区间收费规则列方程：
$228×3.35 + 3.93(x-228)=1156.8$
化简计算：
$763.8 + 3.93(x-228)=1156.8$
$3.93(x-228)=393$
$x-228=100$
解得$x=328$。
【答案】
(1) $y=3.35x(0≤ x≤228)$
(2) $328\ \mathrm{m}^3$
【知识点】
阶梯计费问题，列函数关系式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中常见的阶梯收费场景出题，解题核心是先通过分界点的费用判断实际用量所属的收费档位，再按照对应档位的计价规则计算，注意不要混淆不同档位的单价，避免直接用总费用除以单一单价的错误。
【难度系数】
0.7
