9.观察下图，解答问题。

(1)把这样的2个圆环扣在一起并拉紧，长度为多少？
(2)设将x个这样的圆环相扣并拉紧，长度为y cm，求y与x之间的表达式。

解:(1)由图可知,把这样的2个圆环扣在一起并拉紧,长度为$8+(8-1×2)=8+6=14(\mathrm{cm})$。
(2)由题意得$y=8+6(x-1)=6x+2$,
即$y$与$x$之间的表达式为$y=6x+2$。

【分析】
解题时先明确已知条件：单个圆环长度为8cm，环宽1cm。
对于第(1)问：两个圆环扣在一起时，连接处会产生重叠，每扣1次重叠的总长度是2个环宽（两个圆环各有1cm的部分相互嵌套，所以总长度要减去重叠的2cm），因此用两个圆环的总长度减去重叠部分的长度即可得到拉紧后的长度。
对于第(2)问：观察规律，第1个圆环长度为8cm，之后每增加1个圆环，增加的长度为单个圆环长度减去重叠的2cm，即6cm，以此推导x个圆环的总长度表达式即可。
【解析】
(1) 单个圆环长8cm，2个圆环扣在一起时，重叠部分长度为$1 × 2 = 2\mathrm{cm}$，因此拉紧后的长度为：
$8 + (8 - 1 × 2) = 8 + 6 = 14(\mathrm{cm})$
(2) 当有x个圆环相扣时，第1个圆环长度为8cm，剩余$(x-1)$个圆环每个仅增加$8-2=6\mathrm{cm}$，因此总长度：
$y = 8 + 6(x-1)$
化简得：$y = 6x + 2$（x为正整数）
【答案】
(1) $\boxed{14\mathrm{cm}}$；(2) $\boxed{y=6x+2}$
【知识点】
找规律列代数式，一次函数解析式，重叠问题计算
【点评】
本题结合实际场景考查规律探究和代数式列写能力，解题核心是准确判断圆环相扣时重叠部分的长度，易错点是容易忽略重叠部分的长度，直接用单个圆环长度乘数量计算总长度。
【难度系数】
0.7

10.如图所示,在边长为1的正方形ABCD的边上有一个动点P,点P由点A(起点)沿着折线A—B—C—D向点D(终点)移动。设点P移动的路程为x,△DAP的面积为S,试写出S关于x的函数关系式。

当$0＜x≤1$时,$S=\frac{1}{2}x$;
当$1＜x≤2$时,$S=\frac{1}{2}$;
当$2＜x＜3$时,$S=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。

【分析】
解题时先根据动点P的运动路径（A→B→C→D）分三段讨论：
1. 首先确定每一段对应的x的取值范围，结合正方形边长为1，可知P在AB上时x的范围是$0＜x≤1$，在BC上时x的范围是$1＜x≤2$，在CD上时x的范围是$2＜x＜3$；
2. 对每一段分别分析△DAP的底和高：P在AB上时，底为AP=x，高为AD=1；P在BC上时，△DAP的高恒等于正方形边长1，底AD=1；P在CD上时，底为DP=3-x，高为AD=1；
3. 分别代入三角形面积公式计算，即可得到每段对应的函数关系式。
【解析】
已知正方形ABCD边长为1，因此AB=BC=CD=DA=1，分三种情况讨论：
1. 当点P在AB边上运动，即$0＜x≤1$时：
此时$AP=x$，∠DAP为直角，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S=\frac{1}{2}×AP×AD=\frac{1}{2}×x×1=\frac{1}{2}x$
2. 当点P在BC边上运动，即$1＜x≤2$时：
因为BC与AD平行，△DAP中AD边上的高等于正方形的边长1，底AD=1，因此：
$S=\frac{1}{2}×AD×高=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
3. 当点P在CD边上运动，即$2＜x＜3$时：
此时P走过的路程为x，到点D的剩余路程$DP=1+1+1 - x=3-x$，∠ADP为直角，因此：
$S=\frac{1}{2}×AD×DP=\frac{1}{2}×1×(3-x)=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$
综上得到S关于x的函数关系式。
【答案】
当$0＜x≤1$时,$S=\frac{1}{2}x$;
当$1＜x≤2$时,$S=\frac{1}{2}$;
当$2＜x＜3$时,$S=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$。
【知识点】
分段函数，三角形面积计算，正方形的性质
【点评】
本题是典型的动点分段函数问题，核心解题思路是分类讨论，需要结合动点的不同位置分析几何图形的边长特征，再代入对应公式求解，能有效锻炼分类讨论的逻辑思维。
【难度系数】
0.7