知识点一 实数的概念与分类
1. 和统称为实数。
2. 实数可以分为有理数和无理数，还可以分为、和。

1. 有理数 无理数
2. 正实数 零 负实数

【分析】
本题考查实数的基础概念与分类，解题时先回忆实数的两种分类标准：
1. 第一种是按定义分类：我们已经学过的有理数，加上新学的无限不循环小数也就是无理数，这两类数合起来就组成了所有的实数，第一问直接对应定义填写即可。
2. 第二种是按数的正负性质分类：和有理数的正负分类类似，实数可以按照大小分为大于0的数、等于0的数、小于0的数，对应就是正实数、零、负实数，据此填写第二问的空。
【解析】
1. 根据实数的定义，有理数和无理数统称为实数，因此两个空依次填有理数、无理数。
2. 实数除了按定义分为有理数和无理数外，还可以按照正负性分为三类：大于0的实数叫做正实数，0既不是正数也不是负数，小于0的实数叫做负实数，因此三个空依次填正实数、零、负实数。
【答案】
1. 有理数 无理数
2. 正实数 零 负实数
【知识点】
实数的定义；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对实数分类标准的掌握情况，牢记相关概念即可快速得分，是学习实数后续内容的必备基础。
【难度系数】
0.9

知识点二 实数的性质
1.在实数范围内，、、的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
2.实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的对实数仍然适用。

1. 相反数 倒数 绝对值
2. 运算法则与运算律

【分析】
首先分析第1题，题干已经给出提示，要填写的是和有理数范围内相反数、倒数、绝对值意义完全一致的概念，直接对应填写这三个概念即可；再分析第2题，回忆实数运算的相关知识，实数的运算规则是有理数运算的拓展，有理数的运算法则和运算律在实数范围内依旧适用，由此确定第2题的答案。
【解析】
1. 根据实数的性质定义，实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义，与有理数范围内这三个概念的意义完全相同，所以三个空依次填相反数、倒数、绝对值。
2. 实数和有理数的运算规则是承接关系，有理数的运算法则（如运算顺序、符号判定规则等）以及运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用，所以本空填运算法则与运算律。
【答案】
1. 相反数 倒数 绝对值
2. 运算法则与运算律
【知识点】
实数的相关概念；实数的运算规则
【点评】
本题属于识记类基础题，考查实数的基础性质，核心是理清实数与有理数在概念、运算规则上的承接关系，是后续学习实数混合运算的基础。
【难度系数】
0.9

知识点三 实数与数轴
事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是的。

一一对应

【分析】
解题时首先明确本题考查实数与数轴的对应关系相关概念，先梳理题干给出的两层信息：一是每一个实数都能在数轴上找到唯一的点与之匹配，二是数轴上的每一个点也都能找到唯一的实数与之匹配，这种双向唯一对应的关系就是我们所学的“一一对应”，直接填入该概念即可。
【解析】
根据实数与数轴的关系性质：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都唯一对应一个实数，因此实数和数轴上的点是一一对应的关系。
【答案】
一一对应
【知识点】
实数与数轴的关系
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，牢记相关定义就能快速作答。
【难度系数】
0.9

例1 把下列各数填入相应的集合中：
$3\dfrac{1}{2}$，$\sqrt[3]{-8}$，0，$\sqrt{27}$，$π$，0.5，3.1415，
$-0.020020002$，0.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)。
(1)有理数：{ …}；
(2)无理数：{ …}；
(3)正实数：{ …}；
(4)负实数：{ …}。
[点拨] 本题考查实数的分类，熟知有理数、无理数和正负数的概念是解决此题的关键。
[解] (1)有理数：$\{3\dfrac{1}{2},\sqrt[3]{-8},0,0.5,3.1415,-0.020020002,···\}$；
(2)无理数：$\{\sqrt{27},π,0.2121121112···$(相邻两个2之间1的个数逐次加1),$···\}$；
(3)正实数：$\{3\dfrac{1}{2},\sqrt{27},π,0.5,3.1415,0.2121121112···$(相邻两个2之间1的个数逐次加1),$···\}$；
(4)负实数：$\{\sqrt[3]{-8},-0.020020002,···\}$。

解：
(1) 有理数：$\{3\dfrac{1}{2},\sqrt[3]{-8},0,0.5,3.1415,-0.020020002,\dots\}$；
(2) 无理数：$\{\sqrt{27},π,0.2121121112···(\mathrm{相邻两个}2\mathrm{之间}1\mathrm{的个数逐次加}1),\dots\}$；
(3) 正实数：$\{3\dfrac{1}{2},\sqrt{27},π,0.5,3.1415,0.2121121112···(\mathrm{相邻两个}2\mathrm{之间}1\mathrm{的个数逐次加}1),\dots\}$；
(4) 负实数：$\{\sqrt[3]{-8},-0.020020002,\dots\}$。

【分析】
解题时先明确四类数的定义：①有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、构造类无限不循环小数；③正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数。第二步先化简可化简的数：$\sqrt[3]{-8}=-2$（整数）、$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$（开方开不尽），最后逐个判断每个数的类别，填入对应集合即可。
【解析】
第一步：化简待分类的数
$\sqrt[3]{-8}=-2$（负整数），$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$（开方开不尽的数）
第二步：按定义分类
(1) 有理数包含所有整数、分数（有限小数、无限循环小数），筛选得：$3\dfrac{1}{2}$、$\sqrt[3]{-8}$、0、0.5、3.1415、$-0.020020002$；
(2) 无理数是无限不循环小数，筛选得：$\sqrt{27}$、$π$、0.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)；
(3) 正实数为大于0的数，从上述数中筛选大于0的项：$3\dfrac{1}{2}$、$\sqrt{27}$、$π$、0.5、3.1415、0.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)；
(4) 负实数为小于0的数，从上述数中筛选小于0的项：$\sqrt[3]{-8}$、$-0.020020002$。
【答案】
(1) 有理数：$\{3\dfrac{1}{2},\sqrt[3]{-8},0,0.5,3.1415,-0.020020002,\dots\}$；
(2) 无理数：$\{\sqrt{27},π,0.2121121112···(\mathrm{相邻两个}2\mathrm{之间}1\mathrm{的个数逐次加}1),\dots\}$；
(3) 正实数：$\{3\dfrac{1}{2},\sqrt{27},π,0.5,3.1415,0.2121121112···(\mathrm{相邻两个}2\mathrm{之间}1\mathrm{的个数逐次加}1),\dots\}$；
(4) 负实数：$\{\sqrt[3]{-8},-0.020020002,\dots\}$。
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础常规题，核心考查对不同类型数定义的掌握，解题时要注意先化简含根式的数再判断，同时注意区分无限循环小数和无限不循环小数，避免误判构造类不循环小数的类型。
【难度系数】
0.75

| 变式训练1 | 将下列各数填入相应的集合中：
$-7,0,\dfrac{22}{7},-2.555\ 555···,3.01,+9,4.202\ 002\ 000\ 2···$（相邻两个2之间0的个数逐次加1）$,+10\%,-\dfrac{π}{2}$。
(1)无理数集合：$\{\ ···\}$；
(2)负有理数集合：$\{\ ···\}$；
(3)正分数集合：$\{\ ···\}$；
(4)非负整数集合：$\{\ ···\}$。

解:(1)无理数集合:{$4.202\ 002\ 000\ 2···$(相邻两个2之间0的个数逐次加1),$-\dfrac{π}{2}$,$···$};
(2)负有理数集合:{$-7,-2.555\ 555,···$};
(3)正分数集合:{$\dfrac{22}{7},3.01,+10\%,···$};
(4)非负整数集合:{$0,+9,···$}。

【分析】
解题前首先要明确各类集合的定义：①无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、有规律但不循环的无限小数等；②负有理数是小于0的有理数，有理数包括整数和分数，有限小数、无限循环小数都属于分数范畴；③正分数是大于0的分数，包括正的有限小数、无限循环小数、分数、百分数等；④非负整数包含0和正整数。解题时逐一分析给出的每个数，根据定义归类到对应集合即可。
【解析】
先逐个判断每个数的属性：
1. $-7$是负整数，属于负有理数；
2. $0$是整数，属于非负整数；
3. $\dfrac{22}{7}$是正的分数，属于正分数；
4. $-2.555555···$是负的无限循环小数，属于负有理数；
5. $3.01$是正的有限小数，属于正分数；
6. $+9$是正整数，属于非负整数；
7. $4.2020020002···$（相邻两个2之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数；
8. $+10\%$是正的百分数，可转化为分数，属于正分数；
9. $-\dfrac{π}{2}$中$π$是无理数，因此它也是无限不循环小数，属于无理数。
根据以上判断对应填入各集合即可。
【答案】
(1)无理数集合:{$4.202\ 002\ 000\ 2···$(相邻两个2之间0的个数逐次加1),$-\dfrac{π}{2}$,$···$};
(2)负有理数集合:{$-7,-2.555\ 555···,···$};
(3)正分数集合:{$\dfrac{22}{7},3.01,+10\%,···$};
(4)非负整数集合:{$0,+9,···$}。
【知识点】
无理数的识别，有理数的分类，实数的分类
【点评】
本题重点考查实数的分类相关知识，解题核心是准确掌握不同类型数的定义，需注意规避常见易错点：如$\dfrac{22}{7}$是分数属于有理数，不要误判为无理数；非负整数包含0，不要漏填；无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数。
【难度系数】
0.7

例2 已知$x,y$为实数，且$|x-8|$与$\sqrt{2y+2}$互为相反数，求$\sqrt[3]{xy}+\sqrt{-\dfrac{x}{2y}}$的值。
[点拨] 本题主要考查相反数的定义，根据符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，得出$|x-8|=0$，$\sqrt{2y+2}=0$是解题的关键。
[解] 因为$|x-8|$与$\sqrt{2y+2}$互为相反数，
所以$|x-8|=0$，$\sqrt{2y+2}=0$，
所以$x-8=0$，$2y+2=0$，
解得$x=8$，$y=-1$。
所以$\sqrt[3]{xy}+\sqrt{-\dfrac{x}{2y}}=\sqrt[3]{-8}+\sqrt{4}=0$。
变式训练2 已知$\sqrt[3]{1-3b}$与$\sqrt[3]{2a+1}$互为相反数，求$3-6a+9b$的平方根。

解:因为$\sqrt[3]{1-3b}$与$\sqrt[3]{2a+1}$互为相反数，
所以$\sqrt[3]{1-3b}+\sqrt[3]{2a+1}=0$。
所以$\sqrt[3]{1-3b}=-\sqrt[3]{2a+1}$，
所以$1-3b=-(2a+1)$，
所以$-2a+3b=2$。
所以$3-6a+9b=3+3(-2a+3b)$
$=3+3×2=9$。
因为9的平方根是$\pm3$，
所以$3-6a+9b$的平方根是$\pm3$。

【分析】
本题可按三步思路求解：第一步，根据互为相反数的两个数和为0，列出两个立方根相加等于0的等式；第二步，利用立方根的性质：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数本身也互为相反数，推导得出a与b的数量关系；第三步，将待求代数式变形为含有上述a、b关系式的形式，整体代入计算出代数式的值，最后根据平方根的定义求出最终结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{1-3b}$与$\sqrt[3]{2a+1}$互为相反数，
∴$\sqrt[3]{1-3b}+\sqrt[3]{2a+1}=0$，
移项得$\sqrt[3]{1-3b}=-\sqrt[3]{2a+1}$，
根据立方根的性质可得$1-3b=-(2a+1)$，
整理得：$-2a+3b=2$。
将$3-6a+9b$变形可得：
$3-6a+9b=3+3×(-2a+3b)$，
把$-2a+3b=2$代入得：
原式$=3+3×2=9$。
∵9的平方根是$\pm3$，
∴$3-6a+9b$的平方根是$\pm3$。
【答案】
$\pm3$
【知识点】
相反数的定义，立方根的性质，平方根的计算
【点评】
本题属于代数基础综合题，解题核心是利用立方根的性质建立a和b的数量关系，再通过整体代入法简化计算，求解平方根时要注意正数的平方根有两个，不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7