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例3 如图,已知点A,Q在数轴上表示的数分别为1,−1,PQ垂直于数轴且PQ=1。以点A为圆心,以AP的长为半径画弧,交数轴于B,C两点,求B,C两点所表示的数。
[点拨] 利用勾股定理列式求出AP,然后根据数轴写出B,C两点所表示的数即可。本题考查勾股定理、实数与数轴,主要是无理数在数轴上的表示。
[解] 由勾股定理得 $AP=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,所以点B表示的数是$1-\sqrt{5}$,点C表示的数是$\sqrt{5}+1$。
[点拨] 利用勾股定理列式求出AP,然后根据数轴写出B,C两点所表示的数即可。本题考查勾股定理、实数与数轴,主要是无理数在数轴上的表示。
[解] 由勾股定理得 $AP=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,所以点B表示的数是$1-\sqrt{5}$,点C表示的数是$\sqrt{5}+1$。
答案
解：
由点A，Q在数轴上表示的数分别为1，-1，可得
$AQ = 1 - (-1) = 2$。
∵ PQ垂直于数轴，$PQ=1$，
∴ $△ AQP$是直角三角形，
由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AQ^2 + PQ^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
根据作图可知，$AB=AC=AP=\sqrt{5}$，
点B在点A左侧，因此点B表示的数为$1-\sqrt{5}$，
点C在点A右侧，因此点C表示的数为$1+\sqrt{5}$。
答：点B所表示的数为$1-\sqrt{5}$，点C所表示的数为$1+\sqrt{5}$。
由点A，Q在数轴上表示的数分别为1，-1，可得
$AQ = 1 - (-1) = 2$。
∵ PQ垂直于数轴，$PQ=1$，
∴ $△ AQP$是直角三角形，
由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AQ^2 + PQ^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
根据作图可知，$AB=AC=AP=\sqrt{5}$，
点B在点A左侧，因此点B表示的数为$1-\sqrt{5}$，
点C在点A右侧，因此点C表示的数为$1+\sqrt{5}$。
答：点B所表示的数为$1-\sqrt{5}$，点C所表示的数为$1+\sqrt{5}$。
解析
【分析】
要解决本题，我们可以按三步思考：第一步先求线段AQ的长度，数轴上两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，已知A、Q对应的数就能直接算出AQ；第二步求半径AP的长度，因为PQ垂直数轴，△AQP是直角三角形，已知两条直角边AQ、PQ的长度，用勾股定理就能算出斜边AP的长；第三步求B、C对应的数，因为B、C是以A为圆心、AP为半径的弧与数轴的交点，所以AB=AC=AP，点B在A左侧，用A对应的数减去AP的长即可得到B对应的数，点C在A右侧，用A对应的数加上AP的长即可得到C对应的数。
【解析】
由点A，Q在数轴上表示的数分别为1，-1，可得
$AQ = 1 - (-1) = 2$。
∵ PQ垂直于数轴，$PQ=1$，
∴ $△ AQP$是直角三角形，
由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AQ^2 + PQ^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
根据作图可知，$AB=AC=AP=\sqrt{5}$，
点B在点A左侧，因此点B表示的数为$1-\sqrt{5}$，
点C在点A右侧，因此点C表示的数为$1+\sqrt{5}$。
【答案】
点B所表示的数为$1-\sqrt{5}$，点C所表示的数为$1+\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；数轴上两点距离
【点评】
本题是勾股定理与数轴结合的基础应用题，既考察了勾股定理的计算应用，也考察了数轴上点与实数的对应关系，能帮助学生理解无理数也可在数轴上直观表示，解题的核心是先求出半径AP的长度，再结合点的位置判断对应数值。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以按三步思考：第一步先求线段AQ的长度，数轴上两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，已知A、Q对应的数就能直接算出AQ；第二步求半径AP的长度，因为PQ垂直数轴，△AQP是直角三角形，已知两条直角边AQ、PQ的长度，用勾股定理就能算出斜边AP的长；第三步求B、C对应的数，因为B、C是以A为圆心、AP为半径的弧与数轴的交点，所以AB=AC=AP，点B在A左侧，用A对应的数减去AP的长即可得到B对应的数，点C在A右侧，用A对应的数加上AP的长即可得到C对应的数。
【解析】
由点A，Q在数轴上表示的数分别为1，-1，可得
$AQ = 1 - (-1) = 2$。
∵ PQ垂直于数轴，$PQ=1$，
∴ $△ AQP$是直角三角形，
由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AQ^2 + PQ^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
根据作图可知，$AB=AC=AP=\sqrt{5}$，
点B在点A左侧，因此点B表示的数为$1-\sqrt{5}$，
点C在点A右侧，因此点C表示的数为$1+\sqrt{5}$。
【答案】
点B所表示的数为$1-\sqrt{5}$，点C所表示的数为$1+\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；实数与数轴；数轴上两点距离
【点评】
本题是勾股定理与数轴结合的基础应用题，既考察了勾股定理的计算应用，也考察了数轴上点与实数的对应关系，能帮助学生理解无理数也可在数轴上直观表示，解题的核心是先求出半径AP的长度，再结合点的位置判断对应数值。
【难度系数】
0.7
变式训练3 | 如图，点O为数轴上的原点，点A在数轴的负半轴上，且点A表示的数为－2。已知AB⊥OA，AB＝1，连接OB，请在数轴的正半轴上画出点C，使得点C表示的数为$\sqrt{5}$。（保留作图痕迹，不写作法）
答案
解：
在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$OA=2$，$AB=1$，
由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
以原点$O$为圆心，$OB$的长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为所求的点$C$，保留所作圆弧痕迹，在数轴上2和3之间的交点处标注点$C$，点$C$表示的数即为$\sqrt{5}$。
在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$OA=2$，$AB=1$，
由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
以原点$O$为圆心，$OB$的长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为所求的点$C$，保留所作圆弧痕迹，在数轴上2和3之间的交点处标注点$C$，点$C$表示的数即为$\sqrt{5}$。
解析
【分析】
要在数轴上找到表示$\sqrt{5}$的点，首先需要构造出长度为$\sqrt{5}$的线段。观察已知的直角$△ OAB$，两条直角边$OA=2$、$AB=1$，根据勾股定理可算出斜边$OB$的长度恰好为$\sqrt{5}$。再利用尺规作图的等量转移方法，以原点$O$为圆心，$OB$的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是所求的点$C$。
【解析】
在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$OA=2$，$AB=1$，
由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
以原点$O$为圆心，$OB$的长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为所求的点$C$，保留所作圆弧痕迹，在数轴上2和3之间的交点处标注点$C$即可。
【答案】
以原点$O$为圆心，$OB$长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{5}$的点$C$，保留圆弧作图痕迹。
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，尺规作图
【点评】
本题考查无理数在数轴上的表示方法，核心是借助勾股定理构造出长度等于目标无理数的线段，再通过尺规作图将线段对应到数轴上，能帮助加深对实数与数轴上的点一一对应关系的理解。
【难度系数】
0.7
要在数轴上找到表示$\sqrt{5}$的点，首先需要构造出长度为$\sqrt{5}$的线段。观察已知的直角$△ OAB$，两条直角边$OA=2$、$AB=1$，根据勾股定理可算出斜边$OB$的长度恰好为$\sqrt{5}$。再利用尺规作图的等量转移方法，以原点$O$为圆心，$OB$的长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点就是所求的点$C$。
【解析】
在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，$OA=2$，$AB=1$，
由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
以原点$O$为圆心，$OB$的长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为所求的点$C$，保留所作圆弧痕迹，在数轴上2和3之间的交点处标注点$C$即可。
【答案】
以原点$O$为圆心，$OB$长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{5}$的点$C$，保留圆弧作图痕迹。
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，尺规作图
【点评】
本题考查无理数在数轴上的表示方法，核心是借助勾股定理构造出长度等于目标无理数的线段，再通过尺规作图将线段对应到数轴上，能帮助加深对实数与数轴上的点一一对应关系的理解。
【难度系数】
0.7
1. 在实数$1.414,\sqrt{2},π,3.\dot{1}\dot{4},3.121\ 221\ 222\ 1···$（相邻两个1之间2的个数逐次加1），$2+\sqrt{3},3.14$中，无理数的个数是(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数。解题思路是先梳理无理数的常见类型，再逐个判断题目给出的每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。判断时要注意区分有限小数、无限循环小数（都属于有理数）和无限不循环小数（属于无理数）。
【解析】
首先明确：无限不循环小数叫做无理数，有理数包括整数、分数（有限小数和无限循环小数都属于分数）。
我们逐个判断给出的数：
1. $1.414$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.\dot{1}\dot{4}$是无限循环小数，属于有理数；
5. $3.121\ 221\ 222\ 1···$（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数；
6. $2+\sqrt{3}$中$\sqrt{3}$是无理数，因此运算结果仍是无限不循环小数，属于无理数；
7. $3.14$是有限小数，属于有理数。
综上，无理数有$\sqrt{2}、π、3.121\ 221\ 222\ 1···、2+\sqrt{3}$，共4个。
【答案】
D
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的关键是准确掌握无理数的特征，注意不要混淆无限循环小数和有规律的无限不循环小数，也不要把有限小数3.14和无理数$π$混淆，同时注意含无理数的运算结果如果仍是无限不循环小数，也属于无理数。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义：无限不循环小数是无理数。解题思路是先梳理无理数的常见类型，再逐个判断题目给出的每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。判断时要注意区分有限小数、无限循环小数（都属于有理数）和无限不循环小数（属于无理数）。
【解析】
首先明确：无限不循环小数叫做无理数，有理数包括整数、分数（有限小数和无限循环小数都属于分数）。
我们逐个判断给出的数：
1. $1.414$是有限小数，属于有理数；
2. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.\dot{1}\dot{4}$是无限循环小数，属于有理数；
5. $3.121\ 221\ 222\ 1···$（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数；
6. $2+\sqrt{3}$中$\sqrt{3}$是无理数，因此运算结果仍是无限不循环小数，属于无理数；
7. $3.14$是有限小数，属于有理数。
综上，无理数有$\sqrt{2}、π、3.121\ 221\ 222\ 1···、2+\sqrt{3}$，共4个。
【答案】
D
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题考查无理数的识别，解题的关键是准确掌握无理数的特征，注意不要混淆无限循环小数和有规律的无限不循环小数，也不要把有限小数3.14和无理数$π$混淆，同时注意含无理数的运算结果如果仍是无限不循环小数，也属于无理数。
【难度系数】
0.7
2.实数a,b在数轴上的位置如图所示，则$|a+b|-|a-b|$等于（
A.$2a$
B.$2b$
C.$2b-2a$
D.$2b+2a$
A
）A.$2a$
B.$2b$
C.$2b-2a$
D.$2b+2a$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察数轴，确定a、b的正负性以及绝对值的大小关系，再据此判断绝对值内的两个代数式a+b、a-b的正负；接下来根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$a＜0$，$b＞0$，且$|b|＞|a|$
∴ $a+b＞0$，$a-b=a+(-b)＜0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|a+b|=a+b$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$
代入原式计算：
$\begin{aligned}|a+b|-|a-b|&=(a+b)-(b-a)\\&=a+b-b+a\\&=2a\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式加减
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的常考题型，解题核心是借助数轴判断绝对值内代数式的正负，去括号时要注意符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴，确定a、b的正负性以及绝对值的大小关系，再据此判断绝对值内的两个代数式a+b、a-b的正负；接下来根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴上点的位置可得：$a＜0$，$b＞0$，且$|b|＞|a|$
∴ $a+b＞0$，$a-b=a+(-b)＜0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|a+b|=a+b$，$|a-b|=-(a-b)=b-a$
代入原式计算：
$\begin{aligned}|a+b|-|a-b|&=(a+b)-(b-a)\\&=a+b-b+a\\&=2a\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，整式加减
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的常考题型，解题核心是借助数轴判断绝对值内代数式的正负，去括号时要注意符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
3.若$(x-2)^2$与$\sqrt{2x-y-3}$互为相反数，则$x+y$的值为（
A.3
B.4
C.6
D.9
A
）A.3
B.4
C.6
D.9
答案
A
解析
【分析】
解题时首先根据互为相反数的两个数之和为0列出等式；再结合平方数、算术平方根的非负性（即两者的值都大于等于0），可推出两个非负项各自等于0，得到关于x、y的两个方程；最后解方程求出x、y的值，代入计算x+y即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $(x-2)^2$ 与 $\sqrt{2x-y-3}$ 互为相反数
∴ $(x-2)^2 + \sqrt{2x-y-3} = 0$
又
∵ 平方数具有非负性，即 $(x-2)^2 ≥ 0$；算术平方根具有非负性，即 $\sqrt{2x-y-3} ≥ 0$
两个非负数的和为0时，每一个非负数都为0，因此可得：
$\begin{cases} x-2 = 0 \\ 2x - y - 3 = 0 \end{cases}$
解第一个方程得：$x = 2$
将$x=2$代入第二个方程：$2×2 - y - 3 = 0$，解得$y = 1$
∴ $x + y = 2 + 1 = 3$
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义；非负数的性质；算术平方根的性质
【点评】
本题是常考的基础题型，核心考查非负性的应用，解题关键是牢记平方、算术平方根、绝对值等常见非负数的性质：当几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，据此列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据互为相反数的两个数之和为0列出等式；再结合平方数、算术平方根的非负性（即两者的值都大于等于0），可推出两个非负项各自等于0，得到关于x、y的两个方程；最后解方程求出x、y的值，代入计算x+y即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $(x-2)^2$ 与 $\sqrt{2x-y-3}$ 互为相反数
∴ $(x-2)^2 + \sqrt{2x-y-3} = 0$
又
∵ 平方数具有非负性，即 $(x-2)^2 ≥ 0$；算术平方根具有非负性，即 $\sqrt{2x-y-3} ≥ 0$
两个非负数的和为0时，每一个非负数都为0，因此可得：
$\begin{cases} x-2 = 0 \\ 2x - y - 3 = 0 \end{cases}$
解第一个方程得：$x = 2$
将$x=2$代入第二个方程：$2×2 - y - 3 = 0$，解得$y = 1$
∴ $x + y = 2 + 1 = 3$
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义；非负数的性质；算术平方根的性质
【点评】
本题是常考的基础题型，核心考查非负性的应用，解题关键是牢记平方、算术平方根、绝对值等常见非负数的性质：当几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，据此列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
4. $\frac{1}{8}$的立方根是
$\dfrac{1}{2}$
，$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$
。答案
$\dfrac{1}{2}$；$\pm2$
解析
【分析】
解决本题要分两个部分思考：①求$\frac{1}{8}$的立方根：根据立方根的定义，只需找到三次方等于$\frac{1}{8}$的数即可，注意正数的立方根是唯一的正数；②求$\sqrt{16}$的平方根：这是本题的易错点，不能直接求16的平方根，要先计算$\sqrt{16}$的数值（$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，结果为4），再求4的平方根，正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
1. 计算$\frac{1}{8}$的立方根：
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
因为$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，所以$\frac{1}{8}$的立方根为$\frac{1}{2}$。
2. 计算$\sqrt{16}$的平方根：
首先化简$\sqrt{16}$：$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为非负数，即$\sqrt{16}=4$。
再根据平方根的定义：若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。
因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$，即$\sqrt{16}$的平方根为$\pm2$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$；$\pm2$
【知识点】
立方根的定义；平方根的定义；算术平方根的概念
【点评】
本题是根式基础运算题，核心考查平方根、立方根、算术平方根的概念辨析，解题时要注意审题，避免忽略先化简$\sqrt{16}$的步骤导致出错，同时要牢记正数的立方根唯一，正数的平方根有两个的性质。
【难度系数】
0.7
解决本题要分两个部分思考：①求$\frac{1}{8}$的立方根：根据立方根的定义，只需找到三次方等于$\frac{1}{8}$的数即可，注意正数的立方根是唯一的正数；②求$\sqrt{16}$的平方根：这是本题的易错点，不能直接求16的平方根，要先计算$\sqrt{16}$的数值（$\sqrt{16}$表示16的算术平方根，结果为4），再求4的平方根，正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
1. 计算$\frac{1}{8}$的立方根：
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
因为$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，所以$\frac{1}{8}$的立方根为$\frac{1}{2}$。
2. 计算$\sqrt{16}$的平方根：
首先化简$\sqrt{16}$：$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为非负数，即$\sqrt{16}=4$。
再根据平方根的定义：若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。
因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$，即$\sqrt{16}$的平方根为$\pm2$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$；$\pm2$
【知识点】
立方根的定义；平方根的定义；算术平方根的概念
【点评】
本题是根式基础运算题，核心考查平方根、立方根、算术平方根的概念辨析，解题时要注意审题，避免忽略先化简$\sqrt{16}$的步骤导致出错，同时要牢记正数的立方根唯一，正数的平方根有两个的性质。
【难度系数】
0.7
5.在数轴上表示实数a的点
，则化简$\sqrt{(a-5)^2}+|a-2|$的结果为
，则化简$\sqrt{(a-5)^2}+|a-2|$的结果为3
。答案
3
解析
【分析】首先观察数轴确定实数a的取值范围为2＜a＜5，再回忆二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，先将原式中的根号部分转化为绝对值形式，接着根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，分别判断两个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可得到结果。
【解析】解：由数轴可得$2 ＜ a ＜ 5$，
$\therefore a-5＜0$，$a-2＞0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式变形得：
$\sqrt{(a-5)^2}+|a-2|=|a-5|+|a-2|$
去绝对值符号：
原式$=(5-a)+(a-2)$
$=5-a+a-2$
$=3$
【答案】3
【知识点】数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】本题是基础化简题型，核心是先通过数轴确定未知数的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质去符号计算，计算过程中注意正负号的处理即可。
【难度系数】0.7
【解析】解：由数轴可得$2 ＜ a ＜ 5$，
$\therefore a-5＜0$，$a-2＞0$，
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式变形得：
$\sqrt{(a-5)^2}+|a-2|=|a-5|+|a-2|$
去绝对值符号：
原式$=(5-a)+(a-2)$
$=5-a+a-2$
$=3$
【答案】3
【知识点】数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】本题是基础化简题型，核心是先通过数轴确定未知数的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质去符号计算，计算过程中注意正负号的处理即可。
【难度系数】0.7
6. 计算：$(\sqrt{2} - 1)^0 + (-\dfrac{1}{3})^{-2} + \sqrt[3]{8} =$
12
。答案
12
解析
【分析】
观察算式可知，本题是零指数幂、负整数指数幂、开立方运算的综合求和题，解题时可拆分运算分别求解再相加：①先回忆零指数幂运算规则：非零数的0次幂等于1，先判断底数$\sqrt{2}-1$不为0，得到第一项的结果；②再回忆负整数指数幂运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），据此计算第二项的结果；③根据立方根的定义，找到立方等于8的数，得到第三项的结果；④最后将三个结果相加得到最终答案。
【解析】
分别计算每一项的结果再求和：
1. 零指数幂项：$\because \sqrt{2}-1 ≠ 0$，$\therefore (\sqrt{2}-1)^0=1$；
2. 负整数指数幂项：$(-\dfrac{1}{3})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}}=9$；
3. 立方根项：$\because 2^3=8$，$\therefore \sqrt[3]{8}=2$；
4. 求和得：$1+9+2=12$。
【答案】
12
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算、立方根的计算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，主要考查常见幂运算和开立方的运算规则，只要牢记相关运算的性质和注意事项，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，本题是零指数幂、负整数指数幂、开立方运算的综合求和题，解题时可拆分运算分别求解再相加：①先回忆零指数幂运算规则：非零数的0次幂等于1，先判断底数$\sqrt{2}-1$不为0，得到第一项的结果；②再回忆负整数指数幂运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），据此计算第二项的结果；③根据立方根的定义，找到立方等于8的数，得到第三项的结果；④最后将三个结果相加得到最终答案。
【解析】
分别计算每一项的结果再求和：
1. 零指数幂项：$\because \sqrt{2}-1 ≠ 0$，$\therefore (\sqrt{2}-1)^0=1$；
2. 负整数指数幂项：$(-\dfrac{1}{3})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}}=9$；
3. 立方根项：$\because 2^3=8$，$\therefore \sqrt[3]{8}=2$；
4. 求和得：$1+9+2=12$。
【答案】
12
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算、立方根的计算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，主要考查常见幂运算和开立方的运算规则，只要牢记相关运算的性质和注意事项，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
7.已知一个正数$ x $的两个平方根分别是$ 2a - 1 $和$ -a + 2 $。
(1)求$ a $和$ x $的值；
(2)化简:$ 2|a+\sqrt{2}|+|x-2\sqrt{2}|-|3a+x| $。
(1)求$ a $和$ x $的值；
(2)化简:$ 2|a+\sqrt{2}|+|x-2\sqrt{2}|-|3a+x| $。
答案
解:(1)由题意得$2a-1+(-a+2)=0$，
解得$a=-1$，
所以$x=(-2-1)^2=9$。
(2)由(1)知$a=-1,x=9$，
所以$2|a+\sqrt{2}|+|x-2\sqrt{2}|-|3a+x|$
$=2(\sqrt{2}-1)+(9-2\sqrt{2})-(-3+9)$
$=1$。
解得$a=-1$，
所以$x=(-2-1)^2=9$。
(2)由(1)知$a=-1,x=9$，
所以$2|a+\sqrt{2}|+|x-2\sqrt{2}|-|3a+x|$
$=2(\sqrt{2}-1)+(9-2\sqrt{2})-(-3+9)$
$=1$。
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先回忆正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，据此列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值，再将a代入任意一个平方根，对其平方即可得到x的值。解决第(2)问时，先将第(1)问求出的a、x代入待化简的式子，再判断每个绝对值内代数式的正负，根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项计算出结果即可。
【解析】
(1)根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$2a-1+(-a+2)=0$
合并同类项得：$a+1=0$
解得：$a=-1$
将$a=-1$代入$2a-1$得其中一个平方根为$2×(-1)-1=-3$，因此$x=(-3)^2=9$。
(2)把$a=-1$，$x=9$代入式子得：
$2|a+\sqrt{2}|+|x-2\sqrt{2}|-|3a+x|$
先判断绝对值内符号：
$a+\sqrt{2}=-1+\sqrt{2}＞0$，$x-2\sqrt{2}=9-2\sqrt{2}＞0$，$3a+x=3×(-1)+9=6＞0$
去绝对值得：
原式$=2(\sqrt{2}-1)+(9-2\sqrt{2})-6$
$=2\sqrt{2}-2+9-2\sqrt{2}-6$
合并同类项后得结果为1。
【答案】
(1)$a=-1$，$x=9$；(2)$1$
【知识点】
平方根的性质；绝对值的化简；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础常规题，解题的关键是熟练掌握正数两个平方根互为相反数的性质，去绝对值时要先判断绝对值内表达式的正负，再按绝对值的性质化简计算。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，首先回忆正数平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，据此列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值，再将a代入任意一个平方根，对其平方即可得到x的值。解决第(2)问时，先将第(1)问求出的a、x代入待化简的式子，再判断每个绝对值内代数式的正负，根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项计算出结果即可。
【解析】
(1)根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$2a-1+(-a+2)=0$
合并同类项得：$a+1=0$
解得：$a=-1$
将$a=-1$代入$2a-1$得其中一个平方根为$2×(-1)-1=-3$，因此$x=(-3)^2=9$。
(2)把$a=-1$，$x=9$代入式子得：
$2|a+\sqrt{2}|+|x-2\sqrt{2}|-|3a+x|$
先判断绝对值内符号：
$a+\sqrt{2}=-1+\sqrt{2}＞0$，$x-2\sqrt{2}=9-2\sqrt{2}＞0$，$3a+x=3×(-1)+9=6＞0$
去绝对值得：
原式$=2(\sqrt{2}-1)+(9-2\sqrt{2})-6$
$=2\sqrt{2}-2+9-2\sqrt{2}-6$
合并同类项后得结果为1。
【答案】
(1)$a=-1$，$x=9$；(2)$1$
【知识点】
平方根的性质；绝对值的化简；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础常规题，解题的关键是熟练掌握正数两个平方根互为相反数的性质，去绝对值时要先判断绝对值内表达式的正负，再按绝对值的性质化简计算。
【难度系数】
0.8
