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10.如图,直线$y=-\dfrac{4}{3}x+8$与x轴、y轴分别交于点A和点B,M是OB上的一点,将$△ ABM$沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点$B'$处。
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求$S_{△ ABO}$;
(3)求点O到直线AB的距离;
(4)求直线AM的关系式。
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求$S_{△ ABO}$;
(3)求点O到直线AB的距离;
(4)求直线AM的关系式。
答案
10. 解:(1)当$x=0$时，$y=8$，即$B(0,8)$。
当$y=0$时，$x=6$，即$A(6,0)$。
(2)因为点 A 的坐标为$(6,0)$，点 B 的坐标为$(0,8)$，
所以$OA=6,OB=8$，
所以$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×6×8=24$。
(3)在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，因为$OA=6,OB=8$，
所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
设点 O 到直线 AB 的距离为 h。
因为$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}AB· h$，
所以$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10h$，
解得$h=4.8$，
所以点 O 到直线 AB 的距离为 4.8。
(4)由折叠的性质得$AB=AB'=10$，
所以$OB'=AB'-OA=10-6=4$。
设$MO=x$，则$MB=MB'=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ OMB'$中，$OM^2+OB'^2=B'M^2$，
即$x^2+4^2=(8-x)^2$，
解得$x=3$，所以$M(0,3)$。
设直线 AM 的关系式为$y=kx+b$，
把$(0,3),(6,0)$代入，可得$b=3,k=-\frac{1}{2}$，
所以直线 AM 的关系式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
当$y=0$时，$x=6$，即$A(6,0)$。
(2)因为点 A 的坐标为$(6,0)$，点 B 的坐标为$(0,8)$，
所以$OA=6,OB=8$，
所以$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×6×8=24$。
(3)在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，因为$OA=6,OB=8$，
所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
设点 O 到直线 AB 的距离为 h。
因为$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}AB· h$，
所以$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10h$，
解得$h=4.8$，
所以点 O 到直线 AB 的距离为 4.8。
(4)由折叠的性质得$AB=AB'=10$，
所以$OB'=AB'-OA=10-6=4$。
设$MO=x$，则$MB=MB'=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ OMB'$中，$OM^2+OB'^2=B'M^2$，
即$x^2+4^2=(8-x)^2$，
解得$x=3$，所以$M(0,3)$。
设直线 AM 的关系式为$y=kx+b$，
把$(0,3),(6,0)$代入，可得$b=3,k=-\frac{1}{2}$，
所以直线 AM 的关系式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
解析
【分析】
(1)求坐标轴上点的坐标，根据x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，分别代入直线解析式计算即可得到A、B的坐标；
(2)△ABO是直角三角形，直角边为OA、OB，由A、B坐标可得OA、OB长度，代入直角三角形面积公式即可求解；
(3)求点到直线的距离，可利用等面积法：先由勾股定理算出斜边AB的长度，△ABO的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高（即O到AB的距离）的一半计算，列方程即可求出距离；
(4)求直线AM的解析式，需要先确定M点坐标：根据折叠的性质，AB=AB'，先算出OB'的长度，设OM=x，可得MB=MB'=8-x，在Rt△OMB'中利用勾股定理列方程求出x，得到M点坐标，再用待定系数法，代入A、M两点坐标即可求出直线AM的关系式。
【解析】
(1)对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x+8$：
当$x=0$时，$y=8$，所以点B的坐标为$(0,8)$；
当$y=0$时，$-\dfrac{4}{3}x+8=0$，解得$x=6$，所以点A的坐标为$(6,0)$。
(2)由(1)得$OA=6$，$OB=8$，且$∠ AOB=90°$，
所以$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×6×8=24$。
(3)在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
设点O到直线AB的距离为$h$，
由三角形面积公式得$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× AB× h$，
结合(2)的面积结果可得：$\frac{1}{2}×10× h=24$，
解得$h=4.8$，即点O到直线AB的距离为4.8。
(4)由折叠的性质可知$AB'=AB=10$，
所以$OB'=AB'-OA=10-6=4$，
设$OM=x$，则$MB=OB-OM=8-x$，由折叠性质得$MB'=MB=8-x$，
在$\mathrm{Rt}△ OMB'$中，由勾股定理得：$OM^2+OB'^2=MB'^2$，
即$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开得$x^2+16=64-16x+x^2$，
化简得$16x=48$，解得$x=3$，所以$OM=3$，即M点坐标为$(0,3)$。
设直线AM的关系式为$y=kx+b$，将$A(6,0)$、$M(0,3)$代入得：
$\begin{cases}b=3\\6k+b=0\end{cases}$，
把$b=3$代入$6k+b=0$得$6k+3=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
所以直线AM的关系式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
【答案】
(1)$A(6,0)$，$B(0,8)$；
(2)$S_{△ ABO}=24$；
(3)点O到直线AB的距离为4.8；
(4)直线AM的关系式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数与几何折叠的综合题，考查了坐标轴上点的坐标规律、直角三角形面积计算、等面积法求点到直线的距离、折叠的性质以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是利用折叠性质得到相等线段，结合勾股定理求出未知点的坐标。
【难度系数】
0.7
(1)求坐标轴上点的坐标，根据x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，分别代入直线解析式计算即可得到A、B的坐标；
(2)△ABO是直角三角形，直角边为OA、OB，由A、B坐标可得OA、OB长度，代入直角三角形面积公式即可求解；
(3)求点到直线的距离，可利用等面积法：先由勾股定理算出斜边AB的长度，△ABO的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高（即O到AB的距离）的一半计算，列方程即可求出距离；
(4)求直线AM的解析式，需要先确定M点坐标：根据折叠的性质，AB=AB'，先算出OB'的长度，设OM=x，可得MB=MB'=8-x，在Rt△OMB'中利用勾股定理列方程求出x，得到M点坐标，再用待定系数法，代入A、M两点坐标即可求出直线AM的关系式。
【解析】
(1)对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x+8$：
当$x=0$时，$y=8$，所以点B的坐标为$(0,8)$；
当$y=0$时，$-\dfrac{4}{3}x+8=0$，解得$x=6$，所以点A的坐标为$(6,0)$。
(2)由(1)得$OA=6$，$OB=8$，且$∠ AOB=90°$，
所以$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×6×8=24$。
(3)在$\mathrm{Rt}△ ABO$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
设点O到直线AB的距离为$h$，
由三角形面积公式得$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× AB× h$，
结合(2)的面积结果可得：$\frac{1}{2}×10× h=24$，
解得$h=4.8$，即点O到直线AB的距离为4.8。
(4)由折叠的性质可知$AB'=AB=10$，
所以$OB'=AB'-OA=10-6=4$，
设$OM=x$，则$MB=OB-OM=8-x$，由折叠性质得$MB'=MB=8-x$，
在$\mathrm{Rt}△ OMB'$中，由勾股定理得：$OM^2+OB'^2=MB'^2$，
即$x^2+4^2=(8-x)^2$，
展开得$x^2+16=64-16x+x^2$，
化简得$16x=48$，解得$x=3$，所以$OM=3$，即M点坐标为$(0,3)$。
设直线AM的关系式为$y=kx+b$，将$A(6,0)$、$M(0,3)$代入得：
$\begin{cases}b=3\\6k+b=0\end{cases}$，
把$b=3$代入$6k+b=0$得$6k+3=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
所以直线AM的关系式为$y=-\frac{1}{2}x+3$。
【答案】
(1)$A(6,0)$，$B(0,8)$；
(2)$S_{△ ABO}=24$；
(3)点O到直线AB的距离为4.8；
(4)直线AM的关系式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数与几何折叠的综合题，考查了坐标轴上点的坐标规律、直角三角形面积计算、等面积法求点到直线的距离、折叠的性质以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是利用折叠性质得到相等线段，结合勾股定理求出未知点的坐标。
【难度系数】
0.7
