知识点二 一次函数与一元一次方程的关系
一般地,当一次函数$y=kx+b$的函数值为0时,相应的就是方程$kx+b=0$的解。从图象上看,一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交点的就是方程$kx+b=0$的解。

自变量的值 横坐标

【分析】
我们可以从代数和图象两个角度来思考这道题：首先从代数定义出发，一次函数$y=kx+b$中，x是自变量，y是x对应的函数值，当y=0时，我们求解的就是自变量x的取值，这和方程$kx+b=0$的解是一致的。再从图象角度分析，x轴上的点的纵坐标都为0，一次函数图象和x轴的交点就满足y=0，此时交点的横坐标数值就对应方程$kx+b=0$的解。
【解析】
1. 从代数角度分析：当一次函数$y=kx+b$的函数值为0时，即令$y=0$，可得方程$kx+b=0$，解这个方程得到的x的取值，就是相应的自变量的值，也就是方程$kx+b=0$的解，因此第一个空填“自变量的值”。
2. 从图象角度分析：平面直角坐标系中x轴上所有点的纵坐标均为0，一次函数$y=kx+b$的图象与x轴相交时，该交点的纵坐标为0（即y=0），此时交点的横坐标满足$kx+b=0$，因此这个横坐标就是方程$kx+b=0$的解，第二个空填“横坐标”。
【答案】
自变量的值 横坐标
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系、一次函数的图象特征
【点评】
本题考查一次函数与一元一次方程的对应关系，需要同学们分别从代数、图象两个维度理解二者的关联，是数形结合思想在函数与方程模块的基础应用，牢记二者的对应规则即可快速作答。
【难度系数】
0.85

例1 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车沿相同的路线从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶。已知摩托车的速度小于汽车的速度，各自到达终点后停止。设甲、乙两人间的距离为s(单位:km)，甲行驶的时间为t(单位:h)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：

①出发1 h后甲、乙在途中相遇；
②出发1.5 h时，乙比甲多行驶60 km；
③出发3 h时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙的一半。
其中，正确的结论有()

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
[点拨] 本题主要考查一次函数的应用，理解横、纵坐标的含义是解题关键。根据题意，结合横、纵坐标的意义可求出摩托车的速度，进而分别分析得出答案。

B

【分析】首先明确函数图象的含义：横坐标t表示甲的行驶时间，纵坐标s表示甲、乙两人的距离。首先从图象提取关键信息：t=0时s=120km，可得A、B两地总路程为120km；t=3h时s=120km，说明甲走完全程用时3h，先算出甲的速度。再结合t=1h时s=0，即1小时两人相遇，得到两人的速度和，进而求出乙的速度，最后逐一验证四个结论是否正确即可。
【解析】
1. 计算甲、乙的速度：
A、B两地总路程为120km，甲走完全程用时3h，因此甲的速度$v_甲=\frac{120\mathrm{km}}{3\mathrm{h}}=40\mathrm{km/h}$。
t=1h时两人距离为0，即出发1h后相遇，两人1h一共行驶了120km，因此速度和为$v_甲+v_乙=\frac{120\mathrm{km}}{1\mathrm{h}}=120\mathrm{km/h}$，可得乙的速度$v_乙=120-40=80\mathrm{km/h}$。
乙走完全程的时间为$t_乙=\frac{120\mathrm{km}}{80\mathrm{km/h}}=1.5\mathrm{h}$，即乙出发1.5h就到达A地。
2. 逐一判断结论：
①出发1h时两人距离为0，说明途中相遇，结论正确；
②出发1.5h时，乙行驶的路程为$80\mathrm{km/h}×1.5\mathrm{h}=120\mathrm{km}$，甲行驶的路程为$40\mathrm{km/h}×1.5\mathrm{h}=60\mathrm{km}$，乙比甲多行驶$120-60=60\mathrm{km}$，结论正确；
③乙1.5h就到达终点，甲3h才到达终点，不是同时到达，结论错误；
④甲速度为40km/h，乙速度为80km/h，甲的速度是乙的一半，结论正确。
综上，正确的结论共3个。
【答案】B
【知识点】一次函数图象应用、行程相遇问题、路程速度时间关系
【点评】本题核心是读懂函数图象的实际意义，结合行程问题的基本公式先计算出两人的速度，再逐个验证结论，是函数与行程结合的常考题型。
【难度系数】0.7

|变式训练1| 甲、乙两车从A地出发匀速驶向B地，甲车以80 km/h的速度行驶1 h后，乙车才沿相同路线行驶。乙车先到达B地并停留1 h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇。在此过程中，两车之间的距离y(单位:km)与乙车行驶时间x(单位:h)之间的函数关系如图所示。已知下列说法：
①乙车的速度是120 km/h；②$m＝160$；③点H的坐标是$(7,80)$；④$n＝7.4$。其中说法正确的有()


A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

A

【分析】
解题时先结合题干和函数图像理解每个特殊点的实际意义：x轴表示乙车行驶的时间，y轴表示两车的距离。①首先看x=0到x=2的阶段，x=0时乙刚出发，甲已经提前行驶1小时，两车相距80km；x=2时y=0，说明乙追上甲，利用追及路程相等可求出乙的速度，判断①；②x=6时乙到达B地，此时两车距离为m，分别计算乙行驶6小时的总路程、甲行驶的总路程（甲比乙多走1小时），两者作差得m，判断②；③乙到达B地后停留1小时，此过程中甲继续向B地行驶，计算x=7时两车的距离，即可得到H点坐标，判断③；④x=7后乙原路返回，与甲相向而行，用此时两车的距离除以甲乙的速度和，算出相遇所需时间，加上7得到n的值，判断④。
【解析】
我们逐个分析四个说法：
1. 验证说法①：
乙出发时（x=0），甲已经以80km/h的速度行驶了1h，两车初始距离为$80×1=80\mathrm{km}$。
x=2h时乙追上甲，此时甲一共行驶了$1+2=3\mathrm{h}$，行驶路程为$80×3=240\mathrm{km}$。
乙2h行驶了240km，因此乙的速度为$240÷2=120\mathrm{km/h}$，故①正确。
2. 验证说法②：
x=6h时乙到达B地，乙行驶的总路程为$120×6=720\mathrm{km}$，即AB两地距离为720km。
此时甲一共行驶了$1+6=7\mathrm{h}$，行驶路程为$80×7=560\mathrm{km}$。
两车的距离$m=720-560=160\mathrm{km}$，故②正确。
3. 验证说法③：
乙到达B地后停留1h，这段时间甲继续行驶，1h行驶的路程为$80×1=80\mathrm{km}$。
因此$x=6+1=7\mathrm{h}$时，两车的距离为$160-80=80\mathrm{km}$，即点H的坐标为$(7,80)$，故③正确。
4. 验证说法④：
x=7h后乙原路返回，与甲相向而行，两车的速度和为$120+80=200\mathrm{km/h}$。
此时两车相距80km，相遇所需时间为$80÷200=0.4\mathrm{h}$。
因此$n=7+0.4=7.4$，故④正确。
综上，①②③④四个说法都正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的实际应用，行程追及相遇问题，函数图像应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程问题，解题的核心是读懂图像中拐点对应的实际场景，结合路程、速度、时间的关系逐步推导计算，即可判断各说法的正误。
【难度系数】
0.6

例2 如图，一次函数$y=kx+b$的图象经过A，B两点，则方程$kx+b=0$的解为$x=$。

[点拨] 本题考查一次函数与一元一次方程的关系，任何一个一元一次方程都可以转化为$ax+b=0(a,b$为常数，$a≠0)$的形式。因此，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，相当于已知直线$y=ax+b$，确定它与x轴的交点的横坐标的值。本题所求方程的解，即为函数$y=kx+b$的图象与x轴的交点的横坐标。
[解] 方程$kx+b=0$的解，即函数$y=kx+b$的图象与x轴的交点的横坐标。
因为直线$y=kx+b$过$A(3,0)$，
所以方程$kx+b=0$的解是$x=3$。

解：
方程$kx+b=0$的解，对应一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交点的横坐标。
由图可知，直线$y=kx+b$与$x$轴的交点为$A(3,0)$，即当$x=3$时，$kx+b=0$。
所以方程$kx+b=0$的解为$x=3$。

【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程$kx+b=0$和对应一次函数$y=kx+b$的联系：方程$kx+b=0$的解就是当一次函数$y=kx+b$的函数值为0时，对应的自变量$x$的取值，从图象角度看，就是直线$y=kx+b$与$x$轴交点的横坐标。接下来只需从图中找到直线和$x$轴交点的横坐标，就能得到方程的解。
【解析】
方程$kx+b=0$的解，对应一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交点的横坐标。
由图可知，直线$y=kx+b$与$x$轴的交点为$A(3,0)$，即当$x=3$时，$kx+b=0$。
所以方程$kx+b=0$的解为$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数的图象；一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于基础概念考查题，不需要复杂计算，只要掌握一次函数和对应一元一次方程的图象关联，直接读取直线与x轴交点的横坐标即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9