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例1 求$\sqrt{5}$的近似值。（精确到百分位）
[点拨] 求一个无理数的近似值常用“夹逼法”，直到达到要求的精确度为止。
[解] 因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，
所以$\sqrt{5}$的整数部分为2。
因为$2.2^2=4.84＜5＜5.29=2.3^2$，
所以$\sqrt{5}$的十分位是2。
因为$2.23^2=4.9729＜5＜5.0176=2.24^2$，
所以$\sqrt{5}$的百分位是3。
因为$2.236^2\approx4.9997＜5＜5.0042\approx2.237^2$，
所以$\sqrt{5}$的千分位是6。
所以$\sqrt{5}\approx2.24$。
[点拨] 求一个无理数的近似值常用“夹逼法”，直到达到要求的精确度为止。
[解] 因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，
所以$\sqrt{5}$的整数部分为2。
因为$2.2^2=4.84＜5＜5.29=2.3^2$，
所以$\sqrt{5}$的十分位是2。
因为$2.23^2=4.9729＜5＜5.0176=2.24^2$，
所以$\sqrt{5}$的百分位是3。
因为$2.236^2\approx4.9997＜5＜5.0042\approx2.237^2$，
所以$\sqrt{5}$的千分位是6。
所以$\sqrt{5}\approx2.24$。
答案
解：
因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，
所以$\sqrt{5}$的整数部分为2。
因为$2.2^2=4.84＜5＜5.29=2.3^2$，
所以$\sqrt{5}$的十分位是2。
因为$2.23^2=4.9729＜5＜5.0176=2.24^2$，
所以$\sqrt{5}$的百分位是3。
因为$2.236^2\approx4.9997＜5＜5.0042\approx2.237^2$，
所以$\sqrt{5}$的千分位是6。
按精确到百分位的要求对千分位数字四舍五入，可得$\sqrt{5}\approx2.24$。
因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，
所以$\sqrt{5}$的整数部分为2。
因为$2.2^2=4.84＜5＜5.29=2.3^2$，
所以$\sqrt{5}$的十分位是2。
因为$2.23^2=4.9729＜5＜5.0176=2.24^2$，
所以$\sqrt{5}$的百分位是3。
因为$2.236^2\approx4.9997＜5＜5.0042\approx2.237^2$，
所以$\sqrt{5}$的千分位是6。
按精确到百分位的要求对千分位数字四舍五入，可得$\sqrt{5}\approx2.24$。
解析
【分析】
本题要求精确到百分位求$\sqrt{5}$的近似值，适合用夹逼法求解。解题思路如下：第一步先确定$\sqrt{5}$的整数部分，找到两个相邻整数，使它们的平方分别小于和大于5，即可得到整数部分；第二步逐步缩小范围，依次确定十分位、百分位的数字；第三步因为要精确到百分位，需要额外算出千分位的数字，用来四舍五入，最终得到符合精确度要求的近似值。
【解析】
因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，
所以$\sqrt{5}$的整数部分为2。
因为$2.2^2=4.84＜5＜5.29=2.3^2$，
所以$\sqrt{5}$的十分位是2。
因为$2.23^2=4.9729＜5＜5.0176=2.24^2$，
所以$\sqrt{5}$的百分位是3。
因为$2.236^2\approx4.9997＜5＜5.0042\approx2.237^2$，
所以$\sqrt{5}$的千分位是6。
按精确到百分位的要求对千分位数字四舍五入，可得$\sqrt{5}\approx2.24$。
【答案】
$\sqrt{5}\approx2.24$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 近似数的精确度
3. 四舍五入法
【点评】
本题核心考查夹逼法估算无理数近似值的方法，解题关键是通过计算平方数逐步缩小无理数的取值范围，要注意精确到某一数位时，需先计算出下一数位的数字，再进行四舍五入得到最终结果。
【难度系数】
0.8
本题要求精确到百分位求$\sqrt{5}$的近似值，适合用夹逼法求解。解题思路如下：第一步先确定$\sqrt{5}$的整数部分，找到两个相邻整数，使它们的平方分别小于和大于5，即可得到整数部分；第二步逐步缩小范围，依次确定十分位、百分位的数字；第三步因为要精确到百分位，需要额外算出千分位的数字，用来四舍五入，最终得到符合精确度要求的近似值。
【解析】
因为$2^2=4＜5＜9=3^2$，
所以$\sqrt{5}$的整数部分为2。
因为$2.2^2=4.84＜5＜5.29=2.3^2$，
所以$\sqrt{5}$的十分位是2。
因为$2.23^2=4.9729＜5＜5.0176=2.24^2$，
所以$\sqrt{5}$的百分位是3。
因为$2.236^2\approx4.9997＜5＜5.0042\approx2.237^2$，
所以$\sqrt{5}$的千分位是6。
按精确到百分位的要求对千分位数字四舍五入，可得$\sqrt{5}\approx2.24$。
【答案】
$\sqrt{5}\approx2.24$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 近似数的精确度
3. 四舍五入法
【点评】
本题核心考查夹逼法估算无理数近似值的方法，解题关键是通过计算平方数逐步缩小无理数的取值范围，要注意精确到某一数位时，需先计算出下一数位的数字，再进行四舍五入得到最终结果。
【难度系数】
0.8
变式训练1 与$\sqrt{20}$最接近的整数是
4
。答案
4
解析
【分析】
要找到与$\sqrt{20}$最接近的整数，首先需估算$\sqrt{20}$的取值范围：先找到和20相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{20}$位于哪两个相邻整数之间，再通过比较$\sqrt{20}$和这两个整数中间值的大小，即可判断它更接近哪个整数。
【解析】
解：先计算相邻整数的平方：
∵ $4^2=16$，$5^2=25$
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$，即 $4＜\sqrt{20}＜5$
再计算两个整数的中间值的平方：$4.5^2=20.25$
∵ $20＜20.25$
∴ $\sqrt{20}＜4.5$，即$\sqrt{20}$位于4和4.5之间
因此与$\sqrt{20}$最接近的整数是4。
【答案】
4
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的大小估算
【点评】
本题核心是考查无理数的估算能力，将无理数与相邻完全平方数对比确定取值范围是解决这类问题的常用方法，熟练记忆常见整数的平方值可以大幅提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
要找到与$\sqrt{20}$最接近的整数，首先需估算$\sqrt{20}$的取值范围：先找到和20相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{20}$位于哪两个相邻整数之间，再通过比较$\sqrt{20}$和这两个整数中间值的大小，即可判断它更接近哪个整数。
【解析】
解：先计算相邻整数的平方：
∵ $4^2=16$，$5^2=25$
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25}$，即 $4＜\sqrt{20}＜5$
再计算两个整数的中间值的平方：$4.5^2=20.25$
∵ $20＜20.25$
∴ $\sqrt{20}＜4.5$，即$\sqrt{20}$位于4和4.5之间
因此与$\sqrt{20}$最接近的整数是4。
【答案】
4
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的大小估算
【点评】
本题核心是考查无理数的估算能力，将无理数与相邻完全平方数对比确定取值范围是解决这类问题的常用方法，熟练记忆常见整数的平方值可以大幅提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
例2 比较$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$与$\frac{1}{2}$的大小。
[点拨] 两个分数比较大小，分母相同看分子，分子相同看分母。对于开方开不尽的无理数，可以比较它们的平方或立方。
[解] 因为$5＞4$，所以$\sqrt{5}＞2$，
所以$\sqrt{5}-1＞1$，
所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
[点拨] 两个分数比较大小，分母相同看分子，分子相同看分母。对于开方开不尽的无理数，可以比较它们的平方或立方。
[解] 因为$5＞4$，所以$\sqrt{5}＞2$，
所以$\sqrt{5}-1＞1$，
所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
答案
解：
∵ $5＞4$，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
∴ $\sqrt{5}-1＞2-1$，即$\sqrt{5}-1＞1$，
两个正分数分母相同时，分子越大分数值越大，
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
∵ $5＞4$，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
∴ $\sqrt{5}-1＞2-1$，即$\sqrt{5}-1＞1$，
两个正分数分母相同时，分子越大分数值越大，
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
要比较两个分母相同的正分数的大小，只需比较分子的大小即可，因此本题可先转化为判断$\sqrt{5}-1$和$1$的大小关系。要判断$\sqrt{5}-1$和$1$的大小，只需判断$\sqrt{5}$和$2$的大小，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，找到和5相邻的完全平方数4，就能得到$\sqrt{5}$的取值范围，进而逐步推导得出结果。
【解析】
∵ $5＞4$，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
∴ $\sqrt{5}-1＞2-1$，即$\sqrt{5}-1＞1$，
两个正分数分母相同时，分子越大分数值越大，
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$
【知识点】
实数大小比较；二次根式估值；不等式基本性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题核心是将同分母分数比较转化为分子大小比较，结合无理数的估值即可快速求解，掌握算术平方根大小和被开方数的对应关系是解题的基础。
【难度系数】
0.9
要比较两个分母相同的正分数的大小，只需比较分子的大小即可，因此本题可先转化为判断$\sqrt{5}-1$和$1$的大小关系。要判断$\sqrt{5}-1$和$1$的大小，只需判断$\sqrt{5}$和$2$的大小，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，找到和5相邻的完全平方数4，就能得到$\sqrt{5}$的取值范围，进而逐步推导得出结果。
【解析】
∵ $5＞4$，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
∴ $\sqrt{5}-1＞2-1$，即$\sqrt{5}-1＞1$，
两个正分数分母相同时，分子越大分数值越大，
∴ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$
【知识点】
实数大小比较；二次根式估值；不等式基本性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题核心是将同分母分数比较转化为分子大小比较，结合无理数的估值即可快速求解，掌握算术平方根大小和被开方数的对应关系是解题的基础。
【难度系数】
0.9
| 变式训练2 | 通过估算比较下列各数
的大小：
(1)$\frac{\sqrt{99} -7}{2}$与$\frac{8}{5}$； (2)$\frac{\sqrt[3]{10} -1}{3}$与$\frac{1}{3}$。
的大小：
(1)$\frac{\sqrt{99} -7}{2}$与$\frac{8}{5}$； (2)$\frac{\sqrt[3]{10} -1}{3}$与$\frac{1}{3}$。
答案
解:(1)$\frac{\sqrt{99}-7}{2}＜\frac{\sqrt{100}-7}{2}$,
即$\frac{\sqrt{99}-7}{2}＜\frac{3}{2}$。
因为$\frac{3}{2}=\frac{15}{10},\frac{8}{5}=\frac{16}{10}$,
所以$\frac{3}{2}＜\frac{8}{5}$,
所以$\frac{\sqrt{99}-7}{2}＜\frac{8}{5}$。
(2)$\frac{\sqrt[3]{10}-1}{3}＞\frac{\sqrt[3]{8}-1}{3}$,
所以$\frac{\sqrt[3]{10}-1}{3}＞\frac{1}{3}$。
即$\frac{\sqrt{99}-7}{2}＜\frac{3}{2}$。
因为$\frac{3}{2}=\frac{15}{10},\frac{8}{5}=\frac{16}{10}$,
所以$\frac{3}{2}＜\frac{8}{5}$,
所以$\frac{\sqrt{99}-7}{2}＜\frac{8}{5}$。
(2)$\frac{\sqrt[3]{10}-1}{3}＞\frac{\sqrt[3]{8}-1}{3}$,
所以$\frac{\sqrt[3]{10}-1}{3}＞\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
比较含无理数的代数式大小，核心是先估算无理数的取值范围：首先找到与根号内的数最接近的、能开尽方的整数，通过放缩得到无理数的上限或下限，再代入原式求出代数式的取值范围，最后与另一个数比较大小即可。
对于第(1)题，√99最接近的完全平方数是100，即√100=10，先通过放缩得到(√99 -7)/2的上限，再将上限与8/5通分比较，结合不等式的传递性即可判断大小；
对于第(2)题，∛10最接近的完全立方数是8，即∛8=2，先通过放缩得到(∛10 -1)/3的下限，直接和1/3比较即可判断大小。
【解析】
(1) 因为99＜100，所以$\sqrt{99}＜\sqrt{100}=10$，
不等式两边同时减7得：$\sqrt{99}-7＜10-7=3$，
不等式两边同时除以2得：$\frac{\sqrt{99}-7}{2}＜\frac{3}{2}$，
将$\frac{3}{2}$和$\frac{8}{5}$通分：$\frac{3}{2}=\frac{15}{10}$，$\frac{8}{5}=\frac{16}{10}$，
因为$\frac{15}{10}＜\frac{16}{10}$，所以$\frac{3}{2}＜\frac{8}{5}$，
结合不等式的传递性可得：$\frac{\sqrt{99} -7}{2}＜\frac{8}{5}$。
(2) 因为10＞8，所以$\sqrt[3]{10}＞\sqrt[3]{8}=2$，
不等式两边同时减1得：$\sqrt[3]{10}-1＞2-1=1$，
不等式两边同时除以3得：$\frac{\sqrt[3]{10} -1}{3}＞\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{99} -7}{2}＜\frac{8}{5}$；(2)$\frac{\sqrt[3]{10} -1}{3}＞\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 实数大小比较
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是含无理数的代数式大小比较的基础题型，解题的关键是熟练掌握常见完全平方数、完全立方数，能快速找到与无理数相邻的可开尽方的整数，通过放缩确定代数式的取值范围即可求解，放缩的技巧在后续比较大小的题型中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
比较含无理数的代数式大小，核心是先估算无理数的取值范围：首先找到与根号内的数最接近的、能开尽方的整数，通过放缩得到无理数的上限或下限，再代入原式求出代数式的取值范围，最后与另一个数比较大小即可。
对于第(1)题，√99最接近的完全平方数是100，即√100=10，先通过放缩得到(√99 -7)/2的上限，再将上限与8/5通分比较，结合不等式的传递性即可判断大小；
对于第(2)题，∛10最接近的完全立方数是8，即∛8=2，先通过放缩得到(∛10 -1)/3的下限，直接和1/3比较即可判断大小。
【解析】
(1) 因为99＜100，所以$\sqrt{99}＜\sqrt{100}=10$，
不等式两边同时减7得：$\sqrt{99}-7＜10-7=3$，
不等式两边同时除以2得：$\frac{\sqrt{99}-7}{2}＜\frac{3}{2}$，
将$\frac{3}{2}$和$\frac{8}{5}$通分：$\frac{3}{2}=\frac{15}{10}$，$\frac{8}{5}=\frac{16}{10}$，
因为$\frac{15}{10}＜\frac{16}{10}$，所以$\frac{3}{2}＜\frac{8}{5}$，
结合不等式的传递性可得：$\frac{\sqrt{99} -7}{2}＜\frac{8}{5}$。
(2) 因为10＞8，所以$\sqrt[3]{10}＞\sqrt[3]{8}=2$，
不等式两边同时减1得：$\sqrt[3]{10}-1＞2-1=1$，
不等式两边同时除以3得：$\frac{\sqrt[3]{10} -1}{3}＞\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{99} -7}{2}＜\frac{8}{5}$；(2)$\frac{\sqrt[3]{10} -1}{3}＞\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 实数大小比较
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题是含无理数的代数式大小比较的基础题型，解题的关键是熟练掌握常见完全平方数、完全立方数，能快速找到与无理数相邻的可开尽方的整数，通过放缩确定代数式的取值范围即可求解，放缩的技巧在后续比较大小的题型中应用非常广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
1. 下列无理数中，与4最接近的是（
A.$\sqrt{11}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt{17}$
D
）A.$\sqrt{11}$
B.$\sqrt{13}$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt{17}$
答案
D
解析
【分析】
要找到与4最接近的无理数，首先可以把4转化为算术平方根形式$\sqrt{16}$，根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，因此被开方数越接近16，对应的算术平方根就越接近4。首先排除被开方数与16差距大的选项，剩下差距相同的选项时，通过估算无理数的范围，比较它们与4的差值大小，就能确定最接近的数。
【解析】
解：首先将4改写为算术平方根形式：$4=\sqrt{16}$。
1. 初步筛选：计算各选项被开方数与16的差值
A选项：$16-11=5$
B选项：$16-13=3$
C选项：$16-15=1$
D选项：$17-16=1$
差值越小说明被开方数越接近16，因此先排除差值更大的A、B，仅需比较C、D选项。
2. 精准比较$\sqrt{15}$、$\sqrt{17}$与4的差值
① 计算得$3.875^2=15.015625$，因为$15＜15.015625$，所以$\sqrt{15}＜3.875$，因此$\sqrt{15}$与4的差：$4-\sqrt{15}＞4-3.875=0.125$。
② 计算得$4.125^2=17.015625$，因为$17＜17.015625$，所以$\sqrt{17}＜4.125$，因此$\sqrt{17}$与4的差：$\sqrt{17}-4＜4.125-4=0.125$。
由此可知$\sqrt{17}$与4的差值更小，更接近4。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质，无理数的估算
【点评】
本题利用算术平方根和被开方数的对应关系简化了比较过程，易错点是仅通过被开方数与16的差相等就误选C，需要通过估算无理数的范围进一步判断，考查学生的估算能力和逻辑比较能力。
【难度系数】
0.6
要找到与4最接近的无理数，首先可以把4转化为算术平方根形式$\sqrt{16}$，根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根越大，因此被开方数越接近16，对应的算术平方根就越接近4。首先排除被开方数与16差距大的选项，剩下差距相同的选项时，通过估算无理数的范围，比较它们与4的差值大小，就能确定最接近的数。
【解析】
解：首先将4改写为算术平方根形式：$4=\sqrt{16}$。
1. 初步筛选：计算各选项被开方数与16的差值
A选项：$16-11=5$
B选项：$16-13=3$
C选项：$16-15=1$
D选项：$17-16=1$
差值越小说明被开方数越接近16，因此先排除差值更大的A、B，仅需比较C、D选项。
2. 精准比较$\sqrt{15}$、$\sqrt{17}$与4的差值
① 计算得$3.875^2=15.015625$，因为$15＜15.015625$，所以$\sqrt{15}＜3.875$，因此$\sqrt{15}$与4的差：$4-\sqrt{15}＞4-3.875=0.125$。
② 计算得$4.125^2=17.015625$，因为$17＜17.015625$，所以$\sqrt{17}＜4.125$，因此$\sqrt{17}$与4的差：$\sqrt{17}-4＜4.125-4=0.125$。
由此可知$\sqrt{17}$与4的差值更小，更接近4。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质，无理数的估算
【点评】
本题利用算术平方根和被开方数的对应关系简化了比较过程，易错点是仅通过被开方数与16的差相等就误选C，需要通过估算无理数的范围进一步判断，考查学生的估算能力和逻辑比较能力。
【难度系数】
0.6
2.估算$\sqrt{76}-3$的值应在（
A.5到6之间
B.6到7之间
C.7到8之间
D.4到5之间
A
）A.5到6之间
B.6到7之间
C.7到8之间
D.4到5之间
答案
A
解析
【分析】
要估算$\sqrt{76}-3$的取值范围，首先需要确定无理数$\sqrt{76}$的范围：先找到和76相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质就能得到$\sqrt{76}$的取值区间，再对不等式三边同时减去3，就能得到$\sqrt{76}-3$的范围，最后对应选项即可。
【解析】
解：先确定$\sqrt{76}$的取值范围：
∵ $8^2=64$，$9^2=81$，且$64＜76＜81$
∴ $\sqrt{64}＜\sqrt{76}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{76}＜9$
对不等式三边同时减去3，得：
$8-3 ＜ \sqrt{76}-3 ＜ 9-3$
计算得$5＜\sqrt{76}-3＜6$
因此$\sqrt{76}-3$的值在5到6之间。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算、算术平方根的性质、不等式的基本性质
【点评】
本题属于估算类基础题，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的取值范围后，结合不等式的性质变形即可得到结果，掌握无理数估算的基本方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要估算$\sqrt{76}-3$的取值范围，首先需要确定无理数$\sqrt{76}$的范围：先找到和76相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质就能得到$\sqrt{76}$的取值区间，再对不等式三边同时减去3，就能得到$\sqrt{76}-3$的范围，最后对应选项即可。
【解析】
解：先确定$\sqrt{76}$的取值范围：
∵ $8^2=64$，$9^2=81$，且$64＜76＜81$
∴ $\sqrt{64}＜\sqrt{76}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{76}＜9$
对不等式三边同时减去3，得：
$8-3 ＜ \sqrt{76}-3 ＜ 9-3$
计算得$5＜\sqrt{76}-3＜6$
因此$\sqrt{76}-3$的值在5到6之间。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算、算术平方根的性质、不等式的基本性质
【点评】
本题属于估算类基础题，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的取值范围后，结合不等式的性质变形即可得到结果，掌握无理数估算的基本方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.一块正方体水晶砖的体积为$100\ \mathrm{cm}^3$，则它的棱长大约在(
A.4 cm到5 cm之间
B.5 cm到6 cm之间
C.6 cm到7 cm之间
D.7 cm到8 cm之间
A
)A.4 cm到5 cm之间
B.5 cm到6 cm之间
C.6 cm到7 cm之间
D.7 cm到8 cm之间
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据正方体体积公式建立棱长与体积的关系：正方体体积等于棱长的三次方，因此已知体积求棱长，本质是求100的立方根。接下来需要估算这个立方根的大小，只需计算出与100相邻的两个正整数的立方，判断100落在哪两个立方数之间，即可对应得到立方根的取值范围，也就是棱长的范围。
【解析】
设正方体水晶砖的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式可得：
$x^3=100$
因此$x=\sqrt[3]{100}$
计算相邻整数的立方：
$4^3=64$，$5^3=125$
因为$64＜100＜125$，根据立方根的性质，被开方数越大，对应的立方根也越大，可得：
$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{100}＜\sqrt[3]{125}$
即$4＜\sqrt[3]{100}＜5$
所以它的棱长在4 cm到5 cm之间。
【答案】
A
【知识点】
正方体体积计算，立方根估算
【点评】
本题结合实际场景考查立方根的估算应用，解题关键是熟练掌握常见整数的立方值，通过对比被开方数和相邻完全立方数的大小，快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先根据正方体体积公式建立棱长与体积的关系：正方体体积等于棱长的三次方，因此已知体积求棱长，本质是求100的立方根。接下来需要估算这个立方根的大小，只需计算出与100相邻的两个正整数的立方，判断100落在哪两个立方数之间，即可对应得到立方根的取值范围，也就是棱长的范围。
【解析】
设正方体水晶砖的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式可得：
$x^3=100$
因此$x=\sqrt[3]{100}$
计算相邻整数的立方：
$4^3=64$，$5^3=125$
因为$64＜100＜125$，根据立方根的性质，被开方数越大，对应的立方根也越大，可得：
$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{100}＜\sqrt[3]{125}$
即$4＜\sqrt[3]{100}＜5$
所以它的棱长在4 cm到5 cm之间。
【答案】
A
【知识点】
正方体体积计算，立方根估算
【点评】
本题结合实际场景考查立方根的估算应用，解题关键是熟练掌握常见整数的立方值，通过对比被开方数和相邻完全立方数的大小，快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.8
4.已知a,b为两个连续的整数，且$a＜\sqrt{28}＜b$，则$a+b=$
11
。答案
11
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要估算出$\sqrt{28}$的取值范围：我们知道算术平方根具有被开方数越大，对应的算术平方根也越大的性质，所以先找到和28相邻的两个完全平方数，就能确定$\sqrt{28}$在哪两个连续整数之间，再根据$a＜\sqrt{28}＜b$确定a、b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
解：$\because 25＜28＜36$
$\therefore \sqrt{25}＜\sqrt{28}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{28}＜6$
$\because a、b$为连续整数，且$a＜\sqrt{28}＜b$
$\therefore a=5，b=6$
$\therefore a+b=5+6=11$
【答案】
11
【知识点】
1. 算术平方根估算
2. 无理数大小比较
【点评】
本题核心是考查无理数的估算能力，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，从而确定无理数的整数范围，是基础类的常考题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要估算出$\sqrt{28}$的取值范围：我们知道算术平方根具有被开方数越大，对应的算术平方根也越大的性质，所以先找到和28相邻的两个完全平方数，就能确定$\sqrt{28}$在哪两个连续整数之间，再根据$a＜\sqrt{28}＜b$确定a、b的值，最后计算a+b即可。
【解析】
解：$\because 25＜28＜36$
$\therefore \sqrt{25}＜\sqrt{28}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{28}＜6$
$\because a、b$为连续整数，且$a＜\sqrt{28}＜b$
$\therefore a=5，b=6$
$\therefore a+b=5+6=11$
【答案】
11
【知识点】
1. 算术平方根估算
2. 无理数大小比较
【点评】
本题核心是考查无理数的估算能力，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，从而确定无理数的整数范围，是基础类的常考题型。
【难度系数】
0.8
5. $\sqrt[3]{340}$
（用“＞”“＜”或“=”填空）
＜
7, $\sqrt[3]{-6}$ ＞
$\sqrt[3]{-7}$。（用“＞”“＜”或“=”填空）
答案
＜ ＞
解析
【分析】
比较带立方根的数的大小，可利用立方根的性质：立方根的大小与被开方数的大小变化趋势一致，即被开方数越大，对应的立方根也越大。第一组可先将整数7转化为三次根号的形式，再比较被开方数的大小；第二组直接比较两个被开方数的大小，即可得到对应立方根的大小关系。
【解析】
1. 比较$\sqrt[3]{340}$和7的大小：
先计算7的立方：$7^3=7×7×7=343$，因此$7=\sqrt[3]{343}$。
因为$340＜343$，根据立方根的性质，可得$\sqrt[3]{340}＜\sqrt[3]{343}$，即$\sqrt[3]{340}＜7$。
2. 比较$\sqrt[3]{-6}$和$\sqrt[3]{-7}$的大小：
因为被开方数$-6＞-7$，根据立方根的性质，可得$\sqrt[3]{-6}＞\sqrt[3]{-7}$。
【答案】
＜ ＞
【知识点】
立方根的性质；实数大小比较
【点评】
本题考查立方根性质的应用，解题的关键是掌握立方根随被开方数增大而增大的规律，也可通过计算立方的方式将立方根形式的数转化为整数后再比较大小，属于基础常考题。
【难度系数】
0.85
比较带立方根的数的大小，可利用立方根的性质：立方根的大小与被开方数的大小变化趋势一致，即被开方数越大，对应的立方根也越大。第一组可先将整数7转化为三次根号的形式，再比较被开方数的大小；第二组直接比较两个被开方数的大小，即可得到对应立方根的大小关系。
【解析】
1. 比较$\sqrt[3]{340}$和7的大小：
先计算7的立方：$7^3=7×7×7=343$，因此$7=\sqrt[3]{343}$。
因为$340＜343$，根据立方根的性质，可得$\sqrt[3]{340}＜\sqrt[3]{343}$，即$\sqrt[3]{340}＜7$。
2. 比较$\sqrt[3]{-6}$和$\sqrt[3]{-7}$的大小：
因为被开方数$-6＞-7$，根据立方根的性质，可得$\sqrt[3]{-6}＞\sqrt[3]{-7}$。
【答案】
＜ ＞
【知识点】
立方根的性质；实数大小比较
【点评】
本题考查立方根性质的应用，解题的关键是掌握立方根随被开方数增大而增大的规律，也可通过计算立方的方式将立方根形式的数转化为整数后再比较大小，属于基础常考题。
【难度系数】
0.85
6.已知$2x+7$的立方根是3，$x-5y$是25的算术平方根，$z$是$\sqrt{6}$的整数部分，则$x,y,z$的值分别为
x=10,y=1,z=2
。答案
x=10,y=1,z=2
解析
【分析】
解题时可根据题中给出的三个条件依次求解x、y、z的值：①先根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，据此列方程可求出x的值；②再根据算术平方根的定义，25的算术平方根是正的平方根即5，据此列出含x、y的等式，代入已求出的x值即可解出y；③最后估算√6的取值范围，找出它介于哪两个相邻整数之间，较小的整数就是√6的整数部分，即z的值。
【解析】
解：
1. 求x的值：
∵ $2x+7$的立方根是3，根据立方根的定义，若$\sqrt[3]{a}=b$，则$a=b^3$
∴ $2x+7=3^3=27$
移项计算得$2x=20$，解得$x=10$
2. 求y的值：
∵ $x-5y$是25的算术平方根，25的算术平方根为$\sqrt{25}=5$
∴ $x-5y=5$
把$x=10$代入得$10-5y=5$，移项计算得$-5y=-5$，解得$y=1$
3. 求z的值：
∵ $z$是$\sqrt{6}$的整数部分，且$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$
∴ $\sqrt{6}$的整数部分为2，即$z=2$
【答案】
x=10,y=1,z=2
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；无理数的估算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确掌握立方根、算术平方根的性质，以及无理数大小估算的方法，计算量小，只要概念清晰就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时可根据题中给出的三个条件依次求解x、y、z的值：①先根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，据此列方程可求出x的值；②再根据算术平方根的定义，25的算术平方根是正的平方根即5，据此列出含x、y的等式，代入已求出的x值即可解出y；③最后估算√6的取值范围，找出它介于哪两个相邻整数之间，较小的整数就是√6的整数部分，即z的值。
【解析】
解：
1. 求x的值：
∵ $2x+7$的立方根是3，根据立方根的定义，若$\sqrt[3]{a}=b$，则$a=b^3$
∴ $2x+7=3^3=27$
移项计算得$2x=20$，解得$x=10$
2. 求y的值：
∵ $x-5y$是25的算术平方根，25的算术平方根为$\sqrt{25}=5$
∴ $x-5y=5$
把$x=10$代入得$10-5y=5$，移项计算得$-5y=-5$，解得$y=1$
3. 求z的值：
∵ $z$是$\sqrt{6}$的整数部分，且$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$
∴ $\sqrt{6}$的整数部分为2，即$z=2$
【答案】
x=10,y=1,z=2
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；无理数的估算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确掌握立方根、算术平方根的性质，以及无理数大小估算的方法，计算量小，只要概念清晰就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
