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7.比较下列各组数的大小：
(1)$5\sqrt{6}$与$6\sqrt{5}$；
(2)$\frac{\sqrt{10}-3}{2}$与$\frac{1}{2}$。
(1)$5\sqrt{6}$与$6\sqrt{5}$；
(2)$\frac{\sqrt{10}-3}{2}$与$\frac{1}{2}$。
答案
(1)$5\sqrt{6}＜6\sqrt{5}$ (2)$\frac{\sqrt{10}-3}{2}＜\frac{1}{2}$
解析
【分析】
(1) 比较两个正的含二次根式的数的大小时，可采用平方法：正数的平方越大，原数越大，将根号去掉转化为整数大小比较，计算更简便。
(2) 两个分数分母相同且为正数时，只需比较分子的大小即可；可先估算$\sqrt{10}$的取值范围，再推导分子与1的大小关系，进而得到两个分数的大小关系。
【解析】
(1) 分别计算两个数的平方：
$(5\sqrt{6})^2=5^2×(\sqrt{6})^2=25×6=150$
$(6\sqrt{5})^2=6^2×(\sqrt{5})^2=36×5=180$
因为$150＜180$，且$5\sqrt{6}＞0$，$6\sqrt{5}＞0$，正数平方越大原数越大，所以$5\sqrt{6}＜6\sqrt{5}$。
(2) 两个分数分母均为2（正数），只需比较分子$\sqrt{10}-3$和1的大小：
因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
不等式两边同时减3得：$0＜\sqrt{10}-3＜1$，
分母相同的正数，分子越小分数越小，所以$\frac{\sqrt{10}-3}{2}＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$5\sqrt{6}＜6\sqrt{5}$ (2)$\frac{\sqrt{10}-3}{2}＜\frac{1}{2}$
【知识点】
实数大小比较，无理数估算
【点评】
本题主要考查带根式的实数大小比较技巧，平方法和估算是解决此类问题的常用方法，熟练掌握对应技巧可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 比较两个正的含二次根式的数的大小时，可采用平方法：正数的平方越大，原数越大，将根号去掉转化为整数大小比较，计算更简便。
(2) 两个分数分母相同且为正数时，只需比较分子的大小即可；可先估算$\sqrt{10}$的取值范围，再推导分子与1的大小关系，进而得到两个分数的大小关系。
【解析】
(1) 分别计算两个数的平方：
$(5\sqrt{6})^2=5^2×(\sqrt{6})^2=25×6=150$
$(6\sqrt{5})^2=6^2×(\sqrt{5})^2=36×5=180$
因为$150＜180$，且$5\sqrt{6}＞0$，$6\sqrt{5}＞0$，正数平方越大原数越大，所以$5\sqrt{6}＜6\sqrt{5}$。
(2) 两个分数分母均为2（正数），只需比较分子$\sqrt{10}-3$和1的大小：
因为$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$，
不等式两边同时减3得：$0＜\sqrt{10}-3＜1$，
分母相同的正数，分子越小分数越小，所以$\frac{\sqrt{10}-3}{2}＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$5\sqrt{6}＜6\sqrt{5}$ (2)$\frac{\sqrt{10}-3}{2}＜\frac{1}{2}$
【知识点】
实数大小比较，无理数估算
【点评】
本题主要考查带根式的实数大小比较技巧，平方法和估算是解决此类问题的常用方法，熟练掌握对应技巧可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.已知a是$\sqrt{250}$的整数部分，$b-1$是400的算术平方根，求$a+b$的平方根。
答案
$a=15,b=21,a+b$的平方根是$\pm6$。
解析
【分析】
要解决本题，可按三步思考：第一步先估算$\sqrt{250}$的取值范围，确定它的整数部分$a$的值；第二步根据算术平方根的定义求出$b$的值；第三步计算$a+b$的结果，再根据平方根的定义求出最终值，注意平方根有正负两个，不要遗漏。
【解析】
1. 求$a$的值：
已知$15^2=225$，$16^2=256$，且$225＜250＜256$，
因此$\sqrt{225}＜\sqrt{250}＜\sqrt{256}$，即$15＜\sqrt{250}＜16$，
所以$\sqrt{250}$的整数部分$a=15$。
2. 求$b$的值：
400的算术平方根为$\sqrt{400}=20$，
由题意得$b-1=20$，解得$b=21$。
3. 求$a+b$的平方根：
先计算$a+b=15+21=36$，
根据平方根的定义，36的平方根为$\pm\sqrt{36}=\pm6$。
【答案】
$\pm6$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的定义 3. 平方根的计算
【点评】
本题是基础概念类题型，解题核心是准确区分算术平方根和平方根的概念，估算无理数整数部分时要先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，求平方根时注意不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可按三步思考：第一步先估算$\sqrt{250}$的取值范围，确定它的整数部分$a$的值；第二步根据算术平方根的定义求出$b$的值；第三步计算$a+b$的结果，再根据平方根的定义求出最终值，注意平方根有正负两个，不要遗漏。
【解析】
1. 求$a$的值：
已知$15^2=225$，$16^2=256$，且$225＜250＜256$，
因此$\sqrt{225}＜\sqrt{250}＜\sqrt{256}$，即$15＜\sqrt{250}＜16$，
所以$\sqrt{250}$的整数部分$a=15$。
2. 求$b$的值：
400的算术平方根为$\sqrt{400}=20$，
由题意得$b-1=20$，解得$b=21$。
3. 求$a+b$的平方根：
先计算$a+b=15+21=36$，
根据平方根的定义，36的平方根为$\pm\sqrt{36}=\pm6$。
【答案】
$\pm6$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的定义 3. 平方根的计算
【点评】
本题是基础概念类题型，解题核心是准确区分算术平方根和平方根的概念，估算无理数整数部分时要先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，求平方根时注意不要遗漏负的结果。
【难度系数】
0.7
9.现有一块面积为$3000\ \mathrm{cm}^2$的长方形板材，长是宽的3倍，能否在这块长方形板材上截下三个直径均为30 cm的圆形材料？请说明理由。
答案
解:能,理由如下：
设长方形的宽为$a$,则长为$3a$。
根据题意,得$S=3a^2=3\ 000$,
解得$a=10\sqrt{10}$,则长为$30\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
因为$9＜10$,
所以$3＜\sqrt{10}$,
所以$10\sqrt{10}＞30,30\sqrt{10}＞90$,
所以能在这块长方形板材上截下三个直径均为30 cm的圆形材料。
设长方形的宽为$a$,则长为$3a$。
根据题意,得$S=3a^2=3\ 000$,
解得$a=10\sqrt{10}$,则长为$30\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
因为$9＜10$,
所以$3＜\sqrt{10}$,
所以$10\sqrt{10}＞30,30\sqrt{10}＞90$,
所以能在这块长方形板材上截下三个直径均为30 cm的圆形材料。
解析
【分析】
要判断能否截下三个指定直径的圆形，首先明确三个圆形并排摆放时，需要长方形板材的宽至少等于圆的直径30cm，长至少等于3个直径的和即90cm。解题思路如下：①先根据长方形面积公式和长宽的倍数关系，求出长方形实际的长和宽；②通过估算无理数的大小，将长方形的长宽与裁剪所需的最小尺寸对比；③根据对比结果得出结论。
【解析】
解：能，理由如下：
设长方形板材的宽为$a\ \mathrm{cm}$，则长为$3a\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式可得：$3a· a=3000$，即$3a^2=3000$，
化简得$a^2=1000$，因为长度为正数，所以$a=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$，
则长方形的长为$3a=30\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
因为$9＜10$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}$，即$3＜\sqrt{10}$，
因此$10\sqrt{10}＞10×3=30$，$30\sqrt{10}＞30×3=90$。
三个直径为30cm的圆形并排摆放时，需要板材宽至少30cm、长至少90cm，该长方形的长和宽均满足要求，所以可以截下。
【答案】
能，理由见上述解析。
【知识点】
1. 长方形面积计算
2. 算术平方根的应用
3. 无理数的估算
【点评】
本题结合实际裁剪场景考查代数计算与无理数估算，解题核心是先求出长方形的实际长宽，再明确裁剪所需的最小尺寸，通过大小比较得出结论，需要注意结合实际场景判断裁剪的尺寸要求。
【难度系数】
0.7
要判断能否截下三个指定直径的圆形，首先明确三个圆形并排摆放时，需要长方形板材的宽至少等于圆的直径30cm，长至少等于3个直径的和即90cm。解题思路如下：①先根据长方形面积公式和长宽的倍数关系，求出长方形实际的长和宽；②通过估算无理数的大小，将长方形的长宽与裁剪所需的最小尺寸对比；③根据对比结果得出结论。
【解析】
解：能，理由如下：
设长方形板材的宽为$a\ \mathrm{cm}$，则长为$3a\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式可得：$3a· a=3000$，即$3a^2=3000$，
化简得$a^2=1000$，因为长度为正数，所以$a=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$，
则长方形的长为$3a=30\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
因为$9＜10$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}$，即$3＜\sqrt{10}$，
因此$10\sqrt{10}＞10×3=30$，$30\sqrt{10}＞30×3=90$。
三个直径为30cm的圆形并排摆放时，需要板材宽至少30cm、长至少90cm，该长方形的长和宽均满足要求，所以可以截下。
【答案】
能，理由见上述解析。
【知识点】
1. 长方形面积计算
2. 算术平方根的应用
3. 无理数的估算
【点评】
本题结合实际裁剪场景考查代数计算与无理数估算，解题核心是先求出长方形的实际长宽，再明确裁剪所需的最小尺寸，通过大小比较得出结论，需要注意结合实际场景判断裁剪的尺寸要求。
【难度系数】
0.7
10. 因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，所以$\sqrt{7}$的整数部分为2，小数部分为$\sqrt{7}-2$。请观察上述式子的规律后解决下列问题：
(1) 规定用符号$[m]$表示数$m$的整数部分，例如：$[\frac{4}{5}]=0$，$[π]=3$，求$[\sqrt{10}+2]$，$[\sqrt{30}-2]$的值；
(2) 如果 $\sqrt{10} + 2$ 的小数部分为 $a$，$\sqrt{30}-2$的小数部分为 $b$，求$a+b$的值。
(1) 规定用符号$[m]$表示数$m$的整数部分，例如：$[\frac{4}{5}]=0$，$[π]=3$，求$[\sqrt{10}+2]$，$[\sqrt{30}-2]$的值；
(2) 如果 $\sqrt{10} + 2$ 的小数部分为 $a$，$\sqrt{30}-2$的小数部分为 $b$，求$a+b$的值。
答案
解:(1)$[\sqrt{10}+2]=5,[\sqrt{30}-2]=3$。
(2)由(1)知$a=\sqrt{10}-3,b=\sqrt{30}-5$,
所以$a+b=\sqrt{10}+\sqrt{30}-8$。
(2)由(1)知$a=\sqrt{10}-3,b=\sqrt{30}-5$,
所以$a+b=\sqrt{10}+\sqrt{30}-8$。
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先根据题目给出的$[m]$的定义，要确定带无理数的式子的整数部分，需先估算无理数的取值范围，再通过不等式的性质得到整个式子的取值范围，小于式子的最小整数就是它的整数部分。
2. 解决第(2)问：明确任意实数的小数部分=原数-它的整数部分，结合第(1)问得到的两个式子的整数部分，分别求出$a$和$b$的值，再相加化简即可得到结果。
【解析】
(1) 先估算$\sqrt{10}$的范围：
∵$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
不等式两边同时加2，得：$3+2＜\sqrt{10}+2＜4+2$，即$5＜\sqrt{10}+2＜6$
∴$\sqrt{10}+2$的整数部分是5，即$[\sqrt{10}+2]=5$
再估算$\sqrt{30}$的范围：
∵$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$
不等式两边同时减2，得：$5-2＜\sqrt{30}-2＜6-2$，即$3＜\sqrt{30}-2＜4$
∴$\sqrt{30}-2$的整数部分是3，即$[\sqrt{30}-2]=3$
(2) 由实数的整数部分和小数部分的关系可知：小数部分=原数-整数部分
$\sqrt{10}+2$的整数部分是5，因此它的小数部分$a=(\sqrt{10}+2)-5=\sqrt{10}-3$
$\sqrt{30}-2$的整数部分是3，因此它的小数部分$b=(\sqrt{30}-2)-3=\sqrt{30}-5$
将$a$、$b$代入$a+b$得：
$a+b=(\sqrt{10}-3)+(\sqrt{30}-5)=\sqrt{10}+\sqrt{30}-8$
【答案】
(1)$[\sqrt{10}+2]=5$，$[\sqrt{30}-2]=3$；
(2)$a+b=\sqrt{10}+\sqrt{30}-8$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 新定义运算
3. 实数的加减运算
【点评】
本题是新定义结合无理数估算的基础题，解题的核心是掌握利用相邻完全平方数估算无理数取值范围的方法，再结合“小数部分=原数-整数部分”的规律求解即可，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：首先根据题目给出的$[m]$的定义，要确定带无理数的式子的整数部分，需先估算无理数的取值范围，再通过不等式的性质得到整个式子的取值范围，小于式子的最小整数就是它的整数部分。
2. 解决第(2)问：明确任意实数的小数部分=原数-它的整数部分，结合第(1)问得到的两个式子的整数部分，分别求出$a$和$b$的值，再相加化简即可得到结果。
【解析】
(1) 先估算$\sqrt{10}$的范围：
∵$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
不等式两边同时加2，得：$3+2＜\sqrt{10}+2＜4+2$，即$5＜\sqrt{10}+2＜6$
∴$\sqrt{10}+2$的整数部分是5，即$[\sqrt{10}+2]=5$
再估算$\sqrt{30}$的范围：
∵$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$
不等式两边同时减2，得：$5-2＜\sqrt{30}-2＜6-2$，即$3＜\sqrt{30}-2＜4$
∴$\sqrt{30}-2$的整数部分是3，即$[\sqrt{30}-2]=3$
(2) 由实数的整数部分和小数部分的关系可知：小数部分=原数-整数部分
$\sqrt{10}+2$的整数部分是5，因此它的小数部分$a=(\sqrt{10}+2)-5=\sqrt{10}-3$
$\sqrt{30}-2$的整数部分是3，因此它的小数部分$b=(\sqrt{30}-2)-3=\sqrt{30}-5$
将$a$、$b$代入$a+b$得：
$a+b=(\sqrt{10}-3)+(\sqrt{30}-5)=\sqrt{10}+\sqrt{30}-8$
【答案】
(1)$[\sqrt{10}+2]=5$，$[\sqrt{30}-2]=3$；
(2)$a+b=\sqrt{10}+\sqrt{30}-8$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 新定义运算
3. 实数的加减运算
【点评】
本题是新定义结合无理数估算的基础题，解题的核心是掌握利用相邻完全平方数估算无理数取值范围的方法，再结合“小数部分=原数-整数部分”的规律求解即可，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.7
