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8. 求下列各式中的 $ x $:
(1)$8x^3 + 125 = 0$;
(2)$(x+3)^3 + 27 = 0$。
(1)$8x^3 + 125 = 0$;
(2)$(x+3)^3 + 27 = 0$。
答案
(1)$x=-\dfrac{5}{2}$ (2)$x=-6$
解析
【分析】
这两道题都是利用立方根的定义求解未知数的方程题，解题思路如下：①先通过等式的性质，将含未知数的三次项单独移到等式的一侧，常数项移到另一侧；②若三次项有系数，先系数化为1得到三次式的结果；③对等式两边同时开立方，第二题可将(x+3)看作整体先求值，再计算x的结果。
【解析】
(1) 对$8x^3 + 125 = 0$求解：
移项，得：$8x^3 = -125$
系数化为1，得：$x^3 = -\dfrac{125}{8}$
两边同时开立方，得：$x = \sqrt[3]{-\dfrac{125}{8}} = -\dfrac{5}{2}$
(2) 对$(x+3)^3 + 27 = 0$求解：
移项，得：$(x+3)^3 = -27$
两边同时开立方，得：$x+3 = \sqrt[3]{-27} = -3$
移项计算，得：$x = -3 - 3 = -6$
【答案】
(1)$x=-\dfrac{5}{2}$ (2)$x=-6$
【知识点】
1. 立方根的运算 2. 等式的基本性质 3. 整体思想
【点评】
本题为基础运算题，核心考查立方根的计算方法，解题时要注意先分离含未知数的三次项，再开立方求解，计算时注意负数的立方根仍为负数，避免符号出错，第二题运用整体思想可简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
这两道题都是利用立方根的定义求解未知数的方程题，解题思路如下：①先通过等式的性质，将含未知数的三次项单独移到等式的一侧，常数项移到另一侧；②若三次项有系数，先系数化为1得到三次式的结果；③对等式两边同时开立方，第二题可将(x+3)看作整体先求值，再计算x的结果。
【解析】
(1) 对$8x^3 + 125 = 0$求解：
移项，得：$8x^3 = -125$
系数化为1，得：$x^3 = -\dfrac{125}{8}$
两边同时开立方，得：$x = \sqrt[3]{-\dfrac{125}{8}} = -\dfrac{5}{2}$
(2) 对$(x+3)^3 + 27 = 0$求解：
移项，得：$(x+3)^3 = -27$
两边同时开立方，得：$x+3 = \sqrt[3]{-27} = -3$
移项计算，得：$x = -3 - 3 = -6$
【答案】
(1)$x=-\dfrac{5}{2}$ (2)$x=-6$
【知识点】
1. 立方根的运算 2. 等式的基本性质 3. 整体思想
【点评】
本题为基础运算题，核心考查立方根的计算方法，解题时要注意先分离含未知数的三次项，再开立方求解，计算时注意负数的立方根仍为负数，避免符号出错，第二题运用整体思想可简化计算步骤。
【难度系数】
0.8
9.已知正数x的两个不同的平方根分别是a+3和2a-15，且$\sqrt[3]{x+y-2}=4$，求x-2y+2的值。
答案
解:因为正数$x$的两个不同的平方根分别是$a+3$和$2a-15$，
所以$a+3+2a-15=0$，
解得$a=4$。
所以$x=(a+3)^2=49$。
因为$\sqrt[3]{x+y-2}=4$，
所以$49+y-2=64$，
解得$y=17$。
即$x=49,y=17$，
所以$x-2y+2=49-2×17+2$
$=49-34+2=17$。
所以$a+3+2a-15=0$，
解得$a=4$。
所以$x=(a+3)^2=49$。
因为$\sqrt[3]{x+y-2}=4$，
所以$49+y-2=64$，
解得$y=17$。
即$x=49,y=17$，
所以$x-2y+2=49-2×17+2$
$=49-34+2=17$。
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个不同平方根互为相反数，因此我们可以先根据这个性质列出关于a的一元一次方程，求出a的值后就能计算得到x的值；接下来根据立方根的定义，若一个数的立方根是4，那么这个数等于4的立方，据此列出关于x和y的等式，代入已经求出的x就能算出y的值；最后把x和y的值代入x-2y+2中计算即可得到结果。
【解析】
因为正数x的两个不同的平方根分别是$a+3$和$2a-15$，根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$a+3+2a-15=0$
合并同类项得$3a-12=0$，解得$a=4$。
所以$x=(a+3)^2=(4+3)^2=7^2=49$。
又因为$\sqrt[3]{x+y-2}=4$，根据立方根的定义，被开方数等于立方根的立方，可得：
$x+y-2=4^3=64$
把$x=49$代入得：$49+y-2=64$
解得$y=17$。
将$x=49$，$y=17$代入$x-2y+2$得：
$x-2y+2=49-2×17+2=49-34+2=17$
【答案】
17
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是平方根与立方根性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握正数平方根互为相反数的性质，以及立方根和被开方数的对应关系，计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个不同平方根互为相反数，因此我们可以先根据这个性质列出关于a的一元一次方程，求出a的值后就能计算得到x的值；接下来根据立方根的定义，若一个数的立方根是4，那么这个数等于4的立方，据此列出关于x和y的等式，代入已经求出的x就能算出y的值；最后把x和y的值代入x-2y+2中计算即可得到结果。
【解析】
因为正数x的两个不同的平方根分别是$a+3$和$2a-15$，根据正数的两个平方根互为相反数，可得：
$a+3+2a-15=0$
合并同类项得$3a-12=0$，解得$a=4$。
所以$x=(a+3)^2=(4+3)^2=7^2=49$。
又因为$\sqrt[3]{x+y-2}=4$，根据立方根的定义，被开方数等于立方根的立方，可得：
$x+y-2=4^3=64$
把$x=49$代入得：$49+y-2=64$
解得$y=17$。
将$x=49$，$y=17$代入$x-2y+2$得：
$x-2y+2=49-2×17+2=49-34+2=17$
【答案】
17
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题是平方根与立方根性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握正数平方根互为相反数的性质，以及立方根和被开方数的对应关系，计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
10. 请运用所学知识完成下表：
(1)观察上表，当已知数$a$的小数点向右(或向左)移动时，它的立方根的小数点的移动规律是怎样的？写出你发现的规律。
(2)运用你发现的规律解决下列问题：
已知$\sqrt[3]{5.250}\approx1.738$，求：①$\sqrt[3]{0.00525}$；②$\sqrt[3]{5250000}$。
(1)观察上表，当已知数$a$的小数点向右(或向左)移动时，它的立方根的小数点的移动规律是怎样的？写出你发现的规律。
(2)运用你发现的规律解决下列问题：
已知$\sqrt[3]{5.250}\approx1.738$，求：①$\sqrt[3]{0.00525}$；②$\sqrt[3]{5250000}$。
答案
0.01 0.1 1 10 100
(1)当已知数$a$(被开方数)的小数点向右(或向左)移动三位时，它的立方根的小数点向右(或向左)移动一位。
(2)①$0.1738$ ②$173.8$
(1)当已知数$a$(被开方数)的小数点向右(或向左)移动三位时，它的立方根的小数点向右(或向左)移动一位。
(2)①$0.1738$ ②$173.8$
解析
【分析】
首先根据立方根的定义计算出表格中各个$a$对应的立方根，完成表格填写；再观察表格中被开方数$a$的小数点移动位数和对应立方根的小数点移动位数，总结出移动规律；最后结合总结的规律，对比所求式子的被开方数和已知被开方数的小数点移动情况，对应推导得到立方根的结果即可。
【解析】
首先填写表格：
根据立方根的定义计算：
1. 因为$0.01^3=0.000001$，所以$\sqrt[3]{0.000001}=0.01$
2. 因为$0.1^3=0.001$，所以$\sqrt[3]{0.001}=0.1$
3. 因为$1^3=1$，所以$\sqrt[3]{1}=1$
4. 因为$10^3=1000$，所以$\sqrt[3]{1000}=10$
5. 因为$100^3=1000000$，所以$\sqrt[3]{1000000}=100$
(1) 观察表格数据可得：
被开方数$a$的小数点每向左/向右移动3位，对应立方根的小数点会同方向移动1位，因此总结规律：当被开方数$a$的小数点向右（或向左）移动三位时，它的立方根的小数点相应向右（或向左）移动一位。
(2) 运用规律计算：
① 已知$\sqrt[3]{5.250}\approx1.738$，$0.00525$是将5.250的小数点向左移动3位得到的，因此它的立方根需将1.738的小数点向左移动1位，即$\sqrt[3]{0.00525}\approx0.1738$。
② $5250000$是将5.250的小数点向右移动6位（即2次3位）得到的，因此它的立方根需将1.738的小数点向右移动2位，即$\sqrt[3]{5250000}\approx173.8$。
【答案】
表格依次填：0.01、0.1、1、10、100；
(1) 当已知数$a$（被开方数）的小数点向右（或向左）移动三位时，它的立方根的小数点向右（或向左）移动一位；
(2) ①$0.1738$；②$173.8$。
【知识点】
立方根的计算，立方根变化规律，规律探究应用
【点评】
本题结合立方根的计算考查规律探究与应用能力，需要先通过计算归纳出被开方数和立方根的小数点移动规律，再运用规律解决问题，能有效锻炼观察归纳能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
首先根据立方根的定义计算出表格中各个$a$对应的立方根，完成表格填写；再观察表格中被开方数$a$的小数点移动位数和对应立方根的小数点移动位数，总结出移动规律；最后结合总结的规律，对比所求式子的被开方数和已知被开方数的小数点移动情况，对应推导得到立方根的结果即可。
【解析】
首先填写表格：
根据立方根的定义计算：
1. 因为$0.01^3=0.000001$，所以$\sqrt[3]{0.000001}=0.01$
2. 因为$0.1^3=0.001$，所以$\sqrt[3]{0.001}=0.1$
3. 因为$1^3=1$，所以$\sqrt[3]{1}=1$
4. 因为$10^3=1000$，所以$\sqrt[3]{1000}=10$
5. 因为$100^3=1000000$，所以$\sqrt[3]{1000000}=100$
(1) 观察表格数据可得：
被开方数$a$的小数点每向左/向右移动3位，对应立方根的小数点会同方向移动1位，因此总结规律：当被开方数$a$的小数点向右（或向左）移动三位时，它的立方根的小数点相应向右（或向左）移动一位。
(2) 运用规律计算：
① 已知$\sqrt[3]{5.250}\approx1.738$，$0.00525$是将5.250的小数点向左移动3位得到的，因此它的立方根需将1.738的小数点向左移动1位，即$\sqrt[3]{0.00525}\approx0.1738$。
② $5250000$是将5.250的小数点向右移动6位（即2次3位）得到的，因此它的立方根需将1.738的小数点向右移动2位，即$\sqrt[3]{5250000}\approx173.8$。
【答案】
表格依次填：0.01、0.1、1、10、100；
(1) 当已知数$a$（被开方数）的小数点向右（或向左）移动三位时，它的立方根的小数点向右（或向左）移动一位；
(2) ①$0.1738$；②$173.8$。
【知识点】
立方根的计算，立方根变化规律，规律探究应用
【点评】
本题结合立方根的计算考查规律探究与应用能力，需要先通过计算归纳出被开方数和立方根的小数点移动规律，再运用规律解决问题，能有效锻炼观察归纳能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
