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6. 利用等式的性质解下列方程：
(1)$6 - \frac{1}{2}x = 3 - x$；
(2)$9x + 4 = 7x - 3$。
(1)$6 - \frac{1}{2}x = 3 - x$；
(2)$9x + 4 = 7x - 3$。
答案
(1) $x=-6$
(2) $x=-\frac{7}{2}$
(2) $x=-\frac{7}{2}$
解析
【分析】
解这类方程的核心是利用等式的性质将方程逐步变形为$x=a$（常数）的形式。解题思路为：首先利用等式性质1，等式两边同时加或减同一个数/整式，将含未知数$x$的项整理到等式一侧，常数项整理到另一侧；再利用等式性质2，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$6 - \frac{1}{2}x = 3 - x$：
第一步，根据等式性质1，等式两边同时加$x$，得：
$6 - \frac{1}{2}x + x = 3 - x + x$，化简得$6 + \frac{1}{2}x = 3$
第二步，根据等式性质1，等式两边同时减6，得：
$6 + \frac{1}{2}x - 6 = 3 - 6$，化简得$\frac{1}{2}x = -3$
第三步，根据等式性质2，等式两边同时乘2，得：
$x = -6$
(2) 解方程$9x + 4 = 7x - 3$：
第一步，根据等式性质1，等式两边同时减$7x$，得：
$9x + 4 - 7x = 7x - 3 - 7x$，化简得$2x + 4 = -3$
第二步，根据等式性质1，等式两边同时减4，得：
$2x + 4 - 4 = -3 - 4$，化简得$2x = -7$
第三步，根据等式性质2，等式两边同时除以2，得：
$x = -\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $x=-6$；(2) $x=-\frac{7}{2}$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是利用等式性质解方程的基础题型，解题的关键是熟练掌握等式的两条性质，变形时注意每一步都要保证等式仍然成立，计算时注意符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解这类方程的核心是利用等式的性质将方程逐步变形为$x=a$（常数）的形式。解题思路为：首先利用等式性质1，等式两边同时加或减同一个数/整式，将含未知数$x$的项整理到等式一侧，常数项整理到另一侧；再利用等式性质2，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$6 - \frac{1}{2}x = 3 - x$：
第一步，根据等式性质1，等式两边同时加$x$，得：
$6 - \frac{1}{2}x + x = 3 - x + x$，化简得$6 + \frac{1}{2}x = 3$
第二步，根据等式性质1，等式两边同时减6，得：
$6 + \frac{1}{2}x - 6 = 3 - 6$，化简得$\frac{1}{2}x = -3$
第三步，根据等式性质2，等式两边同时乘2，得：
$x = -6$
(2) 解方程$9x + 4 = 7x - 3$：
第一步，根据等式性质1，等式两边同时减$7x$，得：
$9x + 4 - 7x = 7x - 3 - 7x$，化简得$2x + 4 = -3$
第二步，根据等式性质1，等式两边同时减4，得：
$2x + 4 - 4 = -3 - 4$，化简得$2x = -7$
第三步，根据等式性质2，等式两边同时除以2，得：
$x = -\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $x=-6$；(2) $x=-\frac{7}{2}$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是利用等式性质解方程的基础题型，解题的关键是熟练掌握等式的两条性质，变形时注意每一步都要保证等式仍然成立，计算时注意符号变化，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
1. 下列各组里两个方程的解相同的是(
A.方程 $5x+3=6$ 与方程 $2x=4$
B.方程 $3x=x+1$ 与方程 $2x=4x-1$
C.方程 $x+\frac{1}{2}=0$ 与方程 $\frac{x+1}{2}=0$
D.方程 $6x+1=15x-1$ 与方程 $6x-15x=3$
B
).A.方程 $5x+3=6$ 与方程 $2x=4$
B.方程 $3x=x+1$ 与方程 $2x=4x-1$
C.方程 $x+\frac{1}{2}=0$ 与方程 $\frac{x+1}{2}=0$
D.方程 $6x+1=15x-1$ 与方程 $6x-15x=3$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断两个方程的解是否相同，只需依据等式的性质分别求出每组中两个一元一次方程的解，再对比两个解是否相等即可，解相等的选项即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析每个选项：
选项A
解方程$5x+3=6$：
根据等式性质1，两边同时减3，得$5x=3$，
根据等式性质2，两边同时除以5，得$x=\frac{3}{5}$；
解方程$2x=4$：
根据等式性质2，两边同时除以2，得$x=2$。
两个解不相等，A不符合要求。
选项B
解方程$3x=x+1$：
根据等式性质1，两边同时减$x$，得$2x=1$，
根据等式性质2，两边同时除以2，得$x=\frac{1}{2}$；
解方程$2x=4x-1$：
根据等式性质1，两边同时减$4x$，得$-2x=-1$，
根据等式性质2，两边同时除以$-2$，得$x=\frac{1}{2}$。
两个解相等，B符合要求。
选项C
解方程$x+\frac{1}{2}=0$：
根据等式性质1，两边同时减$\frac{1}{2}$，得$x=-\frac{1}{2}$；
解方程$\frac{x+1}{2}=0$：
根据等式性质2，两边同时乘2，得$x+1=0$，
根据等式性质1，两边同时减1，得$x=-1$。
两个解不相等，C不符合要求。
选项D
解方程$6x+1=15x-1$：
根据等式性质1，两边同时减$15x$、减1，得$-9x=-2$，
根据等式性质2，两边同时除以$-9$，得$x=\frac{2}{9}$；
解方程$6x-15x=3$：
合并同类项得$-9x=3$，
根据等式性质2，两边同时除以$-9$，得$x=-\frac{1}{3}$。
两个解不相等，D不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的性质；2. 解一元一次方程；3. 方程的解
【点评】
本题是基础考查题，核心检验对等式性质的运用能力和一元一次方程的求解准确度，只要严格按照解方程的步骤仔细运算，就能顺利选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断两个方程的解是否相同，只需依据等式的性质分别求出每组中两个一元一次方程的解，再对比两个解是否相等即可，解相等的选项即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析每个选项：
选项A
解方程$5x+3=6$：
根据等式性质1，两边同时减3，得$5x=3$，
根据等式性质2，两边同时除以5，得$x=\frac{3}{5}$；
解方程$2x=4$：
根据等式性质2，两边同时除以2，得$x=2$。
两个解不相等，A不符合要求。
选项B
解方程$3x=x+1$：
根据等式性质1，两边同时减$x$，得$2x=1$，
根据等式性质2，两边同时除以2，得$x=\frac{1}{2}$；
解方程$2x=4x-1$：
根据等式性质1，两边同时减$4x$，得$-2x=-1$，
根据等式性质2，两边同时除以$-2$，得$x=\frac{1}{2}$。
两个解相等，B符合要求。
选项C
解方程$x+\frac{1}{2}=0$：
根据等式性质1，两边同时减$\frac{1}{2}$，得$x=-\frac{1}{2}$；
解方程$\frac{x+1}{2}=0$：
根据等式性质2，两边同时乘2，得$x+1=0$，
根据等式性质1，两边同时减1，得$x=-1$。
两个解不相等，C不符合要求。
选项D
解方程$6x+1=15x-1$：
根据等式性质1，两边同时减$15x$、减1，得$-9x=-2$，
根据等式性质2，两边同时除以$-9$，得$x=\frac{2}{9}$；
解方程$6x-15x=3$：
合并同类项得$-9x=3$，
根据等式性质2，两边同时除以$-9$，得$x=-\frac{1}{3}$。
两个解不相等，D不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的性质；2. 解一元一次方程；3. 方程的解
【点评】
本题是基础考查题，核心检验对等式性质的运用能力和一元一次方程的求解准确度，只要严格按照解方程的步骤仔细运算，就能顺利选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 如图，下列四个天平中，相同形状的物体的重量是相等的，其中第①个天平是平衡的. 根据第①个天平，判断后三个天平中平衡的是
第2题
②③
. 第2题答案
2. ②③
解析
【分析】
解题时先从已知平衡的第①个天平入手，推导球和圆柱的重量关系，再用该关系逐一验证其余三个天平是否平衡。首先设球的重量为x、圆柱的重量为y，根据天平平衡列等式，再用等式的性质化简得到两种物体的重量等量关系，最后代入其余天平左右两边比较是否相等即可。
【解析】
设1个球的重量为$x$，1个圆柱的重量为$y$。
根据第①个天平平衡，可得等式：$2x + y = 5y$
根据等式的性质1，两边同时减去$y$，得：$2x = 4y$
再根据等式的性质2，两边同时除以2，得：$x = 2y$，即1个球的重量等于2个圆柱的重量。
分别验证后三个天平：
1. 天平②：左边重量为$2x$，右边重量为$4y$。代入$x=2y$可得$2x=2×2y=4y$，左边=右边，故天平②平衡。
2. 天平③：左边重量为$x$，右边重量为$2y$，已知$x=2y$，左边=右边，故天平③平衡。
3. 天平④：左边重量为$2x=4y$，右边重量为$2y$，$4y≠2y$，左边≠右边，故天平④不平衡。
【答案】
②③
【知识点】
等式的性质，等量代换
【点评】
本题是等式性质在实际场景中的典型应用，解题核心是先通过已知平衡关系推导不同物体的重量等量关系，再用该关系验证其他平衡情况，能够锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知平衡的第①个天平入手，推导球和圆柱的重量关系，再用该关系逐一验证其余三个天平是否平衡。首先设球的重量为x、圆柱的重量为y，根据天平平衡列等式，再用等式的性质化简得到两种物体的重量等量关系，最后代入其余天平左右两边比较是否相等即可。
【解析】
设1个球的重量为$x$，1个圆柱的重量为$y$。
根据第①个天平平衡，可得等式：$2x + y = 5y$
根据等式的性质1，两边同时减去$y$，得：$2x = 4y$
再根据等式的性质2，两边同时除以2，得：$x = 2y$，即1个球的重量等于2个圆柱的重量。
分别验证后三个天平：
1. 天平②：左边重量为$2x$，右边重量为$4y$。代入$x=2y$可得$2x=2×2y=4y$，左边=右边，故天平②平衡。
2. 天平③：左边重量为$x$，右边重量为$2y$，已知$x=2y$，左边=右边，故天平③平衡。
3. 天平④：左边重量为$2x=4y$，右边重量为$2y$，$4y≠2y$，左边≠右边，故天平④不平衡。
【答案】
②③
【知识点】
等式的性质，等量代换
【点评】
本题是等式性质在实际场景中的典型应用，解题核心是先通过已知平衡关系推导不同物体的重量等量关系，再用该关系验证其他平衡情况，能够锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.8
3. 有四个大小完全相同的小长方形和两个大小完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放. 已知小长方形纸片的长为$a$，宽为$b$，且$a ＞ b$. 则$a - b =$ 
$\frac{m-n}{2}$
（用含$m$，$n$的式子表示）. 答案
3. $\frac{m-n}{2}$
解析
【分析】
解题的关键是找到图中隐藏的等量关系，我们可以先设大长方形的竖直高度为h，分别观察左右两部分的总高度：左边从最底部到上方竖放小长方形顶端的高度，可以用两种方式表示，一种是下方横放小长方形的宽b加上标注长度m，另一种是大长方形的高度h加上小长方形的长a，据此列第一个等式；右边从最底部到上方横放小长方形顶端的高度，也可以用两种方式表示，一种是下方竖放小长方形的长a加上标注长度n，另一种是大长方形的高度h加上小长方形的宽b，据此列第二个等式，联立两个等式消去h，再通过等式的性质变形就能求出a-b的表达式。
【解析】
设大长方形的竖直高度为h。
观察左侧图形可得：$b + m = h + a$ ①
观察右侧图形可得：$a + n = h + b$ ②
由①得：$h = m + b - a$
由②得：$h = a + n - b$
所以$m + b - a = a + n - b$
移项，得：$m - n = 2a - 2b$
两边同时除以2，得：$a - b = \frac{m - n}{2}$
【答案】
$\frac{m-n}{2}$
【知识点】
等式的性质，列等量关系，代数式化简
【点评】
本题需要结合图形梳理各边长的数量关系，通过设中间量消元的方法求解，能有效锻炼学生的识图能力和对等式性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题的关键是找到图中隐藏的等量关系，我们可以先设大长方形的竖直高度为h，分别观察左右两部分的总高度：左边从最底部到上方竖放小长方形顶端的高度，可以用两种方式表示，一种是下方横放小长方形的宽b加上标注长度m，另一种是大长方形的高度h加上小长方形的长a，据此列第一个等式；右边从最底部到上方横放小长方形顶端的高度，也可以用两种方式表示，一种是下方竖放小长方形的长a加上标注长度n，另一种是大长方形的高度h加上小长方形的宽b，据此列第二个等式，联立两个等式消去h，再通过等式的性质变形就能求出a-b的表达式。
【解析】
设大长方形的竖直高度为h。
观察左侧图形可得：$b + m = h + a$ ①
观察右侧图形可得：$a + n = h + b$ ②
由①得：$h = m + b - a$
由②得：$h = a + n - b$
所以$m + b - a = a + n - b$
移项，得：$m - n = 2a - 2b$
两边同时除以2，得：$a - b = \frac{m - n}{2}$
【答案】
$\frac{m-n}{2}$
【知识点】
等式的性质，列等量关系，代数式化简
【点评】
本题需要结合图形梳理各边长的数量关系，通过设中间量消元的方法求解，能有效锻炼学生的识图能力和对等式性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
4. 已知“$□ -7=△ +3$”，其中$□$和$△$分别表示一个实数.
(1)若$□$表示的数是 3，求$△$表示的数；
(2)若$□$和$△$表示的数互为相反数，求$□$和$△$分别表示的数；
(3)当$□$和$△$分别取不同的值时，在$□$与$△$的$+$，$-$，$×$，$÷$四种运算中，哪种运算的结果一定不会发生变化，请说明理由.
(1)若$□$表示的数是 3，求$△$表示的数；
(2)若$□$和$△$表示的数互为相反数，求$□$和$△$分别表示的数；
(3)当$□$和$△$分别取不同的值时，在$□$与$△$的$+$，$-$，$×$，$÷$四种运算中，哪种运算的结果一定不会发生变化，请说明理由.
答案
(1) $△=-7$
(2) $□=5$，$△=-5$
(3) 因为$□-7=△+3$，所以$□-△=3+7=10$. 所以减法运算的结果一定不会发生变化.
(2) $□=5$，$△=-5$
(3) 因为$□-7=△+3$，所以$□-△=3+7=10$. 所以减法运算的结果一定不会发生变化.
解析
【分析】
(1) 第一问已知的取值，直接将=3代入给定等式，再利用等式的性质求解△的数值即可。
(2) 第二问根据相反数的定义可得=-△，将该关系代入原等式，转化为仅含△的一元一次方程，求解后再计算的取值即可。
(3) 第三问先对原等式做移项变形，分别推导与△的和、差、积、商的结果，判断哪一个是固定不变的常数，即可确定对应的运算。
【解析】
(1) 把$□=3$代入等式$□ -7=△ +3$，可得：
$\quad3-7=△ +3$
计算左侧得：$-4=△ +3$
等式两边同时减去3，解得：$△=-4-3=-7$
(2) 因为$□$和$△$互为相反数，所以$□=-△$
将$□=-△$代入原等式，可得：
$\quad-△ -7=△ +3$
移项合并同类项得：$-2△=10$
系数化为1得：$△=-5$
因此$□=-△=5$
(3) 对原等式$□ -7=△ +3$移项，将含$△$的项移到左侧，常数项移到右侧，可得：
$\quad□ -△=3+7=10$
即无论$□$和$△$取何满足等式的数值，二者的差恒为10，因此减法运算的结果一定不变。
【答案】
(1) $△=-7$
(2) $□=5$，$△=-5$
(3) 减法运算的结果一定不会发生变化，理由：由$□ -7=△ +3$可得$□ -△=10$，为定值，故减法结果不变。
【知识点】
1. 等式的性质
2. 相反数的定义
3. 代数式化简
【点评】
本题围绕等式性质设计分层问题，既考查了基础的一元一次方程求解能力，也考查了对相反数概念的理解和代数式变形分析的能力，侧重基础运算和逻辑推导能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知的取值，直接将=3代入给定等式，再利用等式的性质求解△的数值即可。
(2) 第二问根据相反数的定义可得=-△，将该关系代入原等式，转化为仅含△的一元一次方程，求解后再计算的取值即可。
(3) 第三问先对原等式做移项变形，分别推导与△的和、差、积、商的结果，判断哪一个是固定不变的常数，即可确定对应的运算。
【解析】
(1) 把$□=3$代入等式$□ -7=△ +3$，可得：
$\quad3-7=△ +3$
计算左侧得：$-4=△ +3$
等式两边同时减去3，解得：$△=-4-3=-7$
(2) 因为$□$和$△$互为相反数，所以$□=-△$
将$□=-△$代入原等式，可得：
$\quad-△ -7=△ +3$
移项合并同类项得：$-2△=10$
系数化为1得：$△=-5$
因此$□=-△=5$
(3) 对原等式$□ -7=△ +3$移项，将含$△$的项移到左侧，常数项移到右侧，可得：
$\quad□ -△=3+7=10$
即无论$□$和$△$取何满足等式的数值，二者的差恒为10，因此减法运算的结果一定不变。
【答案】
(1) $△=-7$
(2) $□=5$，$△=-5$
(3) 减法运算的结果一定不会发生变化，理由：由$□ -7=△ +3$可得$□ -△=10$，为定值，故减法结果不变。
【知识点】
1. 等式的性质
2. 相反数的定义
3. 代数式化简
【点评】
本题围绕等式性质设计分层问题，既考查了基础的一元一次方程求解能力，也考查了对相反数概念的理解和代数式变形分析的能力，侧重基础运算和逻辑推导能力的考查。
【难度系数】
0.7
