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6. 如图,长为10 cm,宽为8 cm的长方形内部有一不规则图案(图中阴影部分),数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少,进行了计算机模拟试验,通过计算机随机投放一个点,并记录该点落在不规则图案上的次数(点在界线上不计入试验结果),得到如下数据:
由此可估计不规则图案的面积大约为 (
A.$32\ \mathrm{cm}^2$
B.$24\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\ \mathrm{cm}^2$
由此可估计不规则图案的面积大约为 (
B
)A.$32\ \mathrm{cm}^2$
B.$24\ \mathrm{cm}^2$
C.$16\ \mathrm{cm}^2$
D.$8\ \mathrm{cm}^2$
答案
6. B
解析
【分析】
本题考查用频率估计概率结合几何概率的应用，解题思路如下：①先计算长方形的总面积，明确几何概率中，点落在阴影部分的概率等于阴影面积与长方形总面积的比值；②观察模拟试验数据，当试验次数足够多时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为点落在阴影部分概率的估计值；③将概率估计值和长方形总面积代入几何概率公式，变形计算即可得到不规则图案的近似面积。
【解析】
首先计算长方形的总面积：
$S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = 10 × 8 = 80\ \mathrm{cm}^2$
观察大量重复模拟试验的结果，可知点落在不规则图案上的频率逐渐稳定在0.3附近，根据频率估计概率的原理，可估计点落在不规则图案上的概率约为0.3。
由几何概率的计算公式可得：$P(\mathrm{点落在阴影})=\frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{长方形}}}$
变形得：$S_{\mathrm{阴影}} = P(\mathrm{点落在阴影}) × S_{\mathrm{长方形}} = 0.3 × 80 = 24\ \mathrm{cm}^2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；几何概率计算
【点评】
本题属于概率的基础应用类题目，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，结合面积比对应概率的几何概率特点即可求解，需要注意只有当试验次数足够多时，才能用频率估计概率。
【难度系数】
0.7
本题考查用频率估计概率结合几何概率的应用，解题思路如下：①先计算长方形的总面积，明确几何概率中，点落在阴影部分的概率等于阴影面积与长方形总面积的比值；②观察模拟试验数据，当试验次数足够多时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为点落在阴影部分概率的估计值；③将概率估计值和长方形总面积代入几何概率公式，变形计算即可得到不规则图案的近似面积。
【解析】
首先计算长方形的总面积：
$S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = 10 × 8 = 80\ \mathrm{cm}^2$
观察大量重复模拟试验的结果，可知点落在不规则图案上的频率逐渐稳定在0.3附近，根据频率估计概率的原理，可估计点落在不规则图案上的概率约为0.3。
由几何概率的计算公式可得：$P(\mathrm{点落在阴影})=\frac{S_{\mathrm{阴影}}}{S_{\mathrm{长方形}}}$
变形得：$S_{\mathrm{阴影}} = P(\mathrm{点落在阴影}) × S_{\mathrm{长方形}} = 0.3 × 80 = 24\ \mathrm{cm}^2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；几何概率计算
【点评】
本题属于概率的基础应用类题目，核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，结合面积比对应概率的几何概率特点即可求解，需要注意只有当试验次数足够多时，才能用频率估计概率。
【难度系数】
0.7
7.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出如图所示统计图，则符合这一结果的实验可能是（
A.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
C.抛一枚硬币，正面朝上的概率
D.任意写一个整数，它能被2整除的概率
B
）A.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
C.抛一枚硬币，正面朝上的概率
D.任意写一个整数，它能被2整除的概率
答案
7. B
解析
【分析】
解决本题的核心是利用“大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在概率附近”的规律：第一步先观察折线统计图，可发现随着试验次数增加，该结果的频率稳定在约33%（即$\frac{1}{3}$）附近，说明对应事件的概率约为$\frac{1}{3}$；第二步分别计算四个选项中事件的理论概率，和$\frac{1}{3}$一致的即为正确答案。
【解析】
观察统计图可知，随着试验次数增多，频率稳定在$\frac{1}{3}$左右，即该事件的概率约为$\frac{1}{3}$：
选项A：掷一枚正六面体骰子，出现1点的概率为$\frac{1}{6}\approx16.7\%$，与稳定频率不符，排除；
选项B：袋子中共有$2+1=3$个球，取到红球的概率为$\frac{1}{3}\approx33.3\%$，与稳定频率一致，符合要求；
选项C：抛一枚硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=50\%$，与稳定频率不符，排除；
选项D：任意整数不是奇数就是偶数，能被2整除的概率为$\frac{1}{2}=50\%$，与稳定频率不符，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算
【点评】
本题结合折线统计图考查频率与概率的关系，解题的关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率，再结合简单概率的计算方法即可快速得出答案，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用“大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在概率附近”的规律：第一步先观察折线统计图，可发现随着试验次数增加，该结果的频率稳定在约33%（即$\frac{1}{3}$）附近，说明对应事件的概率约为$\frac{1}{3}$；第二步分别计算四个选项中事件的理论概率，和$\frac{1}{3}$一致的即为正确答案。
【解析】
观察统计图可知，随着试验次数增多，频率稳定在$\frac{1}{3}$左右，即该事件的概率约为$\frac{1}{3}$：
选项A：掷一枚正六面体骰子，出现1点的概率为$\frac{1}{6}\approx16.7\%$，与稳定频率不符，排除；
选项B：袋子中共有$2+1=3$个球，取到红球的概率为$\frac{1}{3}\approx33.3\%$，与稳定频率一致，符合要求；
选项C：抛一枚硬币，正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=50\%$，与稳定频率不符，排除；
选项D：任意整数不是奇数就是偶数，能被2整除的概率为$\frac{1}{2}=50\%$，与稳定频率不符，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算
【点评】
本题结合折线统计图考查频率与概率的关系，解题的关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率，再结合简单概率的计算方法即可快速得出答案，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 为比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池。一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是
甲
（填“甲”或“乙”）鱼池。答案
8. 甲
解析
【分析】
本题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路如下：首先明确标记重捕法的原理：将带标记的鱼苗放回鱼池均匀混合后，再次捕捞时，带标记鱼苗的频率近似等于带标记鱼苗在总鱼苗数中的占比。由于两个鱼池最初标记的鱼苗数量相同，因此捕捞到的带标记鱼苗的频率越低，说明该鱼池的总鱼苗数越多。我们可以通过列等式分别估算两个鱼池的总鱼苗数，再比较大小即可。
【解析】
设甲鱼池总鱼苗数约为$x$条，乙鱼池总鱼苗数约为$y$条。
根据用频率估计概率的原理：
对于甲鱼池，带标记鱼苗的概率近似等于捕捞到带标记鱼苗的频率，可得：
$\frac{100}{x} \approx \frac{5}{100}$
解得：$x \approx \frac{100 × 100}{5} = 2000$
对于乙鱼池，同理可得：
$\frac{100}{y} \approx \frac{10}{100}$
解得：$y \approx \frac{100 × 100}{10} = 1000$
因为$2000 ＞ 1000$，所以甲鱼池鱼苗数目更多。
【答案】
甲
【知识点】
用频率估计概率；样本估计总体
【点评】
本题结合生活实际考查统计原理的应用，理解标记重捕法中频率与概率的对应关系是解题的核心，此类题型难度较低，重在对原理的理解。
【难度系数】
0.8
本题考查用频率估计概率的实际应用，解题思路如下：首先明确标记重捕法的原理：将带标记的鱼苗放回鱼池均匀混合后，再次捕捞时，带标记鱼苗的频率近似等于带标记鱼苗在总鱼苗数中的占比。由于两个鱼池最初标记的鱼苗数量相同，因此捕捞到的带标记鱼苗的频率越低，说明该鱼池的总鱼苗数越多。我们可以通过列等式分别估算两个鱼池的总鱼苗数，再比较大小即可。
【解析】
设甲鱼池总鱼苗数约为$x$条，乙鱼池总鱼苗数约为$y$条。
根据用频率估计概率的原理：
对于甲鱼池，带标记鱼苗的概率近似等于捕捞到带标记鱼苗的频率，可得：
$\frac{100}{x} \approx \frac{5}{100}$
解得：$x \approx \frac{100 × 100}{5} = 2000$
对于乙鱼池，同理可得：
$\frac{100}{y} \approx \frac{10}{100}$
解得：$y \approx \frac{100 × 100}{10} = 1000$
因为$2000 ＞ 1000$，所以甲鱼池鱼苗数目更多。
【答案】
甲
【知识点】
用频率估计概率；样本估计总体
【点评】
本题结合生活实际考查统计原理的应用，理解标记重捕法中频率与概率的对应关系是解题的核心，此类题型难度较低，重在对原理的理解。
【难度系数】
0.8
9.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，把实验数据整理如下：
根据数据作出如下推断：①通过上述实验，可以推断这枚瓶盖的质地可能不均匀；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增多，“盖面朝上”的概率接近0.53。
以上推断正确的是
根据数据作出如下推断：①通过上述实验，可以推断这枚瓶盖的质地可能不均匀；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增多，“盖面朝上”的概率接近0.53。
以上推断正确的是
①③
。答案
9. ①③
解析
【分析】
解题时先明确用频率估计概率的核心原理：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率；同时单次随机试验的结果具有不确定性，无法提前确定。接下来依次对三个推断逐一判断：首先观察频率稳定值是否接近0.5判断质地是否均匀，再依据随机事件的特点判断单次试验结果的确定性，最后结合频率的变化趋势判断概率的近似值。
【解析】
我们逐个分析三个推断：
1. 对于推断①：若瓶盖质地均匀，理论上盖面朝上、朝下的概率均接近0.5。从实验数据看，随着抛掷次数增多，盖面朝上的频率稳定在0.53左右，和0.5有明显偏差，因此可以推断瓶盖质地可能不均匀，①正确。
2. 对于推断②：抛掷瓶盖属于随机事件，每次的结果都具有不确定性，频率是多次试验的统计结果，无法决定某单次试验的结果，因此第2000次实验结果不一定是“盖面朝上”，②错误。
3. 对于推断③：根据用频率估计概率的规律，当试验次数足够多时，频率的稳定值近似等于概率。观察表格数据，试验次数越多，盖面朝上的频率越接近0.53，因此“盖面朝上”的概率接近0.53，③正确。
综上，正确的推断是①③。
【答案】
①③
【知识点】
用频率估计概率；随机事件的特点
【点评】
本题核心考查频率与概率的联系与区别，需要注意：只有大量重复试验下的频率稳定值才能用来估计概率，单次随机试验的结果无法通过频率预判，避免混淆频率的统计意义和单次试验的随机性是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先明确用频率估计概率的核心原理：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率；同时单次随机试验的结果具有不确定性，无法提前确定。接下来依次对三个推断逐一判断：首先观察频率稳定值是否接近0.5判断质地是否均匀，再依据随机事件的特点判断单次试验结果的确定性，最后结合频率的变化趋势判断概率的近似值。
【解析】
我们逐个分析三个推断：
1. 对于推断①：若瓶盖质地均匀，理论上盖面朝上、朝下的概率均接近0.5。从实验数据看，随着抛掷次数增多，盖面朝上的频率稳定在0.53左右，和0.5有明显偏差，因此可以推断瓶盖质地可能不均匀，①正确。
2. 对于推断②：抛掷瓶盖属于随机事件，每次的结果都具有不确定性，频率是多次试验的统计结果，无法决定某单次试验的结果，因此第2000次实验结果不一定是“盖面朝上”，②错误。
3. 对于推断③：根据用频率估计概率的规律，当试验次数足够多时，频率的稳定值近似等于概率。观察表格数据，试验次数越多，盖面朝上的频率越接近0.53，因此“盖面朝上”的概率接近0.53，③正确。
综上，正确的推断是①③。
【答案】
①③
【知识点】
用频率估计概率；随机事件的特点
【点评】
本题核心考查频率与概率的联系与区别，需要注意：只有大量重复试验下的频率稳定值才能用来估计概率，单次随机试验的结果无法通过频率预判，避免混淆频率的统计意义和单次试验的随机性是解题的关键。
【难度系数】
0.7
