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10.某批乒乓球的质量检验结果如表：
(1)填写完成表格中的空格。
(2)从这批乒乓球中，任意抽取的一个乒乓球是优等品的概率约是
(3)小明买这批次的乒乓球20个，小明说20个乒乓球中一定会有一个次等品。你是否同意小明的说法？为什么？
(1)填写完成表格中的空格。
(2)从这批乒乓球中，任意抽取的一个乒乓球是优等品的概率约是
0.95
（精确到0.01）。(3)小明买这批次的乒乓球20个，小明说20个乒乓球中一定会有一个次等品。你是否同意小明的说法？为什么？
答案
10. (1)0.949
(2)0.95
(3)不同意。理由:概率是大量重复试验下的频率稳定值,只能说明单个乒乓球是优等品的概率约为0.95,是次品的概率约为0.05,买20个是随机事件,有可能全部都是优等品,不一定会出现次品
(2)0.95
(3)不同意。理由:概率是大量重复试验下的频率稳定值,只能说明单个乒乓球是优等品的概率约为0.95,是次品的概率约为0.05,买20个是随机事件,有可能全部都是优等品,不一定会出现次品
解析
【分析】
(1) 表格空格为优等品频率，根据频率计算公式：频率=频数÷总数，代入对应数值计算后精确到0.001即可；(2) 当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率，观察表格中随着抽取球数增大的频率波动情况，取稳定值精确到0.01即可；(3) 概率反映的是事件发生的可能性大小，是大量重复试验下的规律，不适用于少量试验的必然结果，据此判断小明说法是否正确并说明理由。
【解析】
(1) 优等品频率为频数除以抽取的乒乓球总数，即$1898÷2000=0.949$，故空格处填0.949；
(2) 观察表格数据，随着抽取乒乓球的数量逐渐增大，优等品的频率逐渐稳定在0.95附近，因此任意抽取一个乒乓球是优等品的概率约为0.95；
(3) 不同意小明的说法。概率是大量重复试验下得到的频率稳定值，仅能表示单个乒乓球为次品的概率约为0.05，是反映事件发生可能性的量，购买20个乒乓球属于少量随机试验，有可能全部都是优等品，因此不一定会出现次等品。
【答案】
(1)0.949；(2)0.95；(3)不同意。理由:概率是大量重复试验下的频率稳定值,只能说明单个乒乓球是优等品的概率约为0.95,是次品的概率约为0.05,买20个是随机事件,有可能全部都是优等品,不一定会出现次品
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，概率的意义
【点评】
本题围绕频率与概率的核心知识点设置题目，既考查基础的频率计算能力，也要求学生理解频率和概率的关联与区别，明确概率的实际意义，属于概率模块的基础应用类题型。
【难度系数】
0.85
(1) 表格空格为优等品频率，根据频率计算公式：频率=频数÷总数，代入对应数值计算后精确到0.001即可；(2) 当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率，观察表格中随着抽取球数增大的频率波动情况，取稳定值精确到0.01即可；(3) 概率反映的是事件发生的可能性大小，是大量重复试验下的规律，不适用于少量试验的必然结果，据此判断小明说法是否正确并说明理由。
【解析】
(1) 优等品频率为频数除以抽取的乒乓球总数，即$1898÷2000=0.949$，故空格处填0.949；
(2) 观察表格数据，随着抽取乒乓球的数量逐渐增大，优等品的频率逐渐稳定在0.95附近，因此任意抽取一个乒乓球是优等品的概率约为0.95；
(3) 不同意小明的说法。概率是大量重复试验下得到的频率稳定值，仅能表示单个乒乓球为次品的概率约为0.05，是反映事件发生可能性的量，购买20个乒乓球属于少量随机试验，有可能全部都是优等品，因此不一定会出现次等品。
【答案】
(1)0.949；(2)0.95；(3)不同意。理由:概率是大量重复试验下的频率稳定值,只能说明单个乒乓球是优等品的概率约为0.95,是次品的概率约为0.05,买20个是随机事件,有可能全部都是优等品,不一定会出现次品
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，概率的意义
【点评】
本题围绕频率与概率的核心知识点设置题目，既考查基础的频率计算能力，也要求学生理解频率和概率的关联与区别，明确概率的实际意义，属于概率模块的基础应用类题型。
【难度系数】
0.85
11. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复。下表是活动进行中的一组统计数据：
现从这个口袋里再拿出a个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为$\frac{1}{3}$，则a的值为
现从这个口袋里再拿出a个白球，这时从口袋里任意摸出一球是白球的概率为$\frac{1}{3}$，则a的值为
8
。答案
11. 8
解析
【分析】
首先，根据大量重复试验中事件发生的频率会稳定在概率附近的规律，观察表格中摸球次数较大时的频率，估算出口袋中原有白球的概率，进而求出原有白球的数量。再根据拿出a个白球后的概率条件，结合概率公式列方程，求解即可得到a的值，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
1. 估算原有白球概率：观察表格数据，当摸球次数逐渐增大时，摸到白球的频率稳定在0.6附近，因此估计从口袋中任意摸出一个球是白球的概率为0.6。
2. 计算原有白球数量：已知口袋中球的总数为20个，因此原有白球的数量为$20 × 0.6 = 12$个。
3. 列方程求解：拿出a个白球后，剩余白球数量为$(12 - a)$个，口袋中剩余球的总数量为$(20 - a)$个，此时摸到白球的概率为$\frac{1}{3}$，根据概率公式得：
$\frac{12 - a}{20 - a} = \frac{1}{3}$
交叉相乘得：$3(12 - a) = 20 - a$
展开计算：$36 - 3a = 20 - a$
移项合并同类项：$2a = 16$
解得：$a = 8$
4. 检验：当$a=8$时，$20 - a = 12 ≠ 0$，且$12 - a = 4 ＞ 0$，符合实际情况，因此$a=8$是方程的解。
【答案】
8
【知识点】
用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用
【点评】
本题考查统计与概率的结合应用，核心是掌握大量重复试验下频率与概率的关系，结合概率公式列方程求解，解题时需注意对分式方程的解进行实际意义的检验。
【难度系数】
0.7
首先，根据大量重复试验中事件发生的频率会稳定在概率附近的规律，观察表格中摸球次数较大时的频率，估算出口袋中原有白球的概率，进而求出原有白球的数量。再根据拿出a个白球后的概率条件，结合概率公式列方程，求解即可得到a的值，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
1. 估算原有白球概率：观察表格数据，当摸球次数逐渐增大时，摸到白球的频率稳定在0.6附近，因此估计从口袋中任意摸出一个球是白球的概率为0.6。
2. 计算原有白球数量：已知口袋中球的总数为20个，因此原有白球的数量为$20 × 0.6 = 12$个。
3. 列方程求解：拿出a个白球后，剩余白球数量为$(12 - a)$个，口袋中剩余球的总数量为$(20 - a)$个，此时摸到白球的概率为$\frac{1}{3}$，根据概率公式得：
$\frac{12 - a}{20 - a} = \frac{1}{3}$
交叉相乘得：$3(12 - a) = 20 - a$
展开计算：$36 - 3a = 20 - a$
移项合并同类项：$2a = 16$
解得：$a = 8$
4. 检验：当$a=8$时，$20 - a = 12 ≠ 0$，且$12 - a = 4 ＞ 0$，符合实际情况，因此$a=8$是方程的解。
【答案】
8
【知识点】
用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用
【点评】
本题考查统计与概率的结合应用，核心是掌握大量重复试验下频率与概率的关系，结合概率公式列方程求解，解题时需注意对分式方程的解进行实际意义的检验。
【难度系数】
0.7
12.小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2 m和3 m的同心圆(
)，蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，现在请你来当裁判。
(1)你认为游戏公平吗？为什么？
(2)游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算某一不规则图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题。（要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算公式）
)，蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，现在请你来当裁判。(1)你认为游戏公平吗？为什么？
(2)游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算某一不规则图形的面积呢？”请你设计方案，解决这一问题。（要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算公式）
答案
12. (1)不公平。$P(阴)=\frac{9π-4π}{9π}=\frac{5}{9}$,即小红胜率为$\frac{5}{9}$,小明胜率为$\frac{4}{9}$,所以游戏对双方不公平
(2)设计方案:①将不规则图形放在一个已知面积为S的规则图形(如矩形)内;②向规则图形内随机投掷大量点(如用计算机模拟);③统计落在不规则图形内的点数m和总投掷点数n;④不规则图形的面积≈S×m/n
(2)设计方案:①将不规则图形放在一个已知面积为S的规则图形(如矩形)内;②向规则图形内随机投掷大量点(如用计算机模拟);③统计落在不规则图形内的点数m和总投掷点数n;④不规则图形的面积≈S×m/n
解析
【分析】
（1）判断游戏是否公平的核心是比较两人获胜的概率是否相等，本题属于几何概率问题，获胜概率等于对应区域面积与总有效区域（大圆）面积的比值。我们可以先分别计算阴影（圆环）、小圆、大圆的面积，再求出两人获胜的概率进行比较即可。
（2）用频率估计概率估算不规则图形面积的核心原理是：大量重复试验时，事件发生的频率近似等于其发生的概率。我们可以将不规则图形放入已知面积的规则图形中，通过随机投点得到落在不规则图形内点的频率，用该频率近似等于两个图形的面积比，进而推导得到不规则图形的面积。
【解析】
(1) 先计算各区域的面积：
已知大圆半径为3m，所以$S_{大圆}=π×3^2=9π \ \mathrm{m}^2$
小圆半径为2m，所以$S_{小圆}=π×2^2=4π \ \mathrm{m}^2$
阴影部分为圆环，面积$S_{阴影}=S_{大圆}-S_{小圆}=9π-4π=5π \ \mathrm{m}^2$
因此小红获胜的概率：$P(\mathrm{小红胜})=\frac{S_{阴影}}{S_{大圆}}=\frac{5π}{9π}=\frac{5}{9}$
小明获胜的概率：$P(\mathrm{小明胜})=\frac{S_{小圆}}{S_{大圆}}=\frac{4π}{9π}=\frac{4}{9}$
两人获胜概率不相等，所以游戏不公平。
(2) 设计方案如下：
① 先将待估算面积的不规则图形完全放入面积为$S$的规则图形（如矩形、正方形）内；
② 向该规则图形内随机投掷大量点（可手动投掷或用计算机模拟，保证点落在规则图形内任意位置的概率均等）；
③ 统计总投掷点数$n$，以及落在不规则图形内部的点数$m$；
④ 当投掷次数足够多时，点落在不规则图形内的频率$\frac{m}{n}$近似等于对应概率，而该概率等于两图形的面积比$\frac{S_{不规则}}{S}$，因此可以估算不规则图形的面积。
原理：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在该事件发生的概率附近。
【答案】
(1)不公平。$P(阴)=\frac{9π-4π}{9π}=\frac{5}{9}$,即小红胜率为$\frac{5}{9}$,小明胜率为$\frac{4}{9}$,所以游戏对双方不公平
(2)设计方案:①将不规则图形放在一个已知面积为S的规则图形(如矩形)内;②向规则图形内随机投掷大量点(如用计算机模拟);③统计落在不规则图形内的点数m和总投掷点数n;④不规则图形的面积≈S×m/n
【知识点】
几何概率计算，游戏公平性判断，用频率估计概率
【点评】
本题将概率知识与实际应用场景结合，既考查了几何概率的基础计算、游戏公平性的判断逻辑，又引导学生利用频率估计概率的原理解决不规则图形面积估算的实际问题，注重对知识迁移能力和实践应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
（1）判断游戏是否公平的核心是比较两人获胜的概率是否相等，本题属于几何概率问题，获胜概率等于对应区域面积与总有效区域（大圆）面积的比值。我们可以先分别计算阴影（圆环）、小圆、大圆的面积，再求出两人获胜的概率进行比较即可。
（2）用频率估计概率估算不规则图形面积的核心原理是：大量重复试验时，事件发生的频率近似等于其发生的概率。我们可以将不规则图形放入已知面积的规则图形中，通过随机投点得到落在不规则图形内点的频率，用该频率近似等于两个图形的面积比，进而推导得到不规则图形的面积。
【解析】
(1) 先计算各区域的面积：
已知大圆半径为3m，所以$S_{大圆}=π×3^2=9π \ \mathrm{m}^2$
小圆半径为2m，所以$S_{小圆}=π×2^2=4π \ \mathrm{m}^2$
阴影部分为圆环，面积$S_{阴影}=S_{大圆}-S_{小圆}=9π-4π=5π \ \mathrm{m}^2$
因此小红获胜的概率：$P(\mathrm{小红胜})=\frac{S_{阴影}}{S_{大圆}}=\frac{5π}{9π}=\frac{5}{9}$
小明获胜的概率：$P(\mathrm{小明胜})=\frac{S_{小圆}}{S_{大圆}}=\frac{4π}{9π}=\frac{4}{9}$
两人获胜概率不相等，所以游戏不公平。
(2) 设计方案如下：
① 先将待估算面积的不规则图形完全放入面积为$S$的规则图形（如矩形、正方形）内；
② 向该规则图形内随机投掷大量点（可手动投掷或用计算机模拟，保证点落在规则图形内任意位置的概率均等）；
③ 统计总投掷点数$n$，以及落在不规则图形内部的点数$m$；
④ 当投掷次数足够多时，点落在不规则图形内的频率$\frac{m}{n}$近似等于对应概率，而该概率等于两图形的面积比$\frac{S_{不规则}}{S}$，因此可以估算不规则图形的面积。
原理：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在该事件发生的概率附近。
【答案】
(1)不公平。$P(阴)=\frac{9π-4π}{9π}=\frac{5}{9}$,即小红胜率为$\frac{5}{9}$,小明胜率为$\frac{4}{9}$,所以游戏对双方不公平
(2)设计方案:①将不规则图形放在一个已知面积为S的规则图形(如矩形)内;②向规则图形内随机投掷大量点(如用计算机模拟);③统计落在不规则图形内的点数m和总投掷点数n;④不规则图形的面积≈S×m/n
【知识点】
几何概率计算，游戏公平性判断，用频率估计概率
【点评】
本题将概率知识与实际应用场景结合，既考查了几何概率的基础计算、游戏公平性的判断逻辑，又引导学生利用频率估计概率的原理解决不规则图形面积估算的实际问题，注重对知识迁移能力和实践应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
