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9. 如图26.2-8，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2).若抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$（h，k为常数）与线段AB交于C，D两点，A，B关于抛物线的对称轴对称，且$CD=\dfrac{1}{2}AB$，求点C的坐标和k的值.
答案
9. 解：
∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2)，
∴AB=4.
∴CD=$\frac{1}{2}AB=2$.
∵A，B两点关于直线x=h对称，
∴h=2.
设点C的坐标为(c，2)，则点D的坐标为(c+2，2)，
∴$h=\frac{2c+2}{2}=c+1$.
∴c=1.
∴点C的坐标为(1，2).
∴把点C的坐标代入抛物线$y=-\frac{3}{2}(x-2)^2 +k$，得$2=-\frac{3}{2}×(1-2)^2 +k$，解得$k=\frac{7}{2}$.
∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2)，
∴AB=4.
∴CD=$\frac{1}{2}AB=2$.
∵A，B两点关于直线x=h对称，
∴h=2.
设点C的坐标为(c，2)，则点D的坐标为(c+2，2)，
∴$h=\frac{2c+2}{2}=c+1$.
∴c=1.
∴点C的坐标为(1，2).
∴把点C的坐标代入抛物线$y=-\frac{3}{2}(x-2)^2 +k$，得$2=-\frac{3}{2}×(1-2)^2 +k$，解得$k=\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先根据点A、B的坐标求出线段AB的长度，进而得到CD的长度；再利用A、B关于抛物线对称轴对称的性质，求出抛物线的对称轴，得到h的值；由于C、D都在线段AB上，纵坐标均为2，且C、D也关于抛物线对称轴对称，结合CD的长度即可求出点C的坐标；最后将点C坐标代入抛物线解析式，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2)，
∴AB=4-0=4，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=2$。
∵抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$的对称轴为直线$x=h$，且A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为线段AB的垂直平分线，即$h=\frac{0+4}{2}=2$。
∵C、D在线段AB上，两点纵坐标均为2，且C、D关于抛物线的对称轴对称，
设点C的坐标为$(c,2)$，则点D的坐标为$(c+2,2)$，
∴对称轴$x=2=\frac{c+(c+2)}{2}$，解得$c=1$，
∴点C的坐标为$(1,2)$。
将$C(1,2)$代入$y=-\frac{3}{2}(x-2)^2 +k$，得：
$2=-\frac{3}{2}×(1-2)^2 +k$，
解得$k=\frac{7}{2}$。
【答案】
点C的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$，$k=\boldsymbol{\dfrac{7}{2}}$
【知识点】
1.二次函数的对称性
2.二次函数图象上点的坐标特征
3.线段长度计算
【点评】
本题侧重考查二次函数对称轴性质的应用，结合线段的对称关系能快速求解交点坐标，代入法求参数是二次函数中常用的计算方法，掌握对称性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据点A、B的坐标求出线段AB的长度，进而得到CD的长度；再利用A、B关于抛物线对称轴对称的性质，求出抛物线的对称轴，得到h的值；由于C、D都在线段AB上，纵坐标均为2，且C、D也关于抛物线对称轴对称，结合CD的长度即可求出点C的坐标；最后将点C坐标代入抛物线解析式，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2)，
∴AB=4-0=4，
∴$CD=\frac{1}{2}AB=2$。
∵抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 +k$的对称轴为直线$x=h$，且A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为线段AB的垂直平分线，即$h=\frac{0+4}{2}=2$。
∵C、D在线段AB上，两点纵坐标均为2，且C、D关于抛物线的对称轴对称，
设点C的坐标为$(c,2)$，则点D的坐标为$(c+2,2)$，
∴对称轴$x=2=\frac{c+(c+2)}{2}$，解得$c=1$，
∴点C的坐标为$(1,2)$。
将$C(1,2)$代入$y=-\frac{3}{2}(x-2)^2 +k$，得：
$2=-\frac{3}{2}×(1-2)^2 +k$，
解得$k=\frac{7}{2}$。
【答案】
点C的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$，$k=\boldsymbol{\dfrac{7}{2}}$
【知识点】
1.二次函数的对称性
2.二次函数图象上点的坐标特征
3.线段长度计算
【点评】
本题侧重考查二次函数对称轴性质的应用，结合线段的对称关系能快速求解交点坐标，代入法求参数是二次函数中常用的计算方法，掌握对称性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
10. 二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2$ 先向上平移6个单位长度，再向右平移3个单位长度，将平移后的函数图象用光滑的曲线画在图26.2-9所示的平面直角坐标系上.
图26.2-9
图26.2-9
答案
10. 解：平移后的二次函数为$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 +6$，画出图象，如图所示。
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数图象的平移规律：针对自变量x的平移遵循“左加右减”，针对函数整体的上下平移遵循“上加下减”。首先先对原二次函数做向上平移的变换，再做向右平移的变换，得到平移后的函数解析式；之后确定平移后函数的顶点坐标，再选取若干对称的点描点，最后用光滑曲线连接即可画出图象。
【解析】
根据二次函数平移规则分步计算：
1. 原函数为$y=\frac{1}{2}x^2$，向上平移6个单位长度，即在函数整体后加6，得到中间解析式：$y=\frac{1}{2}x^2 +6$；
2. 再将上述函数向右平移3个单位长度，把自变量$x$替换为$(x-3)$，最终得到平移后的函数解析式：$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}(x-3)^2 +6}$。
3. 画图象：该函数顶点为$(3,6)$，开口向上，可选取对称点$(1,8)$、$(2,6.5)$、$(4,6.5)$、$(5,8)$等，在坐标系中描出所有点后，用光滑曲线顺次连接，即可得到平移后的函数图象。
【答案】
平移后的二次函数为$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 +6$，画出图象，如图所示。
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数顶点式、函数图象画法
【点评】
本题是二次函数部分的基础题型，核心考查平移规则的应用，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律即可快速求出平移后的解析式，描点画图时选取对称点能提高图象的准确性。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数图象的平移规律：针对自变量x的平移遵循“左加右减”，针对函数整体的上下平移遵循“上加下减”。首先先对原二次函数做向上平移的变换，再做向右平移的变换，得到平移后的函数解析式；之后确定平移后函数的顶点坐标，再选取若干对称的点描点，最后用光滑曲线连接即可画出图象。
【解析】
根据二次函数平移规则分步计算：
1. 原函数为$y=\frac{1}{2}x^2$，向上平移6个单位长度，即在函数整体后加6，得到中间解析式：$y=\frac{1}{2}x^2 +6$；
2. 再将上述函数向右平移3个单位长度，把自变量$x$替换为$(x-3)$，最终得到平移后的函数解析式：$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}(x-3)^2 +6}$。
3. 画图象：该函数顶点为$(3,6)$，开口向上，可选取对称点$(1,8)$、$(2,6.5)$、$(4,6.5)$、$(5,8)$等，在坐标系中描出所有点后，用光滑曲线顺次连接，即可得到平移后的函数图象。
【答案】
平移后的二次函数为$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 +6$，画出图象，如图所示。
【知识点】
二次函数图象平移、二次函数顶点式、函数图象画法
【点评】
本题是二次函数部分的基础题型，核心考查平移规则的应用，熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律即可快速求出平移后的解析式，描点画图时选取对称点能提高图象的准确性。
【难度系数】
0.8
