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3. 若$M(-4, y_1)$，$N(-3, y_2)$，$P(1, y_3)$为二次函数$y=(x+2)^2 -1$的图象上的三点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是（
A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
B
）.A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
答案
3. B
解析
【分析】
要比较抛物线上三点的函数值大小，有两种常见思路：一是直接将三点横坐标代入函数解析式，分别计算出$y_1$、$y_2$、$y_3$的值后比较；二是结合二次函数的性质判断：该二次函数开口向上，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，计算三点到对称轴的距离即可比较函数值大小。
【解析】
方法一：代入计算法
分别将三个点的横坐标代入二次函数$y=(x+2)^2 -1$：
当$x=-4$时，$y_1=(-4+2)^2 -1=4-1=3$；
当$x=-3$时，$y_2=(-3+2)^2 -1=1-1=0$；
当$x=1$时，$y_3=(1+2)^2 -1=9-1=8$；
因为$0＜3＜8$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
方法二：利用二次函数性质求解
二次函数$y=(x+2)^2 -1$中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$，开口向上的抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大。
三点到对称轴$x=-2$的距离分别为：
$M(-4,y_1)$：$\vert -4 - (-2)\vert=2$；
$N(-3,y_2)$：$\vert -3 - (-2)\vert=1$；
$P(1,y_3)$：$\vert 1 - (-2)\vert=3$；
因为$1＜2＜3$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数图象上点的坐标特征；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，既可以通过代入计算直接求解，也可以利用抛物线的开口方向、对称性和增减性快速判断，两种方法各有优势，建议熟练掌握两种解题思路。
【难度系数】
0.7
要比较抛物线上三点的函数值大小，有两种常见思路：一是直接将三点横坐标代入函数解析式，分别计算出$y_1$、$y_2$、$y_3$的值后比较；二是结合二次函数的性质判断：该二次函数开口向上，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，计算三点到对称轴的距离即可比较函数值大小。
【解析】
方法一：代入计算法
分别将三个点的横坐标代入二次函数$y=(x+2)^2 -1$：
当$x=-4$时，$y_1=(-4+2)^2 -1=4-1=3$；
当$x=-3$时，$y_2=(-3+2)^2 -1=1-1=0$；
当$x=1$时，$y_3=(1+2)^2 -1=9-1=8$；
因为$0＜3＜8$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
方法二：利用二次函数性质求解
二次函数$y=(x+2)^2 -1$中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$，开口向上的抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大。
三点到对称轴$x=-2$的距离分别为：
$M(-4,y_1)$：$\vert -4 - (-2)\vert=2$；
$N(-3,y_2)$：$\vert -3 - (-2)\vert=1$；
$P(1,y_3)$：$\vert 1 - (-2)\vert=3$；
因为$1＜2＜3$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数图象上点的坐标特征；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，既可以通过代入计算直接求解，也可以利用抛物线的开口方向、对称性和增减性快速判断，两种方法各有优势，建议熟练掌握两种解题思路。
【难度系数】
0.7
4. 抛物线$y=\frac{1}{3}(x+2)^2+4$可以通过将抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$向左平移
2
个单位长度，再向上
平移4
个单位长度得到。答案
4. 2 上 4
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律，平移不改变二次项系数$a$的大小，我们可以通过两种思路判断：一是对比两个抛物线的顶点坐标，顶点的平移方向和距离就是抛物线的平移方向和距离；二是利用平移口诀“左加右减自变量，上加下减常数项”直接分析解析式的变化。原抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$的顶点是$(0,0)$，目标抛物线$y=\frac{1}{3}(x+2)^2+4$的顶点是$(-2,4)$，分析顶点的平移路径即可得到答案。
【解析】
1. 明确二次函数平移的基本规律：对于抛物线$y=a(x-h)^2+k$，平移时$a$不变，自变量$x$加$m$（$m＞0$）对应向左平移$m$个单位，减$m$对应向右平移$m$个单位；解析式整体加$n$（$n＞0$）对应向上平移$n$个单位，减$n$对应向下平移$n$个单位。
2. 对比两个解析式：原抛物线为$y=\frac{1}{3}x^2$，目标抛物线为$y=\frac{1}{3}(x+2)^2+4$。
3. 自变量部分从$x$变为$x+2$，符合“左加”规律，因此向左平移2个单位长度。
4. 解析式在平方项后加了4，符合“上加”规律，因此再向上平移4个单位长度。
【答案】
2；上；4
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，只要熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是掌握二次函数图象的平移规律，平移不改变二次项系数$a$的大小，我们可以通过两种思路判断：一是对比两个抛物线的顶点坐标，顶点的平移方向和距离就是抛物线的平移方向和距离；二是利用平移口诀“左加右减自变量，上加下减常数项”直接分析解析式的变化。原抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$的顶点是$(0,0)$，目标抛物线$y=\frac{1}{3}(x+2)^2+4$的顶点是$(-2,4)$，分析顶点的平移路径即可得到答案。
【解析】
1. 明确二次函数平移的基本规律：对于抛物线$y=a(x-h)^2+k$，平移时$a$不变，自变量$x$加$m$（$m＞0$）对应向左平移$m$个单位，减$m$对应向右平移$m$个单位；解析式整体加$n$（$n＞0$）对应向上平移$n$个单位，减$n$对应向下平移$n$个单位。
2. 对比两个解析式：原抛物线为$y=\frac{1}{3}x^2$，目标抛物线为$y=\frac{1}{3}(x+2)^2+4$。
3. 自变量部分从$x$变为$x+2$，符合“左加”规律，因此向左平移2个单位长度。
4. 解析式在平方项后加了4，符合“上加”规律，因此再向上平移4个单位长度。
【答案】
2；上；4
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，只要熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
5. 已知点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2+n$的图象上.若$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围为
$m＞\frac{3}{2}$
.答案
5. $m＞\frac{3}{2}$
解析
【分析】
拿到题目首先观察二次函数的形式，该函数是顶点式，可直接判断出开口向上，对称轴为直线$x=1$。已知两个带参数$m$的点在函数图象上，且给出了函数值的大小关系，解题思路很清晰：因为函数图象上的点坐标满足函数解析式，所以先将两点的横坐标分别代入解析式，用含$m$的式子表示出$y_1$和$y_2$，再根据$y_1＜y_2$列不等式，解出$m$的范围即可；也可以利用开口向上的二次函数“点离对称轴越远，函数值越大”的性质列不等式求解，两种方法都符合九年级知识要求。
【解析】
解：
∵点$A(m-1,y_1)$、$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2+n$的图象上
∴将两点横坐标代入解析式得：
$y_1=(m-1-1)^2+n=(m-2)^2+n$
$y_2=(m-1)^2+n$
∵$y_1＜y_2$
∴$(m-2)^2+n＜(m-1)^2+n$
两边同时消去$n$，得：$(m-2)^2＜(m-1)^2$
展开不等式两边：
$m^2-4m+4＜m^2-2m+1$
移项合并同类项：
$-2m＜-3$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$m＞\frac{3}{2}$
【答案】
$m＞\frac{3}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；解一元一次不等式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，解题方法灵活，既可以通过代入坐标列不等式计算求解，也可以结合二次函数的增减性、点到对称轴的距离关系快速推导，解题时要注意不等式两边除以负数时，不等号方向需要改变，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先观察二次函数的形式，该函数是顶点式，可直接判断出开口向上，对称轴为直线$x=1$。已知两个带参数$m$的点在函数图象上，且给出了函数值的大小关系，解题思路很清晰：因为函数图象上的点坐标满足函数解析式，所以先将两点的横坐标分别代入解析式，用含$m$的式子表示出$y_1$和$y_2$，再根据$y_1＜y_2$列不等式，解出$m$的范围即可；也可以利用开口向上的二次函数“点离对称轴越远，函数值越大”的性质列不等式求解，两种方法都符合九年级知识要求。
【解析】
解：
∵点$A(m-1,y_1)$、$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2+n$的图象上
∴将两点横坐标代入解析式得：
$y_1=(m-1-1)^2+n=(m-2)^2+n$
$y_2=(m-1)^2+n$
∵$y_1＜y_2$
∴$(m-2)^2+n＜(m-1)^2+n$
两边同时消去$n$，得：$(m-2)^2＜(m-1)^2$
展开不等式两边：
$m^2-4m+4＜m^2-2m+1$
移项合并同类项：
$-2m＜-3$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$m＞\frac{3}{2}$
【答案】
$m＞\frac{3}{2}$
【知识点】
二次函数的性质；解一元一次不等式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，解题方法灵活，既可以通过代入坐标列不等式计算求解，也可以结合二次函数的增减性、点到对称轴的距离关系快速推导，解题时要注意不等式两边除以负数时，不等号方向需要改变，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
6. 抛物线$y=3(x-2)^2 +k$与x轴的一个交点是（-1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是
(5, 0)
。答案
6. (5, 0)
解析
【分析】
首先，抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称。解题时我们可以先确定该抛物线的对称轴，再利用轴对称的性质，由已知交点坐标求出另一个交点坐标，这种方法更简便；也可以先将已知交点代入解析式求出参数$k$，再令$y=0$解方程得到另一个交点坐标，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
抛物线$y=3(x-2)^2 +k$为顶点式，可得其对称轴为直线$x=2$。
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x$，则两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标：
$\frac{-1 + x}{2}=2$
解得$x=5$，因此另一个交点坐标为$(5,0)$。
方法二（代入计算法）：
将点$(-1,0)$代入抛物线解析式$y=3(x-2)^2 +k$，得：
$0=3×(-1-2)^2 +k$
计算得$0=27 +k$，解得$k=-27$
因此抛物线解析式为$y=3(x-2)^2 -27$
令$y=0$，则$3(x-2)^2 -27=0$
化简得$(x-2)^2=9$，开方得$x-2=\pm3$
解得$x_1=-1$，$x_2=5$，因此另一个交点坐标为$(5,0)$。
【答案】
$(5,0)$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数顶点式；二次函数与x轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础题，两种解题方法都要求熟练掌握，利用抛物线的对称性解题可以简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
首先，抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$，且抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称。解题时我们可以先确定该抛物线的对称轴，再利用轴对称的性质，由已知交点坐标求出另一个交点坐标，这种方法更简便；也可以先将已知交点代入解析式求出参数$k$，再令$y=0$解方程得到另一个交点坐标，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一（利用对称性求解）：
抛物线$y=3(x-2)^2 +k$为顶点式，可得其对称轴为直线$x=2$。
抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个交点的横坐标为$x$，则两个交点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标：
$\frac{-1 + x}{2}=2$
解得$x=5$，因此另一个交点坐标为$(5,0)$。
方法二（代入计算法）：
将点$(-1,0)$代入抛物线解析式$y=3(x-2)^2 +k$，得：
$0=3×(-1-2)^2 +k$
计算得$0=27 +k$，解得$k=-27$
因此抛物线解析式为$y=3(x-2)^2 -27$
令$y=0$，则$3(x-2)^2 -27=0$
化简得$(x-2)^2=9$，开方得$x-2=\pm3$
解得$x_1=-1$，$x_2=5$，因此另一个交点坐标为$(5,0)$。
【答案】
$(5,0)$
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数顶点式；二次函数与x轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础题，两种解题方法都要求熟练掌握，利用抛物线的对称性解题可以简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
7. 已知二次函数 $y=2(x-1)^2+3$.
（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点；
（2）当 $0＜x＜4$ 时，$y$ 的取值范围是
（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点；
（2）当 $0＜x＜4$ 时，$y$ 的取值范围是
$3≤ y＜21$
.答案
7. 解：（1）对称轴是$x=1$，顶点是$(1, 3)$.
（2）$3≤ y＜21$
（2）$3≤ y＜21$
解析
【分析】
（1）题目给出的二次函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，根据顶点式的基本性质，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接提取式中对应参数即可求解。
（2）先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，确定函数最值的位置：$a＞0$时开口向上，顶点处取最小值；再计算给定区间两个端点的函数值，结合开口方向判断区间内的最大值情况，注意区间为开区间，端点对应的函数值取不到，最终确定$y$的取值范围。
【解析】
（1）已知二次函数$y=2(x-1)^2+3$是顶点式，对应$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$h=1$，$k=3$，因此该二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
（2）$\because$ 二次项系数$a=2＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，当$x=1$时$y$取得最小值，最小值为$3$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=2×(0-1)^2+3=5$；
当$x=4$时，$y=2×(4-1)^2+3=21$。
$\because$ 抛物线开口向上，在$0＜x＜4$范围内离对称轴$x=1$越远函数值越大，且$x=4$是开区间端点，$y$取不到$21$，$x=1$在区间内，最小值$3$可取，因此$y$的取值范围是$3\le y＜21$。
【答案】
（1）对称轴是$x=1$，顶点是$(1,3)$；（2）$3\le y＜21$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题核心是熟练掌握顶点式的相关性质，结合开口方向分析函数的增减性，求解区间范围时要注意开闭区间对端点值的影响。
【难度系数】
0.8
（1）题目给出的二次函数为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，根据顶点式的基本性质，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接提取式中对应参数即可求解。
（2）先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，确定函数最值的位置：$a＞0$时开口向上，顶点处取最小值；再计算给定区间两个端点的函数值，结合开口方向判断区间内的最大值情况，注意区间为开区间，端点对应的函数值取不到，最终确定$y$的取值范围。
【解析】
（1）已知二次函数$y=2(x-1)^2+3$是顶点式，对应$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中$h=1$，$k=3$，因此该二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,3)$。
（2）$\because$ 二次项系数$a=2＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，当$x=1$时$y$取得最小值，最小值为$3$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=2×(0-1)^2+3=5$；
当$x=4$时，$y=2×(4-1)^2+3=21$。
$\because$ 抛物线开口向上，在$0＜x＜4$范围内离对称轴$x=1$越远函数值越大，且$x=4$是开区间端点，$y$取不到$21$，$x=1$在区间内，最小值$3$可取，因此$y$的取值范围是$3\le y＜21$。
【答案】
（1）对称轴是$x=1$，顶点是$(1,3)$；（2）$3\le y＜21$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题核心是熟练掌握顶点式的相关性质，结合开口方向分析函数的增减性，求解区间范围时要注意开闭区间对端点值的影响。
【难度系数】
0.8
8. 如图26.2-7，点A是抛物线$y=a(x-3)^2 +k$与y轴的交点，AB//x轴交抛物线于点B，点C为该抛物线的顶点。若△ABC为等边三角形，则a的值为（
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
A
）。A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
答案
8. A
解析
【分析】
首先根据抛物线顶点式可直接得到对称轴和顶点坐标，由于AB平行于x轴，可知A、B关于抛物线的对称轴对称，据此先求出AB的长度；再结合等边三角形边长与高的关系，求出顶点C到AB的竖直距离；最后利用A点纵坐标与顶点C纵坐标的差等于该竖直距离，列等式即可求出a的值。
【解析】
1. 由抛物线解析式$y=a(x-3)^2 +k$为顶点式，可得抛物线对称轴为直线$x=3$，顶点$C$的坐标为$(3,k)$。
2. 点A是抛物线与y轴的交点，故A的横坐标为0，又$AB// x$轴，因此A、B关于对称轴$x=3$对称，可得B点横坐标为$3×2 -0=6$，则$AB=6-0=6$。
3. 已知$△ ABC$为等边三角形，边长为6，因此等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$。
4. 将$x=0$代入抛物线解析式，得A点纵坐标为$y=a(0-3)^2 +k=9a +k$。由于AB在顶点C的上方，因此A、C两点的纵坐标差等于等边三角形的高，即：
$9a +k -k=3\sqrt{3}$
化简得$9a=3\sqrt{3}$，解得$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；等边三角形性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合基础题，解题的核心是利用二次函数的对称性得到AB的长度，再结合等边三角形的高的计算公式建立等量关系，考查了学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先根据抛物线顶点式可直接得到对称轴和顶点坐标，由于AB平行于x轴，可知A、B关于抛物线的对称轴对称，据此先求出AB的长度；再结合等边三角形边长与高的关系，求出顶点C到AB的竖直距离；最后利用A点纵坐标与顶点C纵坐标的差等于该竖直距离，列等式即可求出a的值。
【解析】
1. 由抛物线解析式$y=a(x-3)^2 +k$为顶点式，可得抛物线对称轴为直线$x=3$，顶点$C$的坐标为$(3,k)$。
2. 点A是抛物线与y轴的交点，故A的横坐标为0，又$AB// x$轴，因此A、B关于对称轴$x=3$对称，可得B点横坐标为$3×2 -0=6$，则$AB=6-0=6$。
3. 已知$△ ABC$为等边三角形，边长为6，因此等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$。
4. 将$x=0$代入抛物线解析式，得A点纵坐标为$y=a(0-3)^2 +k=9a +k$。由于AB在顶点C的上方，因此A、C两点的纵坐标差等于等边三角形的高，即：
$9a +k -k=3\sqrt{3}$
化简得$9a=3\sqrt{3}$，解得$a=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；等边三角形性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合基础题，解题的核心是利用二次函数的对称性得到AB的长度，再结合等边三角形的高的计算公式建立等量关系，考查了学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
