登录
11. 如图26.2-10，直线$y=-3x+3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$.抛物线$y=a(x-2)^2+k$经过$A$，$B$两点，并与$x$轴交于另一点$C$，其顶点为$P$.
（1）求$a$，$k$的值.
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点$M$，使$△ ABM$的周长最小？若存在，求出$△ ABM$的周长；若不存在，请说明理由.
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点$N$，使$△ ABN$是以$AB$为斜边的直角三角形？若存在，求出$N$点的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）求$a$，$k$的值.
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点$M$，使$△ ABM$的周长最小？若存在，求出$△ ABM$的周长；若不存在，请说明理由.
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点$N$，使$△ ABN$是以$AB$为斜边的直角三角形？若存在，求出$N$点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
11. 解：
（1）
∵直线$y=-3x+3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$，
∴$-3×0+3=3$，$-3x+3=0$，解得$x=1$.
∴点$B$的坐标为$(0, 3)$，点$A$的坐标为$(1, 0)$.
∵抛物线$y=a(x-2)^2+k$经过$A$，$B$两点，
∴把$B(0, 3)$，$A(1, 0)$代入抛物线$y=a(x-2)^2+k$，
得$\begin{cases}a(0-2)^2 +k=3,\\a(1-2)^2 +k=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\k=-1.\end{cases}$
（2）存在.
∵抛物线$y=(x-2)^2-1$，
∴对称轴为$x=2$.
∵点$A$与点$C$关于对称轴对称，$A(1, 0)$，
∴点$C$的坐标为$(3, 0)$.
如图，连接$BC$交对称轴于点$M$，连接$MA$.
∵$A$，$C$两点关于对称轴对称，
∴$AM=MC$.
∴$BM+AM=BM+MC$.
∵两点之间线段最短，
∴当$BM+AM=BC$时最小，此时$△ ABM$的周长最小.
∵点$B$的坐标为$(0, 3)$，点$C$的坐标为$(3, 0)$，
∴设直线$BC$对应的函数解析式为$y=mx+3$，把$C(3, 0)$代入$y=mx+3$，得$3m+3=0$，
解得$m=-1$.
∴直线$BC$对应的函数解析式为$y=-x+3$.
当$x=2$时，$y=-2+3=1$.
∴点$M$的坐标为$(2, 1)$.
∴存在满足条件的点$M$，使$△ ABM$的周长最小，此时$BC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，且$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.
∴$△ ABM$的周长最小为$3\sqrt{2}+\sqrt{10}$.
（3）存在.
设点$N$的坐标为$(2, n)$.
∵点$B$的坐标为$(0, 3)$，点$A$的坐标为$(1, 0)$，
∴$AB^2=1^2+3^2=10$，
$NB^2=2^2+(n-3)^2=n^2-6n+13$，
$NA^2=(2-1)^2+n^2=1+n^2$.
当$△ ABN$是以$AB$为斜边的直角三角形时，由勾股定理，得$NA^2+NB^2=AB^2$.
$1+n^2+n^2-6n+13=10$.
解方程，得$n_1=1$，$n_2=2$.
∴点$N$的坐标为$(2, 1)$或$(2, 2)$.
解析
【分析】
我们分三小问逐步梳理解题思路：
1. 求a、k的值：先求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再将两点坐标代入抛物线的顶点式，得到关于a、k的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值。求交点时，令直线解析式中x=0可得y轴交点B，令y=0可得x轴交点A。
2. 判断是否存在点M使△ABM周长最小：△ABM的周长为AB+AM+BM，其中AB长度是固定值，因此只需让AM+BM的和最小即可。利用抛物线对称性，点A与x轴另一交点C关于对称轴对称，因此AM=CM，可将AM+BM转化为CM+BM，根据两点之间线段最短，当B、M、C三点共线时，CM+BM最小，等于BC的长度，此时周长最小。求出直线BC与对称轴的交点即为M，再计算周长即可。
3. 判断是否存在点N使△ABN以AB为斜边：AB为斜边说明直角顶点是N，根据勾股定理可得$NA^2+NB^2=AB^2$。设N点坐标为$(2,n)$，用坐标分别表示出三条线段的平方，代入勾股定理关系式得到关于n的方程，解方程即可得到N点坐标。
【解析】
（1）求直线$y=-3x+3$与坐标轴的交点：
令$x=0$，得$y=3$，故点B坐标为$(0,3)$；
令$y=0$，得$-3x+3=0$，解得$x=1$，故点A坐标为$(1,0)$。
将$A(1,0)$、$B(0,3)$代入抛物线$y=a(x-2)^2+k$，得：
$\begin{cases}a(0-2)^2 +k=3\\a(1-2)^2 +k=0\end{cases}$
化简得$\begin{cases}4a +k=3\\a +k=0\end{cases}$，两式相减得$3a=3$，解得$a=1$，代入$a+k=0$得$k=-1$。
（2）存在满足条件的点M，理由如下：
由（1）得抛物线解析式为$y=(x-2)^2-1$，对称轴为直线$x=2$。
A、C关于对称轴$x=2$对称，$A(1,0)$，故C点坐标为$(3,0)$。
连接BC交对称轴$x=2$于点M，连接MA：
由对称性得$AM=MC$，因此$AM+BM=MC+BM$，根据两点之间线段最短，当B、M、C共线时，$MC+BM$最小，等于BC的长度，此时△ABM周长最小。
设直线BC解析式为$y=mx+3$，将$C(3,0)$代入得$3m+3=0$，解得$m=-1$，故直线BC解析式为$y=-x+3$。
将$x=2$代入$y=-x+3$，得$y=1$，故M点坐标为$(2,1)$。
计算得$AB=\sqrt{(1-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}$，因此△ABM的最小周长为$AB+BC=\sqrt{10}+3\sqrt{2}$。
（3）存在满足条件的点N，理由如下：
设对称轴上N点坐标为$(2,n)$，已知$A(1,0)$、$B(0,3)$：
$AB^2=1^2+3^2=10$，
$NA^2=(2-1)^2+n^2=n^2+1$，
$NB^2=2^2+(n-3)^2=n^2-6n+13$。
因为△ABN是以AB为斜边的直角三角形，由勾股定理得$NA^2+NB^2=AB^2$，代入得：
$n^2+1+n^2-6n+13=10$
整理得$n^2-3n+2=0$，解得$n_1=1$，$n_2=2$，因此N点坐标为$(2,1)$或$(2,2)$。
【答案】
（1）$\begin{cases}a=1\\k=-1\end{cases}$
（2）存在，△ABM的周长最小为$3\sqrt{2}+\sqrt{10}$
（3）存在，N点坐标为$(2,1)$或$(2,2)$
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，勾股定理应用
【点评】
本题是二次函数综合题，融合了一次函数性质、轴对称的应用以及直角三角形的判定，既考查了基础计算能力，也考查了转化思想的应用，将动态的周长最小值问题转化为静态的线段长度计算，是二次函数的常见考查题型，需要熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.6
我们分三小问逐步梳理解题思路：
1. 求a、k的值：先求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再将两点坐标代入抛物线的顶点式，得到关于a、k的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值。求交点时，令直线解析式中x=0可得y轴交点B，令y=0可得x轴交点A。
2. 判断是否存在点M使△ABM周长最小：△ABM的周长为AB+AM+BM，其中AB长度是固定值，因此只需让AM+BM的和最小即可。利用抛物线对称性，点A与x轴另一交点C关于对称轴对称，因此AM=CM，可将AM+BM转化为CM+BM，根据两点之间线段最短，当B、M、C三点共线时，CM+BM最小，等于BC的长度，此时周长最小。求出直线BC与对称轴的交点即为M，再计算周长即可。
3. 判断是否存在点N使△ABN以AB为斜边：AB为斜边说明直角顶点是N，根据勾股定理可得$NA^2+NB^2=AB^2$。设N点坐标为$(2,n)$，用坐标分别表示出三条线段的平方，代入勾股定理关系式得到关于n的方程，解方程即可得到N点坐标。
【解析】
（1）求直线$y=-3x+3$与坐标轴的交点：
令$x=0$，得$y=3$，故点B坐标为$(0,3)$；
令$y=0$，得$-3x+3=0$，解得$x=1$，故点A坐标为$(1,0)$。
将$A(1,0)$、$B(0,3)$代入抛物线$y=a(x-2)^2+k$，得：
$\begin{cases}a(0-2)^2 +k=3\\a(1-2)^2 +k=0\end{cases}$
化简得$\begin{cases}4a +k=3\\a +k=0\end{cases}$，两式相减得$3a=3$，解得$a=1$，代入$a+k=0$得$k=-1$。
（2）存在满足条件的点M，理由如下：
由（1）得抛物线解析式为$y=(x-2)^2-1$，对称轴为直线$x=2$。
A、C关于对称轴$x=2$对称，$A(1,0)$，故C点坐标为$(3,0)$。
连接BC交对称轴$x=2$于点M，连接MA：
由对称性得$AM=MC$，因此$AM+BM=MC+BM$，根据两点之间线段最短，当B、M、C共线时，$MC+BM$最小，等于BC的长度，此时△ABM周长最小。
设直线BC解析式为$y=mx+3$，将$C(3,0)$代入得$3m+3=0$，解得$m=-1$，故直线BC解析式为$y=-x+3$。
将$x=2$代入$y=-x+3$，得$y=1$，故M点坐标为$(2,1)$。
计算得$AB=\sqrt{(1-0)^2+(0-3)^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-3)^2}=3\sqrt{2}$，因此△ABM的最小周长为$AB+BC=\sqrt{10}+3\sqrt{2}$。
（3）存在满足条件的点N，理由如下：
设对称轴上N点坐标为$(2,n)$，已知$A(1,0)$、$B(0,3)$：
$AB^2=1^2+3^2=10$，
$NA^2=(2-1)^2+n^2=n^2+1$，
$NB^2=2^2+(n-3)^2=n^2-6n+13$。
因为△ABN是以AB为斜边的直角三角形，由勾股定理得$NA^2+NB^2=AB^2$，代入得：
$n^2+1+n^2-6n+13=10$
整理得$n^2-3n+2=0$，解得$n_1=1$，$n_2=2$，因此N点坐标为$(2,1)$或$(2,2)$。
【答案】
（1）$\begin{cases}a=1\\k=-1\end{cases}$
（2）存在，△ABM的周长最小为$3\sqrt{2}+\sqrt{10}$
（3）存在，N点坐标为$(2,1)$或$(2,2)$
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，勾股定理应用
【点评】
本题是二次函数综合题，融合了一次函数性质、轴对称的应用以及直角三角形的判定，既考查了基础计算能力，也考查了转化思想的应用，将动态的周长最小值问题转化为静态的线段长度计算，是二次函数的常见考查题型，需要熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.6
