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1. 通过配方，可以将二次函数$y=ax^2+bx+c$化成
$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$
.抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是$x = -\frac{b}{2a}$
，顶点是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a})$
.答案
1. $y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$
对称轴 $x = -\frac{b}{2a}$
顶点 $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a})$
对称轴 $x = -\frac{b}{2a}$
顶点 $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a})$
解析
【分析】
本题考查二次函数一般式到顶点式的配方转化，以及由顶点式推导对称轴和顶点坐标的方法。思考路径如下：首先回忆配方法的操作规则，先将二次项系数提出来，再给括号内的二次项和一次项凑完全平方，注意要恒等变形，即加一个数的同时要减去相同的数，最后化简常数项得到顶点式；再根据顶点式的结构特征，直接对应写出对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
对二次函数$y=ax^2+bx+c$配方：
1. 提取二次项系数$a$：$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$
2. 凑完全平方：给括号内加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，同时减去$(\frac{b}{2a})^2$保证式子值不变：
$y=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c$
3. 合并完全平方式，化简常数项：
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2 - a·\frac{b^2}{4a^2} + c = a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
根据得到的顶点式可知：抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$；$x = -\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数的配方；二次函数顶点式；二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是掌握配方法的操作步骤，熟记二次函数顶点式对应的对称轴和顶点坐标，这是后续学习二次函数图像与性质的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数一般式到顶点式的配方转化，以及由顶点式推导对称轴和顶点坐标的方法。思考路径如下：首先回忆配方法的操作规则，先将二次项系数提出来，再给括号内的二次项和一次项凑完全平方，注意要恒等变形，即加一个数的同时要减去相同的数，最后化简常数项得到顶点式；再根据顶点式的结构特征，直接对应写出对称轴和顶点坐标即可。
【解析】
对二次函数$y=ax^2+bx+c$配方：
1. 提取二次项系数$a$：$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$
2. 凑完全平方：给括号内加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，同时减去$(\frac{b}{2a})^2$保证式子值不变：
$y=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c$
3. 合并完全平方式，化简常数项：
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2 - a·\frac{b^2}{4a^2} + c = a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
根据得到的顶点式可知：抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
【答案】
$y = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$；$x = -\frac{b}{2a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a})$
【知识点】
二次函数的配方；二次函数顶点式；二次函数对称轴与顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是掌握配方法的操作步骤，熟记二次函数顶点式对应的对称轴和顶点坐标，这是后续学习二次函数图像与性质的重要基础。
【难度系数】
0.9
2. 对于抛物线 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0) $：
（1）若 $ a ＞ 0 $，则抛物线开口向
（2）若 $ a ＜ 0 $，则抛物线开口向
（3）与 $ y $ 轴的交点是
（1）若 $ a ＞ 0 $，则抛物线开口向
上
，当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
；当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
；当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 有最小
值，为$\frac{4ac - b^2}{4a}$
。（2）若 $ a ＜ 0 $，则抛物线开口向
下
，当 $ x ＜ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
；当 $ x ＞ -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
；当 $ x = -\frac{b}{2a} $ 时，$ y $ 有最大
值，为$\frac{4ac - b^2}{4a}$
。（3）与 $ y $ 轴的交点是
$(0, c)$
。答案
2. (1) 上 减小 增大 小 $\frac{4ac - b^2}{4a}$
(2) 下 增大 减小 大 $\frac{4ac - b^2}{4a}$
(3) $(0, c)$
(2) 下 增大 减小 大 $\frac{4ac - b^2}{4a}$
(3) $(0, c)$
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题思路如下：1. 先根据二次项系数a的正负判断抛物线的开口方向；2. 结合抛物线对称轴$x=-\frac{b}{2a}$，根据开口方向判断对称轴两侧y随x的增减变化规律，以及顶点处的最值类型，最值即为顶点的纵坐标；3. 求与y轴交点时，利用y轴上点的横坐标为0的特点，代入解析式计算即可得到交点坐标。
【解析】
（1）当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$：
在对称轴左侧即$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；
在对称轴右侧即$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；
当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最小值，代入解析式计算得最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
（2）当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$：
在对称轴左侧即$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；
在对称轴右侧即$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；
当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
（3）y轴上的点横坐标均为0，将$x=0$代入$y=ax^2+bx+c$，得$y=c$，因此抛物线与y轴的交点为$(0,c)$。
【答案】
(1) 上 减小 增大 小 $\frac{4ac - b^2}{4a}$
(2) 下 增大 减小 大 $\frac{4ac - b^2}{4a}$
(3) $(0, c)$
【知识点】
二次函数基本性质，二次函数增减性与最值，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于二次函数的基础概念题，核心考察对二次函数图象特征、增减变化规律、最值、特殊点坐标的识记，是学习二次函数相关内容的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的基本性质，解题思路如下：1. 先根据二次项系数a的正负判断抛物线的开口方向；2. 结合抛物线对称轴$x=-\frac{b}{2a}$，根据开口方向判断对称轴两侧y随x的增减变化规律，以及顶点处的最值类型，最值即为顶点的纵坐标；3. 求与y轴交点时，利用y轴上点的横坐标为0的特点，代入解析式计算即可得到交点坐标。
【解析】
（1）当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$：
在对称轴左侧即$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；
在对称轴右侧即$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；
当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最小值，代入解析式计算得最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
（2）当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$：
在对称轴左侧即$x＜-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大；
在对称轴右侧即$x＞-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而减小；
当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值，最大值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
（3）y轴上的点横坐标均为0，将$x=0$代入$y=ax^2+bx+c$，得$y=c$，因此抛物线与y轴的交点为$(0,c)$。
【答案】
(1) 上 减小 增大 小 $\frac{4ac - b^2}{4a}$
(2) 下 增大 减小 大 $\frac{4ac - b^2}{4a}$
(3) $(0, c)$
【知识点】
二次函数基本性质，二次函数增减性与最值，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于二次函数的基础概念题，核心考察对二次函数图象特征、增减变化规律、最值、特殊点坐标的识记，是学习二次函数相关内容的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. 将二次函数$y=x^2 -6x +8$用配方法化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式为（
A.$y=(x-3)^2 -1$
B.$y=(x-3)^2 +1$
C.$y=(x+3)^2 -1$
D.$y=(x+3)^2 +1$
A
）.A.$y=(x-3)^2 -1$
B.$y=(x-3)^2 +1$
C.$y=(x+3)^2 -1$
D.$y=(x+3)^2 +1$
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，解题思路如下：首先将二次函数中含x的二次项和一次项组合在一起，把常数项单独分离；接下来根据完全平方公式的结构，给含x的项加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，注意为了保持函数值不变，要同时减去相同的数；最后整理成顶点式$y=a(x-h)^2 +k$的形式，匹配选项即可。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -6x +8$进行配方：
第一步：分离含x的项与常数项，得：
$y=(x^2 -6x) +8$
第二步：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给括号内加9凑完全平方，同时括号外减9保证等式成立：
$y=(x^2 -6x +9) +8 -9$
第三步：将括号内的式子写成完全平方形式，合并常数项：
$y=(x-3)^2 -1$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法的应用
2.二次函数一般式化顶点式
3.完全平方公式
【点评】
本题是二次函数配方的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其要注意一次项系数的符号，避免在写完全平方的底数以及计算常数项时出现符号错误，属于必须掌握的基础得分点。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，解题思路如下：首先将二次函数中含x的二次项和一次项组合在一起，把常数项单独分离；接下来根据完全平方公式的结构，给含x的项加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，注意为了保持函数值不变，要同时减去相同的数；最后整理成顶点式$y=a(x-h)^2 +k$的形式，匹配选项即可。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -6x +8$进行配方：
第一步：分离含x的项与常数项，得：
$y=(x^2 -6x) +8$
第二步：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，给括号内加9凑完全平方，同时括号外减9保证等式成立：
$y=(x^2 -6x +9) +8 -9$
第三步：将括号内的式子写成完全平方形式，合并常数项：
$y=(x-3)^2 -1$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法的应用
2.二次函数一般式化顶点式
3.完全平方公式
【点评】
本题是二次函数配方的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其要注意一次项系数的符号，避免在写完全平方的底数以及计算常数项时出现符号错误，属于必须掌握的基础得分点。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数$y=x^2 - 2bx + c$（$b$，$c$为常数），当$b-1≤ x≤ b+2$时，该函数的最大值与最小值的差是$-2k$，则$k$的值为（
A.$-1$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.$-2$
D.$-\dfrac{5}{2}$
C
）.A.$-1$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.$-2$
D.$-\dfrac{5}{2}$
答案
2. C
解析
【分析】
首先判断二次函数的开口方向与对称轴：二次项系数为1＞0，图象开口向上，由对称轴公式可得对称轴为直线$x=b$，该对称轴恰好落在给定区间$[b-1,b+2]$内。开口向上的二次函数在对称轴处取最小值，再比较区间两个端点到对称轴的距离，距离更远的端点取最大值，计算出最值差后结合题设条件列方程即可求出$k$的值。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-2bx+c$：
1. 确定基本性质：二次项系数$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为$x=\frac{2b}{2×1}=b$，且$x=b$在区间$b-1≤ x≤ b+2$内。
2. 计算最小值：开口向上的二次函数在对称轴处取最小值，将$x=b$代入得：
$y_{\mathrm{min}}=b^2-2b· b + c = c - b^2$
3. 计算最大值：区间端点到对称轴的距离：左端点$x=b-1$距离为1，右端点$x=b+2$距离为2，开口向上时离对称轴越远函数值越大，故最大值在$x=b+2$处取得，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=(b+2)^2-2b(b+2)+c = b^2+4b+4-2b^2-4b+c = c - b^2 +4$
4. 列方程求解：最值差为$y_{\mathrm{max}}-y_{\mathrm{min}}=4$，由题知该差等于$-2k$，即$4=-2k$，解得$k=-2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题核心是利用二次函数开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，熟练掌握开口向上的抛物线“近轴小、远轴大”的函数值变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先判断二次函数的开口方向与对称轴：二次项系数为1＞0，图象开口向上，由对称轴公式可得对称轴为直线$x=b$，该对称轴恰好落在给定区间$[b-1,b+2]$内。开口向上的二次函数在对称轴处取最小值，再比较区间两个端点到对称轴的距离，距离更远的端点取最大值，计算出最值差后结合题设条件列方程即可求出$k$的值。
【解析】
对于二次函数$y=x^2-2bx+c$：
1. 确定基本性质：二次项系数$a=1＞0$，图象开口向上，对称轴为$x=\frac{2b}{2×1}=b$，且$x=b$在区间$b-1≤ x≤ b+2$内。
2. 计算最小值：开口向上的二次函数在对称轴处取最小值，将$x=b$代入得：
$y_{\mathrm{min}}=b^2-2b· b + c = c - b^2$
3. 计算最大值：区间端点到对称轴的距离：左端点$x=b-1$距离为1，右端点$x=b+2$距离为2，开口向上时离对称轴越远函数值越大，故最大值在$x=b+2$处取得，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=(b+2)^2-2b(b+2)+c = b^2+4b+4-2b^2-4b+c = c - b^2 +4$
4. 列方程求解：最值差为$y_{\mathrm{max}}-y_{\mathrm{min}}=4$，由题知该差等于$-2k$，即$4=-2k$，解得$k=-2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题核心是利用二次函数开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，熟练掌握开口向上的抛物线“近轴小、远轴大”的函数值变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如果在二次函数的解析式$y=2x^2+bx+c$中，$b＞0$，$c＜0$，那么这个二次函数的图象可能是（
B
）。答案
3. B
解析
【分析】
判断二次函数图象可根据系数a、b、c对应的图象特征，用排除法逐步筛选：首先由a的符号确定开口方向，再由c的符号确定抛物线与y轴的交点位置，最后结合a、b的符号确定对称轴的位置，即可锁定正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数解析式中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，选项A开口向下，不符合要求，排除A；
2. 判断与y轴的交点：当$x=0$时，$y=c$，已知$c＜0$，说明抛物线与y轴交于负半轴，选项D与y轴交于正半轴，不符合要求，排除D；
3. 判断对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2＞0$、$b＞0$，可得$x=-\frac{b}{4}＜0$，即对称轴在y轴左侧，选项C的对称轴在y轴右侧，不符合要求，排除C。
综上只有选项B符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数图象判断的基础题，核心是掌握a、b、c三个系数分别对应抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置的规律，熟练运用排除法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
判断二次函数图象可根据系数a、b、c对应的图象特征，用排除法逐步筛选：首先由a的符号确定开口方向，再由c的符号确定抛物线与y轴的交点位置，最后结合a、b的符号确定对称轴的位置，即可锁定正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数解析式中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，选项A开口向下，不符合要求，排除A；
2. 判断与y轴的交点：当$x=0$时，$y=c$，已知$c＜0$，说明抛物线与y轴交于负半轴，选项D与y轴交于正半轴，不符合要求，排除D；
3. 判断对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2＞0$、$b＞0$，可得$x=-\frac{b}{4}＜0$，即对称轴在y轴左侧，选项C的对称轴在y轴右侧，不符合要求，排除C。
综上只有选项B符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数图象判断的基础题，核心是掌握a、b、c三个系数分别对应抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置的规律，熟练运用排除法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
