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4. 关于二次函数$y=-4x^2+8x+3$，下列说法正确的是（
A.其图象的开口向上
B.其图象的对称轴为$x=-1$
C.其最小值为7
D.当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大
D
）.A.其图象的开口向上
B.其图象的对称轴为$x=-1$
C.其最小值为7
D.当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
4. D
解析
【分析】
解题时需先明确二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的基本性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴可通过公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，开口方向决定函数取最大值还是最小值，结合对称轴可判断函数的增减性。我们先确定本题中$a、b、c$的取值，再逐个验证选项即可。
【解析】
二次函数$y=-4x^2+8x+3$中，$a=-4$，$b=8$，$c=3$：
1. 判断选项A：$a=-4＜0$，因此抛物线图象开口向下，A错误；
2. 判断选项B：代入对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-4)}=1$，即对称轴为$x=1$，B错误；
3. 判断选项C：因抛物线开口向下，函数只有最大值，无最小值。将$x=1$代入函数得$y=-4×1^2+8×1+3=7$，即函数最大值为7，C错误；
4. 判断选项D：抛物线开口向下，在对称轴左侧即$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质、二次函数的对称轴、二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础类题目，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、最值、增减性的判断规则，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的基本性质：$a$的符号决定开口方向，对称轴可通过公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，开口方向决定函数取最大值还是最小值，结合对称轴可判断函数的增减性。我们先确定本题中$a、b、c$的取值，再逐个验证选项即可。
【解析】
二次函数$y=-4x^2+8x+3$中，$a=-4$，$b=8$，$c=3$：
1. 判断选项A：$a=-4＜0$，因此抛物线图象开口向下，A错误；
2. 判断选项B：代入对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-4)}=1$，即对称轴为$x=1$，B错误；
3. 判断选项C：因抛物线开口向下，函数只有最大值，无最小值。将$x=1$代入函数得$y=-4×1^2+8×1+3=7$，即函数最大值为7，C错误；
4. 判断选项D：抛物线开口向下，在对称轴左侧即$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质、二次函数的对称轴、二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础类题目，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、最值、增减性的判断规则，即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.7
5. 已知点$A(-2, y_1)$，$B(1, y_2)$在抛物线$y=x^2 - 2x - 3$上，则$y_1$与$y_2$的大小关系是（
A.$y_1 ＞ y_2$
B.$y_1 ＜ y_2$
C.$y_1 = y_2$
D.无法确定
A
）。A.$y_1 ＞ y_2$
B.$y_1 ＜ y_2$
C.$y_1 = y_2$
D.无法确定
答案
5. A
解析
【分析】
要比较抛物线上两点纵坐标的大小，有两种符合学段要求的常用思路：①直接代入法：将两点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$的值，再比较大小，这种方法直观易操作；②性质判断法：先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据两点到对称轴的距离判断函数值大小，开口向上时，点离对称轴越远对应的函数值越大，开口向下时反之。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A$的横坐标$x=-2$代入抛物线解析式$y=x^2 - 2x - 3$，得：
$y_1=(-2)^2 - 2×(-2) - 3=4+4-3=5$
将点$B$的横坐标$x=1$代入抛物线解析式，得：
$y_2=1^2 - 2×1 - 3=1-2-3=-4$
因为$5＞-4$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：性质判断法
抛物线$y=x^2 - 2x - 3$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，即点$B$在抛物线的对称轴上，$y_2$是抛物线的最小值，
点$A$到对称轴的距离为$|-2 -1|=3＞0$，因此点$A$对应的函数值更大，即$y_1＞y_2$。
综上应选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，考查抛物线上点的函数值比较，解题方法灵活，既可以通过直接代入计算快速得出结果，也可以利用二次函数的开口方向、对称轴性质判断，有助于巩固二次函数的基础性质。
【难度系数】
0.9
要比较抛物线上两点纵坐标的大小，有两种符合学段要求的常用思路：①直接代入法：将两点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应的$y_1$、$y_2$的值，再比较大小，这种方法直观易操作；②性质判断法：先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据两点到对称轴的距离判断函数值大小，开口向上时，点离对称轴越远对应的函数值越大，开口向下时反之。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A$的横坐标$x=-2$代入抛物线解析式$y=x^2 - 2x - 3$，得：
$y_1=(-2)^2 - 2×(-2) - 3=4+4-3=5$
将点$B$的横坐标$x=1$代入抛物线解析式，得：
$y_2=1^2 - 2×1 - 3=1-2-3=-4$
因为$5＞-4$，所以$y_1＞y_2$。
方法二：性质判断法
抛物线$y=x^2 - 2x - 3$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，即点$B$在抛物线的对称轴上，$y_2$是抛物线的最小值，
点$A$到对称轴的距离为$|-2 -1|=3＞0$，因此点$A$对应的函数值更大，即$y_1＞y_2$。
综上应选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，考查抛物线上点的函数值比较，解题方法灵活，既可以通过直接代入计算快速得出结果，也可以利用二次函数的开口方向、对称轴性质判断，有助于巩固二次函数的基础性质。
【难度系数】
0.9
6. 在二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则这个二次函数的图象可能是（
C
）。答案
6. C
解析
【分析】
解决这道题需要结合二次函数图象与系数的对应关系，分步筛选选项：首先根据a的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再根据c的符号判断图象与y轴的交点位置，进一步排除错误选项；最后根据a和b的符号判断对称轴位置，锁定正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数中$a＞0$，因此图象开口向上，选项A开口向下，排除A；
2. 判断与y轴交点：当$x=0$时，$y=c$，已知$c＜0$，说明图象与y轴交于负半轴，选项D与y轴交于正半轴，排除D；
3. 判断对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，已知$a＞0$，$b＜0$，因此$-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧。选项B的对称轴为y轴（对应$b=0$），不符合条件，排除B；
4. 选项C满足开口向上、与y轴交于负半轴、对称轴在y轴右侧的所有条件，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数对称轴性质；二次函数截距特征
【点评】
本题是二次函数图象部分的基础题型，核心考查系数$a、b、c$对图象的影响，熟练掌握“开口看a，纵截距看c，对称轴位置看a和b的符号”的规律，即可通过排除法快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要结合二次函数图象与系数的对应关系，分步筛选选项：首先根据a的符号判断开口方向，排除不符合的选项；再根据c的符号判断图象与y轴的交点位置，进一步排除错误选项；最后根据a和b的符号判断对称轴位置，锁定正确答案。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数中$a＞0$，因此图象开口向上，选项A开口向下，排除A；
2. 判断与y轴交点：当$x=0$时，$y=c$，已知$c＜0$，说明图象与y轴交于负半轴，选项D与y轴交于正半轴，排除D；
3. 判断对称轴位置：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，已知$a＞0$，$b＜0$，因此$-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧。选项B的对称轴为y轴（对应$b=0$），不符合条件，排除B；
4. 选项C满足开口向上、与y轴交于负半轴、对称轴在y轴右侧的所有条件，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数对称轴性质；二次函数截距特征
【点评】
本题是二次函数图象部分的基础题型，核心考查系数$a、b、c$对图象的影响，熟练掌握“开口看a，纵截距看c，对称轴位置看a和b的符号”的规律，即可通过排除法快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 在平面直角坐标系中，已知二次函数$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象过$A(-1,1)$，$B(3,3)$两点. 下面四个推论中，正确的是
①若该二次函数图象过点$(1,4)$，则该二次函数有最大值；
②若该二次函数图象过点$(0,0)$，则当$x＜0$时，函数$y$随$x$的增大而增大；
③若该二次函数图象过点$(1,4)$，则$1＜h＜2$；
④若该二次函数图象开口向上，且$1＜a＜2$，则$\frac{3}{4}＜h＜\frac{7}{8}$.
①③④
. (填序号)①若该二次函数图象过点$(1,4)$，则该二次函数有最大值；
②若该二次函数图象过点$(0,0)$，则当$x＜0$时，函数$y$随$x$的增大而增大；
③若该二次函数图象过点$(1,4)$，则$1＜h＜2$；
④若该二次函数图象开口向上，且$1＜a＜2$，则$\frac{3}{4}＜h＜\frac{7}{8}$.
答案
7. ①③④
解析
【分析】
首先将已知点A(-1,1)、B(3,3)代入二次函数顶点式，消去参数k得到a和h的核心关系式，再结合每个推论给出的额外条件，分别计算a、h的取值或范围，逐一验证推论是否正确。
【解析】
将A(-1,1)、B(3,3)代入$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$得：
$\begin{cases}1=a(-1-h)^2 +k \quad \mathrm{(1)} \\3=a(3-h)^2 +k \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用(2)-(1)消去k：
$2=a[(3-h)^2 - (h+1)^2]$
由平方差公式化简右边：
$(3-h)^2 - (h+1)^2=(3-h-h-1)(3-h+h+1)=8(1-h)$
整理得核心关系式：$4a(1-h)=1$ --- (3)
验证①
若图象过$(1,4)$，代入得$4=a(1-h)^2 +k$ --- (4)
(4)-(1)消去k：
$3=a[(1-h)^2 - (h+1)^2]=a×(-4h)$
得$ah=-\frac{3}{4}$ --- (5)
将(5)代入(3)：$4a - 4ah=1 \implies 4a+3=1 \implies a=-\frac{1}{2}＜0$
抛物线开口向下，因此二次函数有最大值，①正确。
验证②
若图象过$(0,0)$，代入得$0=ah^2 +k$ --- (6)
(1)-(6)消去k：
$1=a[(h+1)^2 -h^2]=a(2h+1)$ --- (7)
联立(3)(7)，$a≠0$，得$2h+1=4(1-h) \implies h=\frac{1}{2}$
代入(3)得$a=\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=\frac{1}{2}$
开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小，$x＜0$在$x＜\frac{1}{2}$范围内，故x＜0时y随x增大而减小，②错误。
验证③
由①的计算结果，$a=-\frac{1}{2}$，代入(5)得$h=\frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$，显然$1＜\frac{3}{2}＜2$，③正确。
验证④
开口向上则$a＞0$，已知$1＜a＜2$，由(3)变形得$h=1-\frac{1}{4a}$
∵$1＜a＜2$，
∴$\frac{1}{8}＜\frac{1}{4a}＜\frac{1}{4}$
不等式变形得：$1-\frac{1}{4}＜1-\frac{1}{4a}＜1-\frac{1}{8}$，即$\frac{3}{4}＜h＜\frac{7}{8}$，④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数性质，不等式的应用
【点评】
本题需要结合已知点建立二次函数参数之间的关系，重点考查对二次函数开口方向、增减性、最值等核心性质的掌握，同时要求学生具备联立方程、利用不等式求参数范围的运算能力。
【难度系数】
0.65
首先将已知点A(-1,1)、B(3,3)代入二次函数顶点式，消去参数k得到a和h的核心关系式，再结合每个推论给出的额外条件，分别计算a、h的取值或范围，逐一验证推论是否正确。
【解析】
将A(-1,1)、B(3,3)代入$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$得：
$\begin{cases}1=a(-1-h)^2 +k \quad \mathrm{(1)} \\3=a(3-h)^2 +k \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用(2)-(1)消去k：
$2=a[(3-h)^2 - (h+1)^2]$
由平方差公式化简右边：
$(3-h)^2 - (h+1)^2=(3-h-h-1)(3-h+h+1)=8(1-h)$
整理得核心关系式：$4a(1-h)=1$ --- (3)
验证①
若图象过$(1,4)$，代入得$4=a(1-h)^2 +k$ --- (4)
(4)-(1)消去k：
$3=a[(1-h)^2 - (h+1)^2]=a×(-4h)$
得$ah=-\frac{3}{4}$ --- (5)
将(5)代入(3)：$4a - 4ah=1 \implies 4a+3=1 \implies a=-\frac{1}{2}＜0$
抛物线开口向下，因此二次函数有最大值，①正确。
验证②
若图象过$(0,0)$，代入得$0=ah^2 +k$ --- (6)
(1)-(6)消去k：
$1=a[(h+1)^2 -h^2]=a(2h+1)$ --- (7)
联立(3)(7)，$a≠0$，得$2h+1=4(1-h) \implies h=\frac{1}{2}$
代入(3)得$a=\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为$x=\frac{1}{2}$
开口向上时对称轴左侧y随x增大而减小，$x＜0$在$x＜\frac{1}{2}$范围内，故x＜0时y随x增大而减小，②错误。
验证③
由①的计算结果，$a=-\frac{1}{2}$，代入(5)得$h=\frac{-\frac{3}{4}}{-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$，显然$1＜\frac{3}{2}＜2$，③正确。
验证④
开口向上则$a＞0$，已知$1＜a＜2$，由(3)变形得$h=1-\frac{1}{4a}$
∵$1＜a＜2$，
∴$\frac{1}{8}＜\frac{1}{4a}＜\frac{1}{4}$
不等式变形得：$1-\frac{1}{4}＜1-\frac{1}{4a}＜1-\frac{1}{8}$，即$\frac{3}{4}＜h＜\frac{7}{8}$，④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数性质，不等式的应用
【点评】
本题需要结合已知点建立二次函数参数之间的关系，重点考查对二次函数开口方向、增减性、最值等核心性质的掌握，同时要求学生具备联立方程、利用不等式求参数范围的运算能力。
【难度系数】
0.65
8. 如图26.2-11，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象顶点在第三象限，且经过A(2，0)，B(0，-2)两点，以下结论中，正确的有（
①$abc＜0$；②$2a+b=1$；③$0＜2a+b+c＜1$；④$0＜b＜1$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）。①$abc＜0$；②$2a+b=1$；③$0＜2a+b+c＜1$；④$0＜b＜1$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先将已知点A、B代入二次函数解析式，得到c的值及a与b的数量关系，再结合开口方向、顶点在第三象限的性质，判断a、b的符号和取值范围，逐个验证4个结论是否成立即可。
【解析】
1. 代入点B(0,-2)到$y=ax^2+bx+c$，得$x=0$时，$y=c=-2$，即$c=-2$。
2. 代入点A(2,0)到解析式，得$4a+2b+c=0$，把$c=-2$代入得$4a+2b=2$，化简得$2a+b=1$，故结论②正确。
3. 分析系数符号：二次函数顶点在第三象限，且过A(2,0)、B(0,-2)，可知抛物线开口向上，故$a＞0$；顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}＜0$（第三象限横坐标小于0），因$a＞0$，可得$b＞0$。
4. 验证结论①：$a＞0$，$b＞0$，$c=-2＜0$，因此$abc＜0$，故①正确。
5. 验证结论④：由$2a+b=1$得$b=1-2a$，因$a＞0$，所以$1-2a＜1$，即$b＜1$，结合$b＞0$可得$0＜b＜1$，故④正确。
6. 验证结论③：已知$2a+b=1$，$c=-2$，因此$2a+b+c=1-2=-1＜0$，不满足$0＜2a+b+c＜1$，故③错误。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与性质、二次函数系数与图像的关系
【点评】
本题核心是结合二次函数经过的定点、顶点位置推导系数的符号和取值关系，解题关键是先代入定点得到系数的固定关系，再结合图像性质逐一验证结论，属于二次函数常考的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时先将已知点A、B代入二次函数解析式，得到c的值及a与b的数量关系，再结合开口方向、顶点在第三象限的性质，判断a、b的符号和取值范围，逐个验证4个结论是否成立即可。
【解析】
1. 代入点B(0,-2)到$y=ax^2+bx+c$，得$x=0$时，$y=c=-2$，即$c=-2$。
2. 代入点A(2,0)到解析式，得$4a+2b+c=0$，把$c=-2$代入得$4a+2b=2$，化简得$2a+b=1$，故结论②正确。
3. 分析系数符号：二次函数顶点在第三象限，且过A(2,0)、B(0,-2)，可知抛物线开口向上，故$a＞0$；顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}＜0$（第三象限横坐标小于0），因$a＞0$，可得$b＞0$。
4. 验证结论①：$a＞0$，$b＞0$，$c=-2＜0$，因此$abc＜0$，故①正确。
5. 验证结论④：由$2a+b=1$得$b=1-2a$，因$a＞0$，所以$1-2a＜1$，即$b＜1$，结合$b＞0$可得$0＜b＜1$，故④正确。
6. 验证结论③：已知$2a+b=1$，$c=-2$，因此$2a+b+c=1-2=-1＜0$，不满足$0＜2a+b+c＜1$，故③错误。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与性质、二次函数系数与图像的关系
【点评】
本题核心是结合二次函数经过的定点、顶点位置推导系数的符号和取值关系，解题关键是先代入定点得到系数的固定关系，再结合图像性质逐一验证结论，属于二次函数常考的典型题型。
【难度系数】
0.6
9. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图26.2-12所示，当$0≤x≤2$时，函数$y$的取值范围为
$-3≤y≤1$
。答案
9. $-3≤y≤1$
解析
【分析】
要解决二次函数给定区间的取值范围问题，需按以下思路思考：首先从图像提取关键信息：开口方向、对称轴、顶点坐标、特殊点的函数值；其次判断给定区间[0,2]与对称轴的位置关系，若对称轴在区间内，则顶点处为函数的最值点；最后结合二次函数的对称性，求出区间端点的函数值，比较后即可得到y的取值范围。本题中由图像可知二次函数开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,1)，x=0时y=-3，且区间[0,2]关于x=1对称，即可推导范围。
【解析】
解：由二次函数图像可得：
1. 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$；
2. 给定区间$0≤ x≤2$，对称轴$x=1$在该区间内，因此当$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=1$；
3. 由于二次函数图像关于对称轴$x=1$对称，因此$x=0$和$x=2$处的函数值相等，由图像可知$x=0$时$y=-3$，即区间端点处$y=-3$，为该区间内$y$的最小值；
综上，当$0≤ x≤2$时，函数$y$的取值范围为$-3≤ y≤1$。
【答案】
$-3≤ y≤1$
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；二次函数区间最值
【点评】
本题重点考查对二次函数性质的灵活运用，解题的核心是准确找到对称轴，判断对称轴与给定区间的位置关系，避免直接仅代入区间端点求最值的错误，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数给定区间的取值范围问题，需按以下思路思考：首先从图像提取关键信息：开口方向、对称轴、顶点坐标、特殊点的函数值；其次判断给定区间[0,2]与对称轴的位置关系，若对称轴在区间内，则顶点处为函数的最值点；最后结合二次函数的对称性，求出区间端点的函数值，比较后即可得到y的取值范围。本题中由图像可知二次函数开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,1)，x=0时y=-3，且区间[0,2]关于x=1对称，即可推导范围。
【解析】
解：由二次函数图像可得：
1. 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,1)$；
2. 给定区间$0≤ x≤2$，对称轴$x=1$在该区间内，因此当$x=1$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{max}}=1$；
3. 由于二次函数图像关于对称轴$x=1$对称，因此$x=0$和$x=2$处的函数值相等，由图像可知$x=0$时$y=-3$，即区间端点处$y=-3$，为该区间内$y$的最小值；
综上，当$0≤ x≤2$时，函数$y$的取值范围为$-3≤ y≤1$。
【答案】
$-3≤ y≤1$
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；二次函数区间最值
【点评】
本题重点考查对二次函数性质的灵活运用，解题的核心是准确找到对称轴，判断对称轴与给定区间的位置关系，避免直接仅代入区间端点求最值的错误，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
