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10. 已知二次函数$y=-x^2+4x-3$。
（1）将$y=-x^2+4x-3$化成$y=a(x-h)^2+k$的形式为
（2）补全表格，则$m=$
（1）将$y=-x^2+4x-3$化成$y=a(x-h)^2+k$的形式为
$y=-(x-2)^2+1$
；（2）补全表格，则$m=$
1
，$n=$3
（$m＜n$）。答案
10. （1）$y=-(x-2)^2+1$ （2）1 3
解析
【分析】
（1）将二次函数一般式化为顶点式，可采用配方法：先提取二次项系数，再对括号内的项凑完全平方式，整理即可得到顶点式形式。
（2）观察表格可知$x=0$和$x=4$对应的函数值相等，说明这两个点关于二次函数的对称轴对称，可先求出对称轴为直线$x=2$；$y=0$对应的两个横坐标$m$、$n$也关于对称轴对称，求解方程$-x^2+4x-3=0$，再结合$m＜n$的条件即可确定$m$、$n$的值。
【解析】
（1）利用配方法变形：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x-3\\&=-(x^2-4x)-3\\&=-(x^2-4x+4-4)-3\\&=-(x-2)^2+4-3\\&=-(x-2)^2+1\end{aligned}$
（2）由（1）的顶点式可知二次函数对称轴为直线$x=2$，当$y=0$时，解方程：
$\begin{aligned}-x^2+4x-3&=0\\x^2-4x+3&=0\\(x-1)(x-3)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=1$，$x_2=3$，因为$m＜n$，所以$m=1$，$n=3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-(x-2)^2+1}$；（2）$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{3}$
【知识点】
配方法化二次函数顶点式；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心是熟练掌握二次函数解析式的变形方法，以及利用对称性简化求解对应点坐标的思路，难度较低，是必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8
（1）将二次函数一般式化为顶点式，可采用配方法：先提取二次项系数，再对括号内的项凑完全平方式，整理即可得到顶点式形式。
（2）观察表格可知$x=0$和$x=4$对应的函数值相等，说明这两个点关于二次函数的对称轴对称，可先求出对称轴为直线$x=2$；$y=0$对应的两个横坐标$m$、$n$也关于对称轴对称，求解方程$-x^2+4x-3=0$，再结合$m＜n$的条件即可确定$m$、$n$的值。
【解析】
（1）利用配方法变形：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x-3\\&=-(x^2-4x)-3\\&=-(x^2-4x+4-4)-3\\&=-(x-2)^2+4-3\\&=-(x-2)^2+1\end{aligned}$
（2）由（1）的顶点式可知二次函数对称轴为直线$x=2$，当$y=0$时，解方程：
$\begin{aligned}-x^2+4x-3&=0\\x^2-4x+3&=0\\(x-1)(x-3)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=1$，$x_2=3$，因为$m＜n$，所以$m=1$，$n=3$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-(x-2)^2+1}$；（2）$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{3}$
【知识点】
配方法化二次函数顶点式；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心是熟练掌握二次函数解析式的变形方法，以及利用对称性简化求解对应点坐标的思路，难度较低，是必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.8
11. 已知二次函数$y=-x^2+4x-4$。
（1）写出此函数图象的对称轴；
（2）在图26.2-13所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）如果点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)(2＜x_1＜x_2)$均在该抛物线上，那么$y_1$
（填“＞”“＜”或“=”）
图26.2-13
（1）写出此函数图象的对称轴；
（2）在图26.2-13所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）如果点$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)(2＜x_1＜x_2)$均在该抛物线上，那么$y_1$
＞
$y_2$。（填“＞”“＜”或“=”）
图26.2-13
答案
11. （1）
∵$y=-x^2+4x-4=-(x-2)^2$，
∴此函数图象的对称轴为$x=2$。
（2）列表：
| $x$ | … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-x^2+4x-4$ | … | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | … |
描点、连线，画出函数图象，如图所示。
（3）＞
解析
【分析】
（1）求二次函数的对称轴，可通过配方法将函数一般式转化为顶点式，直接从顶点式中得到对称轴，也可使用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，本题配方法计算更简便。
（2）画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”三步，结合函数对称轴$x=2$，选取对称轴及左右对称的整数点计算对应函数值，再描点用平滑曲线连接即可。
（3）比较抛物线上两点的函数值大小，先判断抛物线的开口方向和两点所在区间的增减性：本函数开口向下，对称轴为$x=2$，在对称轴右侧（$x＞2$时），$y$随$x$的增大而减小，结合$2＜x_1＜x_2$的条件即可判断$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
（1）对二次函数进行配方变形：
$y=-x^2+4x-4=-(x^2-4x+4)=-(x-2)^2$
根据顶点式的性质，可得此函数图象的对称轴为直线$x=2$。
（2）第一步列表，选取对称轴$x=2$附近的整数点计算对应$y$值：
| $x$ | … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-x^2+4x-4$ | … | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | … |
第二步：根据上表的坐标在平面直角坐标系中描点，第三步用平滑的曲线依次连接各点，即可得到二次函数的图象。
（3）由$y=-(x-2)^2$可知，抛物线开口向下，对称轴为$x=2$，因此当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知$2＜x_1＜x_2$，即两点均在对称轴右侧，且$x_1＜x_2$，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
（1）对称轴为直线$x=2$；
（2）列表、描点、连线画出图象，如图所示：
（3）＞
【知识点】
二次函数的性质，二次函数图象的画法，二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数的基础考点展开，解题的核心是熟练掌握二次函数一般式化顶点式的方法，明确二次函数图象的绘制步骤，以及利用开口方向和对称轴判断函数增减性的规律，是对二次函数基础应用的考查。
【难度系数】
0.8
（1）求二次函数的对称轴，可通过配方法将函数一般式转化为顶点式，直接从顶点式中得到对称轴，也可使用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，本题配方法计算更简便。
（2）画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”三步，结合函数对称轴$x=2$，选取对称轴及左右对称的整数点计算对应函数值，再描点用平滑曲线连接即可。
（3）比较抛物线上两点的函数值大小，先判断抛物线的开口方向和两点所在区间的增减性：本函数开口向下，对称轴为$x=2$，在对称轴右侧（$x＞2$时），$y$随$x$的增大而减小，结合$2＜x_1＜x_2$的条件即可判断$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
（1）对二次函数进行配方变形：
$y=-x^2+4x-4=-(x^2-4x+4)=-(x-2)^2$
根据顶点式的性质，可得此函数图象的对称轴为直线$x=2$。
（2）第一步列表，选取对称轴$x=2$附近的整数点计算对应$y$值：
| $x$ | … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-x^2+4x-4$ | … | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | … |
第二步：根据上表的坐标在平面直角坐标系中描点，第三步用平滑的曲线依次连接各点，即可得到二次函数的图象。
（3）由$y=-(x-2)^2$可知，抛物线开口向下，对称轴为$x=2$，因此当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知$2＜x_1＜x_2$，即两点均在对称轴右侧，且$x_1＜x_2$，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
（1）对称轴为直线$x=2$；
（2）列表、描点、连线画出图象，如图所示：
（3）＞
【知识点】
二次函数的性质，二次函数图象的画法，二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数的基础考点展开，解题的核心是熟练掌握二次函数一般式化顶点式的方法，明确二次函数图象的绘制步骤，以及利用开口方向和对称轴判断函数增减性的规律，是对二次函数基础应用的考查。
【难度系数】
0.8
12. 如图26.2-14，二次函数$y=-x^2+bx+c$（$b$，$c$为实数）的图象经过点$A(3,1)$和$B(0,4)$。
（1）求该二次函数的解析式及其图象的顶点。
（2）点$C(m,n)$在该二次函数的图象上。
①若$m=-1$，求点$C$的坐标；
②当$m≤x≤3$时，$n$的最大值是5，最小值是1，求$m$的取值范围。
（1）求该二次函数的解析式及其图象的顶点。
（2）点$C(m,n)$在该二次函数的图象上。
①若$m=-1$，求点$C$的坐标；
②当$m≤x≤3$时，$n$的最大值是5，最小值是1，求$m$的取值范围。
答案
（1）
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$A(3,1)$和$B(0,4)$，
∴$\begin{cases}-9+3b+c=1,\\c=4.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=4.\end{cases}$
∴该二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+4$。
∵$y=-x^2+2x+4=-(x-1)^2+5$，
∴该二次函数图象的顶点为$(1,5)$。
（2）①
∵点$C(m,n)$在该二次函数的图象上，
∴当$m=-1$时，$n=-(-1)^2+2×(-1)+4=1$。
∴点$C$的坐标为$(-1,1)$。
②
∵抛物线$y=-x^2+2x+4$的顶点为$(1,5)$，
∴函数$y=-x^2+2x+4$的最大值为5。
∵$n$的最大值为5，点$C(m,n)$在该二次函数的图象上，
∴$m$的最大值为1。
令$y=1$，则$-x^2+2x+4=1$。
解方程，得$x_1=3$，$x_2=-1$。
∴$m$的取值范围为$-1≤ m≤1$。
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$A(3,1)$和$B(0,4)$，
∴$\begin{cases}-9+3b+c=1,\\c=4.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=4.\end{cases}$
∴该二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+4$。
∵$y=-x^2+2x+4=-(x-1)^2+5$，
∴该二次函数图象的顶点为$(1,5)$。
（2）①
∵点$C(m,n)$在该二次函数的图象上，
∴当$m=-1$时，$n=-(-1)^2+2×(-1)+4=1$。
∴点$C$的坐标为$(-1,1)$。
②
∵抛物线$y=-x^2+2x+4$的顶点为$(1,5)$，
∴函数$y=-x^2+2x+4$的最大值为5。
∵$n$的最大值为5，点$C(m,n)$在该二次函数的图象上，
∴$m$的最大值为1。
令$y=1$，则$-x^2+2x+4=1$。
解方程，得$x_1=3$，$x_2=-1$。
∴$m$的取值范围为$-1≤ m≤1$。
解析
【分析】
（1）求二次函数解析式时，已知函数图象经过两个点，可将两点坐标代入函数表达式，得到关于参数b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，得到解析式；求顶点坐标可将一般式通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点坐标。（2）①点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将m=-1代入解析式即可求出n的值，得到点C坐标。②先分析二次函数性质：该函数开口向下，顶点为最高点，最大值为5，因此区间[m,3]要包含顶点的横坐标x=1才能取到最大值5；再求出函数值为1时对应的x值，结合函数增减性分析，要使区间内最小值为1，m不能小于y=1时较小的x值，综合即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$A(3,1)$和$B(0,4)$，
∴将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}-9+3b+c=1,\\c=4.\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2,\\c=4.\end{cases}$
∴该二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+4$。
将解析式配方得：$y=-x^2+2x+4=-(x-1)^2+5$，
∴该二次函数图象的顶点为$(1,5)$。
（2）①
∵点$C(m,n)$在该二次函数的图象上，
∴当$m=-1$时，代入解析式得：
$n=-(-1)^2+2×(-1)+4=1$，
∴点$C$的坐标为$(-1,1)$。
②
∵抛物线$y=-x^2+2x+4$的顶点为$(1,5)$，且抛物线开口向下，
∴该二次函数的最大值为5，
∵在$m≤x≤3$范围内，n的最大值为5，
∴区间需包含x=1，即$m≤1$。
令$y=1$，则$-x^2+2x+4=1$，
整理得$x^2-2x-3=0$，解方程得$x_1=3$，$x_2=-1$，
结合函数增减性：当$x＜1$时，y随x的增大而增大，当$x＞1$时，y随x的增大而减小，要使区间内n的最小值为1，需$m≥-1$（若$m＜-1$，则x=m时的函数值小于1，不符合最小值为1的要求），
综上，m的取值范围为$-1≤ m≤1$。
【答案】
（1）二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+4}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(1,5)}$；
（2）①点C的坐标为$\boldsymbol{(-1,1)}$；②m的取值范围为$\boldsymbol{-1≤ m≤1}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题侧重考查二次函数的基础应用，涵盖了解析式求解、顶点坐标计算、区间最值分析等考点，解题时结合函数图象的开口方向、增减性分析，运用数形结合思想能更高效地确定参数的取值范围。
【难度系数】
0.7
（1）求二次函数解析式时，已知函数图象经过两个点，可将两点坐标代入函数表达式，得到关于参数b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，得到解析式；求顶点坐标可将一般式通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点坐标。（2）①点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将m=-1代入解析式即可求出n的值，得到点C坐标。②先分析二次函数性质：该函数开口向下，顶点为最高点，最大值为5，因此区间[m,3]要包含顶点的横坐标x=1才能取到最大值5；再求出函数值为1时对应的x值，结合函数增减性分析，要使区间内最小值为1，m不能小于y=1时较小的x值，综合即可得到m的取值范围。
【解析】
（1）
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$A(3,1)$和$B(0,4)$，
∴将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}-9+3b+c=1,\\c=4.\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2,\\c=4.\end{cases}$
∴该二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+4$。
将解析式配方得：$y=-x^2+2x+4=-(x-1)^2+5$，
∴该二次函数图象的顶点为$(1,5)$。
（2）①
∵点$C(m,n)$在该二次函数的图象上，
∴当$m=-1$时，代入解析式得：
$n=-(-1)^2+2×(-1)+4=1$，
∴点$C$的坐标为$(-1,1)$。
②
∵抛物线$y=-x^2+2x+4$的顶点为$(1,5)$，且抛物线开口向下，
∴该二次函数的最大值为5，
∵在$m≤x≤3$范围内，n的最大值为5，
∴区间需包含x=1，即$m≤1$。
令$y=1$，则$-x^2+2x+4=1$，
整理得$x^2-2x-3=0$，解方程得$x_1=3$，$x_2=-1$，
结合函数增减性：当$x＜1$时，y随x的增大而增大，当$x＞1$时，y随x的增大而减小，要使区间内n的最小值为1，需$m≥-1$（若$m＜-1$，则x=m时的函数值小于1，不符合最小值为1的要求），
综上，m的取值范围为$-1≤ m≤1$。
【答案】
（1）二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+4}$，顶点坐标为$\boldsymbol{(1,5)}$；
（2）①点C的坐标为$\boldsymbol{(-1,1)}$；②m的取值范围为$\boldsymbol{-1≤ m≤1}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题侧重考查二次函数的基础应用，涵盖了解析式求解、顶点坐标计算、区间最值分析等考点，解题时结合函数图象的开口方向、增减性分析，运用数形结合思想能更高效地确定参数的取值范围。
【难度系数】
0.7
