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1. (★)通过列表、描点、连线的方法,在同一平面直角坐标系中画出函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=-2x^2$的图象.
(1)分别列表：
(2)根据表中$x,y$的值在平面直角坐标系中描点,再用平滑曲线顺次连接各点,就得到
$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=-2x^2$的图象.
(1)分别列表：
(2)根据表中$x,y$的值在平面直角坐标系中描点,再用平滑曲线顺次连接各点,就得到
$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=-2x^2$的图象.
答案
解：
(1) 函数$y=\frac{1}{2}x^2$对应的y值从左到右依次为：$8,\ 4.5,\ 2,\ 0.5,\ 0,\ 0.5,\ 2,\ 4.5,\ 8$
函数$y=-2x^2$对应的y值从左到右依次为：$-8,\ -4.5,\ -2,\ -0.5,\ 0,\ -0.5,\ -2,\ -4.5,\ -8$
(2) 描点连线步骤：
1. 在平面直角坐标系中描出点$(-4,8),(-3,4.5),(-2,2),(-1,0.5),(0,0),(1,0.5),(2,2),(3,4.5),(4,8)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向上、顶点为原点的抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$；
2. 在同一坐标系中描出点$(-2,-8),(-1.5,-4.5),(-1,-2),(-0.5,-0.5),(0,0),(0.5,-0.5),(1,-2),(1.5,-4.5),(2,-8)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向下、顶点为原点的抛物线$y=-2x^2$。
(1) 函数$y=\frac{1}{2}x^2$对应的y值从左到右依次为：$8,\ 4.5,\ 2,\ 0.5,\ 0,\ 0.5,\ 2,\ 4.5,\ 8$
函数$y=-2x^2$对应的y值从左到右依次为：$-8,\ -4.5,\ -2,\ -0.5,\ 0,\ -0.5,\ -2,\ -4.5,\ -8$
(2) 描点连线步骤：
1. 在平面直角坐标系中描出点$(-4,8),(-3,4.5),(-2,2),(-1,0.5),(0,0),(1,0.5),(2,2),(3,4.5),(4,8)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向上、顶点为原点的抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$；
2. 在同一坐标系中描出点$(-2,-8),(-1.5,-4.5),(-1,-2),(-0.5,-0.5),(0,0),(0.5,-0.5),(1,-2),(1.5,-4.5),(2,-8)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向下、顶点为原点的抛物线$y=-2x^2$。
解析
【分析】
本题考查用描点法绘制二次函数图象，可按照“列表-描点-连线”三步推进解题：①列表阶段：利用$y=ax^2$类二次函数图象关于y轴对称的特点，选取关于原点对称的x值，分别代入两个函数解析式计算对应y值，同时根据二次项系数的大小合理选择x的取值范围，避免y值过大或过小难以描点；②描点阶段：将每组(x,y)对应的点准确标记在平面直角坐标系中；③连线阶段：用平滑曲线按x从小到大的顺序顺次连接各点，得到完整的抛物线图象。
【解析】
(1) 计算$y=\frac{1}{2}x^2$的对应y值：
当x取-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4时，代入解析式计算，结合函数对称性可得y值从左到右依次为$8,\ 4.5,\ 2,\ 0.5,\ 0,\ 0.5,\ 2,\ 4.5,\ 8$。
计算$y=-2x^2$的对应y值：
当x取-2、-1.5、-1、-0.5、0、0.5、1、1.5、2时，代入解析式计算，结合函数对称性可得y值从左到右依次为$-8,\ -4.5,\ -2,\ -0.5,\ 0,\ -0.5,\ -2,\ -4.5,\ -8$。
(2) 描点连线：
①先在坐标系中描出$y=\frac{1}{2}x^2$对应的9个点，用平滑曲线按x从小到大的顺序顺次连接，得到开口向上的抛物线；②再在同一坐标系中描出$y=-2x^2$对应的9个点，同样用平滑曲线顺次连接，得到开口向下的抛物线。
【答案】
(1) 函数$y=\frac{1}{2}x^2$对应的y值从左到右依次为：$8,\ 4.5,\ 2,\ 0.5,\ 0,\ 0.5,\ 2,\ 4.5,\ 8$
函数$y=-2x^2$对应的y值从左到右依次为：$-8,\ -4.5,\ -2,\ -0.5,\ 0,\ -0.5,\ -2,\ -4.5,\ -8$
(2) 描点连线步骤：
1. 在平面直角坐标系中描出点$(-4,8),(-3,4.5),(-2,2),(-1,0.5),(0,0),(1,0.5),(2,2),(3,4.5),(4,8)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向上、顶点为原点的抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$；
2. 在同一坐标系中描出点$(-2,-8),(-1.5,-4.5),(-1,-2),(-0.5,-0.5),(0,0),(0.5,-0.5),(1,-2),(1.5,-4.5),(2,-8)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向下、顶点为原点的抛物线$y=-2x^2$。
【知识点】
描点法画函数图象、二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数图象的基础作图题，重点考查描点法作图的规范步骤，通过作图可以直观感知二次项系数对抛物线开口方向、开口大小的影响，是后续学习二次函数性质的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查用描点法绘制二次函数图象，可按照“列表-描点-连线”三步推进解题：①列表阶段：利用$y=ax^2$类二次函数图象关于y轴对称的特点，选取关于原点对称的x值，分别代入两个函数解析式计算对应y值，同时根据二次项系数的大小合理选择x的取值范围，避免y值过大或过小难以描点；②描点阶段：将每组(x,y)对应的点准确标记在平面直角坐标系中；③连线阶段：用平滑曲线按x从小到大的顺序顺次连接各点，得到完整的抛物线图象。
【解析】
(1) 计算$y=\frac{1}{2}x^2$的对应y值：
当x取-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4时，代入解析式计算，结合函数对称性可得y值从左到右依次为$8,\ 4.5,\ 2,\ 0.5,\ 0,\ 0.5,\ 2,\ 4.5,\ 8$。
计算$y=-2x^2$的对应y值：
当x取-2、-1.5、-1、-0.5、0、0.5、1、1.5、2时，代入解析式计算，结合函数对称性可得y值从左到右依次为$-8,\ -4.5,\ -2,\ -0.5,\ 0,\ -0.5,\ -2,\ -4.5,\ -8$。
(2) 描点连线：
①先在坐标系中描出$y=\frac{1}{2}x^2$对应的9个点，用平滑曲线按x从小到大的顺序顺次连接，得到开口向上的抛物线；②再在同一坐标系中描出$y=-2x^2$对应的9个点，同样用平滑曲线顺次连接，得到开口向下的抛物线。
【答案】
(1) 函数$y=\frac{1}{2}x^2$对应的y值从左到右依次为：$8,\ 4.5,\ 2,\ 0.5,\ 0,\ 0.5,\ 2,\ 4.5,\ 8$
函数$y=-2x^2$对应的y值从左到右依次为：$-8,\ -4.5,\ -2,\ -0.5,\ 0,\ -0.5,\ -2,\ -4.5,\ -8$
(2) 描点连线步骤：
1. 在平面直角坐标系中描出点$(-4,8),(-3,4.5),(-2,2),(-1,0.5),(0,0),(1,0.5),(2,2),(3,4.5),(4,8)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向上、顶点为原点的抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$；
2. 在同一坐标系中描出点$(-2,-8),(-1.5,-4.5),(-1,-2),(-0.5,-0.5),(0,0),(0.5,-0.5),(1,-2),(1.5,-4.5),(2,-8)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向下、顶点为原点的抛物线$y=-2x^2$。
【知识点】
描点法画函数图象、二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数图象的基础作图题，重点考查描点法作图的规范步骤，通过作图可以直观感知二次项系数对抛物线开口方向、开口大小的影响，是后续学习二次函数性质的基础。
【难度系数】
0.8
2. (★)二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象叫作.每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的.顶点是抛物线的或.
答案
解：抛物线
顶点
最低点
最高点
顶点
最低点
最高点
解析
【分析】
本题属于二次函数基础概念识记类题目，解题时只需回忆教材中二次函数图像及抛物线相关的基础定义即可。首先明确二次函数图像的官方名称，再回忆抛物线对称轴与抛物线交点的定义，最后结合抛物线开口方向不同时顶点的最值属性，就能对应完成所有填空。
【解析】
根据二次函数的相关概念：
1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象叫做抛物线；
2. 每条抛物线的对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点；
3. 当$a＞0$时抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，因此顶点是抛物线的最低点或最高点。
【答案】
抛物线；顶点；最低点；最高点
【知识点】
二次函数的图象；抛物线的相关概念；抛物线的顶点性质
【点评】
本题是二次函数板块的入门基础题，主要考查对核心基础概念的记忆掌握情况，相关概念是后续学习二次函数图像性质、解析式求解、实际应用等内容的基础，需要熟练识记。
【难度系数】
0.9
本题属于二次函数基础概念识记类题目，解题时只需回忆教材中二次函数图像及抛物线相关的基础定义即可。首先明确二次函数图像的官方名称，再回忆抛物线对称轴与抛物线交点的定义，最后结合抛物线开口方向不同时顶点的最值属性，就能对应完成所有填空。
【解析】
根据二次函数的相关概念：
1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象叫做抛物线；
2. 每条抛物线的对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点；
3. 当$a＞0$时抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，因此顶点是抛物线的最低点或最高点。
【答案】
抛物线；顶点；最低点；最高点
【知识点】
二次函数的图象；抛物线的相关概念；抛物线的顶点性质
【点评】
本题是二次函数板块的入门基础题，主要考查对核心基础概念的记忆掌握情况，相关概念是后续学习二次函数图像性质、解析式求解、实际应用等内容的基础，需要熟练识记。
【难度系数】
0.9
3. (★)(1)一般地,当$a＞0$时,抛物线$y=ax^2$的开口,对称轴是,顶点是,顶点是抛物线的,a越大,抛物线的开口.从图象上看,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而.
(2)当$a＜0$时,抛物线$y=ax^2$的开口,对称轴是,顶点是,顶点是抛物线的,|a|越大,抛物线的开口.从图象上看,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而.
(2)当$a＜0$时,抛物线$y=ax^2$的开口,对称轴是,顶点是,顶点是抛物线的,|a|越大,抛物线的开口.从图象上看,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而;当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而.
答案
解：
(1) 向上；y轴；原点$(0,0)$；最低点；越小；减小；增大
(2) 向下；y轴；原点$(0,0)$；最高点；越小；增大；减小
(1) 向上；y轴；原点$(0,0)$；最低点；越小；减小；增大
(2) 向下；y轴；原点$(0,0)$；最高点；越小；增大；减小
解析
【分析】
这道题考查基础二次函数$y=ax^2$的图像与性质，解题时可按以下思路思考：①先由二次项系数$a$的符号判断开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②根据解析式$y=ax^2$的结构（无一次项、常数项），确定对称轴为y轴，顶点为原点$(0,0)$；③结合开口方向判断顶点是最高点还是最低点：开口向上顶点为最低点，开口向下顶点为最高点；④明确开口大小和$|a|$的关系：$|a|$越大，抛物线开口越窄即开口越小；⑤最后结合图像走势判断增减性：沿x轴正方向观察，图像上升则$y$随$x$增大而增大，图像下降则$y$随$x$增大而减小，分$x＜0$、$x＞0$两段分别判断即可。
【解析】
(1) 当$a＞0$时，二次项系数为正，抛物线$y=ax^2$开口向上；解析式中无一次项和常数项，对称轴是y轴，顶点是原点$(0,0)$；因为开口向上，顶点是抛物线的最低点；$a$越大，$|a|$越大，抛物线开口越小；从图像上看，$x＜0$时图像呈下降趋势，$y$随$x$的增大而减小；$x＞0$时图像呈上升趋势，$y$随$x$的增大而增大。
(2) 当$a＜0$时，二次项系数为负，抛物线$y=ax^2$开口向下；对称轴依然是y轴，顶点是原点$(0,0)$；因为开口向下，顶点是抛物线的最高点；$|a|$越大，抛物线开口越小；从图像上看，$x＜0$时图像呈上升趋势，$y$随$x$的增大而增大；$x＞0$时图像呈下降趋势，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1) 向上；y轴；原点$(0,0)$；最低点；越小；减小；增大
(2) 向下；y轴；原点$(0,0)$；最高点；越小；增大；减小
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数开口与a的关系
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础概念题，主要考查对最简单的二次函数图像与性质的识记，是后续学习更复杂二次函数的基础，需要熟练掌握不同$a$取值下对应的性质特征。
【难度系数】
0.9
这道题考查基础二次函数$y=ax^2$的图像与性质，解题时可按以下思路思考：①先由二次项系数$a$的符号判断开口方向：$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；②根据解析式$y=ax^2$的结构（无一次项、常数项），确定对称轴为y轴，顶点为原点$(0,0)$；③结合开口方向判断顶点是最高点还是最低点：开口向上顶点为最低点，开口向下顶点为最高点；④明确开口大小和$|a|$的关系：$|a|$越大，抛物线开口越窄即开口越小；⑤最后结合图像走势判断增减性：沿x轴正方向观察，图像上升则$y$随$x$增大而增大，图像下降则$y$随$x$增大而减小，分$x＜0$、$x＞0$两段分别判断即可。
【解析】
(1) 当$a＞0$时，二次项系数为正，抛物线$y=ax^2$开口向上；解析式中无一次项和常数项，对称轴是y轴，顶点是原点$(0,0)$；因为开口向上，顶点是抛物线的最低点；$a$越大，$|a|$越大，抛物线开口越小；从图像上看，$x＜0$时图像呈下降趋势，$y$随$x$的增大而减小；$x＞0$时图像呈上升趋势，$y$随$x$的增大而增大。
(2) 当$a＜0$时，二次项系数为负，抛物线$y=ax^2$开口向下；对称轴依然是y轴，顶点是原点$(0,0)$；因为开口向下，顶点是抛物线的最高点；$|a|$越大，抛物线开口越小；从图像上看，$x＜0$时图像呈上升趋势，$y$随$x$的增大而增大；$x＞0$时图像呈下降趋势，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1) 向上；y轴；原点$(0,0)$；最低点；越小；减小；增大
(2) 向下；y轴；原点$(0,0)$；最高点；越小；增大；减小
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数开口与a的关系
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础概念题，主要考查对最简单的二次函数图像与性质的识记，是后续学习更复杂二次函数的基础，需要熟练掌握不同$a$取值下对应的性质特征。
【难度系数】
0.9
4. (★)已知二次函数$y=2x^2$，当$x＞0$时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）。
答案
增大
解析
【分析】
拿到这道题可按三步思考：第一步先判断二次函数二次项系数的符号，确定抛物线开口方向；第二步明确该二次函数的对称轴位置；第三步判断给定的x取值范围在对称轴的哪一侧，结合开口方向就能推导y随x的变化规律。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2$，二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上；
该函数的对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
根据二次函数增减性规律：当$a＞0$时，对称轴右侧（$x＞0$的区域）y随x的增大而增大，因此当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
【答案】
增大
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；函数的增减性
【点评】
本题是基础题，核心考查二次函数增减性的判断，熟练掌握开口方向、对称轴与增减性的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
拿到这道题可按三步思考：第一步先判断二次函数二次项系数的符号，确定抛物线开口方向；第二步明确该二次函数的对称轴位置；第三步判断给定的x取值范围在对称轴的哪一侧，结合开口方向就能推导y随x的变化规律。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2$，二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上；
该函数的对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
根据二次函数增减性规律：当$a＞0$时，对称轴右侧（$x＞0$的区域）y随x的增大而增大，因此当$x＞0$时，y随x的增大而增大。
【答案】
增大
【知识点】
二次函数y=ax²的性质；函数的增减性
【点评】
本题是基础题，核心考查二次函数增减性的判断，熟练掌握开口方向、对称轴与增减性的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.9
5. (★)若$y=(1-m)x^{m^2-2}$是二次函数，且图象开口向下，则m的值为【 】
A.±2
B.0
C.-2
D.2
A.±2
B.0
C.-2
D.2
答案
D
解析
【分析】要确定m的值，需结合二次函数的定义和图象性质分步推导：首先根据二次函数的定义，自变量最高次数为2且二次项系数不为0，列出方程求出m的可能取值；再根据图象开口向下的性质，二次项系数需小于0，对求出的m值进行筛选，最终得到正确结果。
【解析】
∵ 函数$y=(1-m)x^{m^2-2}$是二次函数
∴ 自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，可列条件：
$\begin{cases}m^2 - 2 = 2 \\1 - m ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 2 = 2$得$m^2=4$，即$m=\pm2$，两个取值均满足$1-m≠0$的要求。
又
∵ 二次函数图象开口向下
∴ 二次项系数$1 - m ＜ 0$，解得$m ＞ 1$
结合$m=\pm2$的结果，只有$m=2$满足$m＞1$的要求。
故选D。
【答案】D
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【点评】本题是二次函数的基础考查题，解题时需牢记二次函数的两个核心判断条件：自变量最高次为2、二次项系数不为0，再结合开口方向等性质进一步筛选参数，避免因遗漏条件错选。
【难度系数】0.8
【解析】
∵ 函数$y=(1-m)x^{m^2-2}$是二次函数
∴ 自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，可列条件：
$\begin{cases}m^2 - 2 = 2 \\1 - m ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 2 = 2$得$m^2=4$，即$m=\pm2$，两个取值均满足$1-m≠0$的要求。
又
∵ 二次函数图象开口向下
∴ 二次项系数$1 - m ＜ 0$，解得$m ＞ 1$
结合$m=\pm2$的结果，只有$m=2$满足$m＞1$的要求。
故选D。
【答案】D
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系
【点评】本题是二次函数的基础考查题，解题时需牢记二次函数的两个核心判断条件：自变量最高次为2、二次项系数不为0，再结合开口方向等性质进一步筛选参数，避免因遗漏条件错选。
【难度系数】0.8
