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8. (★)下列函数是二次函数的有【 】
①$y=3(x-1)^2+1$；②$y=x+\frac{1}{x}$；③$y=(x+3)^2 -x^2$；④$y=3x^3+2x^2$；⑤$y=ax^2+bx+c$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$y=3(x-1)^2+1$；②$y=x+\frac{1}{x}$；③$y=(x+3)^2 -x^2$；④$y=3x^3+2x^2$；⑤$y=ax^2+bx+c$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
【分析】
首先明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需同时满足三个条件：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们先对每个函数表达式化简，再对照上述三个条件逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析所给函数：
① 对$y=3(x-1)^2+1$展开化简得：$y=3x^2-6x+4$，满足二次函数的全部判定条件，是二次函数；
② $y=x+\frac{1}{x}$的表达式中含有分式，不是整式函数，不属于二次函数；
③ 对$y=(x+3)^2 -x^2$展开化简得：$y=x^2+6x+9-x^2=6x+9$，自变量最高次数为1，是一次函数，不属于二次函数；
④ $y=3x^3+2x^2$中自变量的最高次数为3，是三次函数，不属于二次函数；
⑤ $y=ax^2+bx+c$没有明确给出$a≠0$的限制，当$a=0$时不是二次函数，因此不符合二次函数定义。
综上，只有①是二次函数，共1个。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、整式的概念、整式的化简
【点评】
本题是二次函数的基础判定题，核心考查对二次函数定义的理解，解题时要注意先化简函数表达式再判断最高次数，同时不能忽略二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
首先明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需同时满足三个条件：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们先对每个函数表达式化简，再对照上述三个条件逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析所给函数：
① 对$y=3(x-1)^2+1$展开化简得：$y=3x^2-6x+4$，满足二次函数的全部判定条件，是二次函数；
② $y=x+\frac{1}{x}$的表达式中含有分式，不是整式函数，不属于二次函数；
③ 对$y=(x+3)^2 -x^2$展开化简得：$y=x^2+6x+9-x^2=6x+9$，自变量最高次数为1，是一次函数，不属于二次函数；
④ $y=3x^3+2x^2$中自变量的最高次数为3，是三次函数，不属于二次函数；
⑤ $y=ax^2+bx+c$没有明确给出$a≠0$的限制，当$a=0$时不是二次函数，因此不符合二次函数定义。
综上，只有①是二次函数，共1个。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、整式的概念、整式的化简
【点评】
本题是二次函数的基础判定题，核心考查对二次函数定义的理解，解题时要注意先化简函数表达式再判断最高次数，同时不能忽略二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
9. (★)二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3$ 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 【 】
A.$\frac{1}{2}, -2, -3$
B.$\frac{1}{2}, -2, -1$
C.$\frac{1}{2}, 4, -3$
D.$\frac{1}{2}, -4, 1$
A.$\frac{1}{2}, -2, -3$
B.$\frac{1}{2}, -2, -1$
C.$\frac{1}{2}, 4, -3$
D.$\frac{1}{2}, -4, 1$
答案
B
解析
【分析】
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要将给定的顶点式二次函数化为一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的形式，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先利用完全平方公式展开顶点式的平方项，再通过整式运算整理为一般式，最后对应系数即可得到结果。
【解析】
首先将二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3$展开化简：
1. 展开完全平方项：$(x-2)^2=x^2-4x+4$
2. 代入原式得：$y=\frac{1}{2}(x^2-4x+4)-3$
3. 去括号：$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 - 3$
4. 合并同类项得一般式：$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x - 1$
由此可得，二次项系数为$\frac{1}{2}$，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数系数识别
2. 完全平方公式
3. 整式化简运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数顶点式到一般式的转化，易错点为展开完全平方时符号计算错误、常数项合并时出错，熟练掌握整式运算法则和二次函数一般式的定义即可正确解答。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要将给定的顶点式二次函数化为一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的形式，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题时先利用完全平方公式展开顶点式的平方项，再通过整式运算整理为一般式，最后对应系数即可得到结果。
【解析】
首先将二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3$展开化简：
1. 展开完全平方项：$(x-2)^2=x^2-4x+4$
2. 代入原式得：$y=\frac{1}{2}(x^2-4x+4)-3$
3. 去括号：$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 - 3$
4. 合并同类项得一般式：$y=\frac{1}{2}x^2 - 2x - 1$
由此可得，二次项系数为$\frac{1}{2}$，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数系数识别
2. 完全平方公式
3. 整式化简运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数顶点式到一般式的转化，易错点为展开完全平方时符号计算错误、常数项合并时出错，熟练掌握整式运算法则和二次函数一般式的定义即可正确解答。
【难度系数】
0.8
10. (★)在半径为5 cm的圆面上，从中挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环的面积为y cm²，则y关于x的函数解析式为
【 】
A.$y=π x^2 -5$
B.$y=π (5-x)^2$
C.$y=-(x^2 +5)$
D.$y=25π -π x^2$
【 】
A.$y=π x^2 -5$
B.$y=π (5-x)^2$
C.$y=-(x^2 +5)$
D.$y=25π -π x^2$
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是明确圆环面积的计算逻辑：剩余圆环的面积 = 原大圆的面积 - 挖去的小圆的面积。首先回忆圆的面积公式，分别算出大圆和小圆的面积，再做差即可得到y与x的函数解析式，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
首先计算半径为5cm的大圆面积，根据圆的面积公式$S=π r^2$，得：
大圆面积$S_大=π × 5^2=25π$（$\mathrm{cm}^2$）
再计算半径为x cm的挖去小圆的面积：
小圆面积$S_小=π x^2$（$\mathrm{cm}^2$）
因为圆环面积$y=S_大 - S_小$，代入得：
$y=25π - π x^2$
对应选项可知D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆的面积计算 2. 圆环面积计算 3. 列函数解析式
【点评】
本题属于基础题，核心考查面积差的应用和圆面积公式的掌握，只要理清剩余面积的构成关系，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确圆环面积的计算逻辑：剩余圆环的面积 = 原大圆的面积 - 挖去的小圆的面积。首先回忆圆的面积公式，分别算出大圆和小圆的面积，再做差即可得到y与x的函数解析式，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
首先计算半径为5cm的大圆面积，根据圆的面积公式$S=π r^2$，得：
大圆面积$S_大=π × 5^2=25π$（$\mathrm{cm}^2$）
再计算半径为x cm的挖去小圆的面积：
小圆面积$S_小=π x^2$（$\mathrm{cm}^2$）
因为圆环面积$y=S_大 - S_小$，代入得：
$y=25π - π x^2$
对应选项可知D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆的面积计算 2. 圆环面积计算 3. 列函数解析式
【点评】
本题属于基础题，核心考查面积差的应用和圆面积公式的掌握，只要理清剩余面积的构成关系，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
11. (★★)某超市经销一种水果,每千克盈利10元,每天销售500 kg,经市场调查反映:若每千克涨价1元,每天销售量减少20 kg. 设每千克涨价$ x $(单位:元),且$ 0 ≤ x ≤ 25 $,每天售出该水果的利润为$ y $(单位:元),则$ y $关于$ x $的函数解析式是
【 】
A.$ y=500-20x $
B.$ y=(500-20x)(10+x) $
C.$ y=(500+10x)(10-x) $
D.$ y=(500-10x)(10+x) $
【 】
A.$ y=500-20x $
B.$ y=(500-20x)(10+x) $
C.$ y=(500+10x)(10-x) $
D.$ y=(500-10x)(10+x) $
答案
B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确销售利润的核心计算公式：总利润=每千克的利润×销售总量。我们需要先根据题目给出的涨价和销量的变化关系，分别求出涨价x元后每千克的利润、每天的销售量，再代入公式就能得到y与x的函数解析式。
【解析】
第一步：计算涨价x元后每千克的利润
原本每千克盈利10元，每千克涨价x元后，每千克的盈利变为$(10+x)$元。
第二步：计算涨价x元后的日销售量
原本每天销售500kg，每涨价1元销售量减少20kg，涨价x元后销售量一共减少$20x$kg，因此此时的日销售量为$(500-20x)$kg。
第三步：根据总利润公式列函数解析式
总利润$y=$每千克利润×日销售量，代入得：$y=(500-20x)(10+x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，列函数关系式
【点评】
本题是典型的销售类实际应用问题，解题的关键是理清各个量之间的变化关系，找准总利润的计算等量关系，认真梳理变量即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确销售利润的核心计算公式：总利润=每千克的利润×销售总量。我们需要先根据题目给出的涨价和销量的变化关系，分别求出涨价x元后每千克的利润、每天的销售量，再代入公式就能得到y与x的函数解析式。
【解析】
第一步：计算涨价x元后每千克的利润
原本每千克盈利10元，每千克涨价x元后，每千克的盈利变为$(10+x)$元。
第二步：计算涨价x元后的日销售量
原本每天销售500kg，每涨价1元销售量减少20kg，涨价x元后销售量一共减少$20x$kg，因此此时的日销售量为$(500-20x)$kg。
第三步：根据总利润公式列函数解析式
总利润$y=$每千克利润×日销售量，代入得：$y=(500-20x)(10+x)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，列函数关系式
【点评】
本题是典型的销售类实际应用问题，解题的关键是理清各个量之间的变化关系，找准总利润的计算等量关系，认真梳理变量即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
12. (★★)如图,用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD,设AB边长为x(单位:m),则菜园的面积y(单位:m²)关于x的函数解析式为. (不要求写出自变量x的取值范围) 
答案
$\boldsymbol{y = -\dfrac{1}{2}x^2 + 15x}$
解析
【分析】
解题时先结合图形明确篱笆的构成：矩形菜园CD边靠墙，因此30m的篱笆仅围AB、AD、BC三条边。第一步，根据矩形对边相等的性质，可知AD=BC，我们可以先用含x的式子表示出AD的长度；第二步，利用矩形面积=长×宽的公式，将AB和AD的长度代入，化简后就能得到y关于x的函数解析式。
【解析】
解：
∵ 矩形ABCD中CD边靠墙，
∴ 篱笆围的边为AB、BC、AD，且BC=AD。
已知AB=x m，篱笆总长为30 m，
∴ $AD = \frac{30 - x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，菜园面积$y = AB × AD$，代入得：
$y = x · \frac{30 - x}{2}$
化简得：$y = -\frac{1}{2}x^2 + 15x$
【答案】
$\boldsymbol{y = -\dfrac{1}{2}x^2 + 15x}$
【知识点】
矩形面积公式，列二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是准确识别篱笆所围的边，正确表示出矩形的另一边长，结合面积公式即可求出解析式，注意不要误将篱笆长度当成四边总长计算。
【难度系数】
0.8
解题时先结合图形明确篱笆的构成：矩形菜园CD边靠墙，因此30m的篱笆仅围AB、AD、BC三条边。第一步，根据矩形对边相等的性质，可知AD=BC，我们可以先用含x的式子表示出AD的长度；第二步，利用矩形面积=长×宽的公式，将AB和AD的长度代入，化简后就能得到y关于x的函数解析式。
【解析】
解：
∵ 矩形ABCD中CD边靠墙，
∴ 篱笆围的边为AB、BC、AD，且BC=AD。
已知AB=x m，篱笆总长为30 m，
∴ $AD = \frac{30 - x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，菜园面积$y = AB × AD$，代入得：
$y = x · \frac{30 - x}{2}$
化简得：$y = -\frac{1}{2}x^2 + 15x$
【答案】
$\boldsymbol{y = -\dfrac{1}{2}x^2 + 15x}$
【知识点】
矩形面积公式，列二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是准确识别篱笆所围的边，正确表示出矩形的另一边长，结合面积公式即可求出解析式，注意不要误将篱笆长度当成四边总长计算。
【难度系数】
0.8
13. (★★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=12\ \mathrm{cm}$,$BC=24\ \mathrm{cm}$,动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动(点$P$不与点$B$重合),动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度移动(点$Q$不与点$C$重合).如果点$P,Q$分别从点$A,B$同时出发,设运动的时间为$x\ \mathrm{s}(x＞0)$,四边形$APQC$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式.
(2)求自变量$x$的取值范围.
(3)四边形$APQC$的面积能否等于$172\ \mathrm{cm}^2$?若能,求出运动的时间;若不能,请说明理由.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式.
(2)求自变量$x$的取值范围.
(3)四边形$APQC$的面积能否等于$172\ \mathrm{cm}^2$?若能,求出运动的时间;若不能,请说明理由.
答案
解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=24\ \mathrm{cm}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×12×24=144\ \mathrm{cm}^2$
由运动速度可知：$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=4x\ \mathrm{cm}$，
则$PB=(12-2x)\ \mathrm{cm}$，
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}PB· BQ=\frac{1}{2}(12-2x)·4x=24x-4x^2$
因此$y=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=144-(24x-4x^2)$，
即$y=4x^2-24x+144$。
(2) 由点$P$不与点$B$重合、点$Q$不与点$C$重合，且$x＞0$，得：
$\begin{cases}2x＜12\\4x＜24\\x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜6$，
即自变量$x$的取值范围是$0＜x＜6$。
(3) 不能，理由如下：
令$y=172$，代入函数解析式得：
$4x^2-24x+144=172$
整理得$x^2-6x-7=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=-1$。
由$0＜x＜6$可知，$x=7$和$x=-1$均不符合自变量取值要求，
因此四边形$APQC$的面积不能等于$172\ \mathrm{cm}^2$。
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=24\ \mathrm{cm}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×12×24=144\ \mathrm{cm}^2$
由运动速度可知：$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=4x\ \mathrm{cm}$，
则$PB=(12-2x)\ \mathrm{cm}$，
$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}PB· BQ=\frac{1}{2}(12-2x)·4x=24x-4x^2$
因此$y=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=144-(24x-4x^2)$，
即$y=4x^2-24x+144$。
(2) 由点$P$不与点$B$重合、点$Q$不与点$C$重合，且$x＞0$，得：
$\begin{cases}2x＜12\\4x＜24\\x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜6$，
即自变量$x$的取值范围是$0＜x＜6$。
(3) 不能，理由如下：
令$y=172$，代入函数解析式得：
$4x^2-24x+144=172$
整理得$x^2-6x-7=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=-1$。
由$0＜x＜6$可知，$x=7$和$x=-1$均不符合自变量取值要求，
因此四边形$APQC$的面积不能等于$172\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 求不规则四边形APQC的面积可采用割补法：用△ABC的固定面积减去△PBQ的面积。先计算Rt△ABC的面积，再根据动点的运动速度和时间x，分别表示出PB、BQ的长度，求出△PBQ的面积，两者作差即可得到y关于x的函数解析式。
(2) 求自变量x的取值范围需结合动点运动限制：点P不与B重合则AP＜AB，点Q不与C重合则BQ＜BC，同时运动时间x＞0，联立不等式组求解即可。
(3) 判断面积能否等于172cm²，只需将y=172代入函数解析式求解一元二次方程，再验证解是否在自变量取值范围内，符合则能，反之则不能。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=24\ \mathrm{cm}$，
$\displaystyle S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×12×24=144\ \mathrm{cm}^2$
由运动规律可知：$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=4x\ \mathrm{cm}$，则$PB=(12-2x)\ \mathrm{cm}$，
$\displaystyle S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}PB· BQ=\frac{1}{2}(12-2x)·4x=24x-4x^2$
因此$y=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=144-(24x-4x^2)$，即$y=4x^2-24x+144$。
(2) 由点$P$不与点$B$重合、点$Q$不与点$C$重合，且$x＞0$，得：
$\begin{cases}2x＜12\\4x＜24\\x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜6$，即自变量$x$的取值范围是$0＜x＜6$。
(3) 不能，理由如下：
令$y=172$，代入函数解析式得：
$4x^2-24x+144=172$
整理得$x^2-6x-7=0$，解得$x_1=7$，$x_2=-1$。
由$0＜x＜6$可知，$x=7$和$x=-1$均不符合自变量取值要求，因此四边形$APQC$的面积不能等于$172\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $y=4x^2-24x+144$
(2) $0＜x＜6$
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
割补法求面积，二次函数解析式，一元二次方程应用
【点评】
本题是动点结合函数、方程的典型应用题，解题核心是将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，求解时要注意结合动点的运动约束确定自变量范围，对方程的解需验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
(1) 求不规则四边形APQC的面积可采用割补法：用△ABC的固定面积减去△PBQ的面积。先计算Rt△ABC的面积，再根据动点的运动速度和时间x，分别表示出PB、BQ的长度，求出△PBQ的面积，两者作差即可得到y关于x的函数解析式。
(2) 求自变量x的取值范围需结合动点运动限制：点P不与B重合则AP＜AB，点Q不与C重合则BQ＜BC，同时运动时间x＞0，联立不等式组求解即可。
(3) 判断面积能否等于172cm²，只需将y=172代入函数解析式求解一元二次方程，再验证解是否在自变量取值范围内，符合则能，反之则不能。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=24\ \mathrm{cm}$，
$\displaystyle S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×12×24=144\ \mathrm{cm}^2$
由运动规律可知：$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BQ=4x\ \mathrm{cm}$，则$PB=(12-2x)\ \mathrm{cm}$，
$\displaystyle S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}PB· BQ=\frac{1}{2}(12-2x)·4x=24x-4x^2$
因此$y=S_{△ ABC}-S_{△ PBQ}=144-(24x-4x^2)$，即$y=4x^2-24x+144$。
(2) 由点$P$不与点$B$重合、点$Q$不与点$C$重合，且$x＞0$，得：
$\begin{cases}2x＜12\\4x＜24\\x＞0\end{cases}$
解得$0＜x＜6$，即自变量$x$的取值范围是$0＜x＜6$。
(3) 不能，理由如下：
令$y=172$，代入函数解析式得：
$4x^2-24x+144=172$
整理得$x^2-6x-7=0$，解得$x_1=7$，$x_2=-1$。
由$0＜x＜6$可知，$x=7$和$x=-1$均不符合自变量取值要求，因此四边形$APQC$的面积不能等于$172\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $y=4x^2-24x+144$
(2) $0＜x＜6$
(3) 不能，理由见解析
【知识点】
割补法求面积，二次函数解析式，一元二次方程应用
【点评】
本题是动点结合函数、方程的典型应用题，解题核心是将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，求解时要注意结合动点的运动约束确定自变量范围，对方程的解需验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
