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13. (★★)若$m$是方程$2x^2+3x-1=0$的一个根,则式子$4m^2+6m+2026$的值为.
答案
$\boldsymbol{2028}$
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根的定义求解，无需计算m的具体值，采用整体代入法更简便。首先根据方程根的定义，将x=m代入原方程，得到关于m的等式，再观察待求代数式的结构，发现4m²+6m是2m²+3m的2倍，将前面得到的等式变形后整体代入即可算出结果。
【解析】
∵ m是方程$2x^2+3x-1=0$的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程，得：
$2m^2 + 3m - 1 = 0$，
整理得$2m^2 + 3m = 1$。
对待求式变形可得：
$4m^2 + 6m + 2026 = 2(2m^2 + 3m) + 2026$，
将$2m^2 + 3m =1$代入上式：
原式$=2×1 + 2026 = 2028$。
【答案】
$\boldsymbol{2028}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型基础题，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键是建立待求代数式与方程根所得等式的关联，避免直接求解一元二次方程带来的复杂计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根的定义求解，无需计算m的具体值，采用整体代入法更简便。首先根据方程根的定义，将x=m代入原方程，得到关于m的等式，再观察待求代数式的结构，发现4m²+6m是2m²+3m的2倍，将前面得到的等式变形后整体代入即可算出结果。
【解析】
∵ m是方程$2x^2+3x-1=0$的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程，得：
$2m^2 + 3m - 1 = 0$，
整理得$2m^2 + 3m = 1$。
对待求式变形可得：
$4m^2 + 6m + 2026 = 2(2m^2 + 3m) + 2026$，
将$2m^2 + 3m =1$代入上式：
原式$=2×1 + 2026 = 2028$。
【答案】
$\boldsymbol{2028}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型基础题，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键是建立待求代数式与方程根所得等式的关联，避免直接求解一元二次方程带来的复杂计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
14. (★★)用适当的方法解下列方程：
(1)$3x^2 -1 =4x$；
(2)$x^2 -2x -8=0$；
(3)$2(x-1)^2 -16=0$；
(4)$(x-3)^2 +2x(x-3)=0$；
(5)$x^2 +2\sqrt{2}x +4=2$；
(6)$t^2 -\sqrt{5}t -5=0$。
(1)$3x^2 -1 =4x$；
(2)$x^2 -2x -8=0$；
(3)$2(x-1)^2 -16=0$；
(4)$(x-3)^2 +2x(x-3)=0$；
(5)$x^2 +2\sqrt{2}x +4=2$；
(6)$t^2 -\sqrt{5}t -5=0$。
答案
解：(1) 移项整理为标准形式：
$3x^2 -4x -1=0$
其中$a=3$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×3×(-1) = 28＞0$
$x=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$
$\therefore x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(2) 因式分解得：
$(x-4)(x+2)=0$
$x-4=0$ 或 $x+2=0$
$\therefore x_1=4,\ x_2=-2$
(3) 移项化简：
$2(x-1)^2=16$
$(x-1)^2=8$
开平方得：$x-1=\pm2\sqrt{2}$
$x=1\pm2\sqrt{2}$
$\therefore x_1=1+2\sqrt{2},\ x_2=1-2\sqrt{2}$
(4) 提取公因式$(x-3)$：
$(x-3)(x-3+2x)=0$
整理得：$(x-3)(3x-3)=0$
$x-3=0$ 或 $3x-3=0$
$\therefore x_1=3,\ x_2=1$
(5) 移项整理：
$x^2+2\sqrt{2}x+2=0$
左边配方得：$(x+\sqrt{2})^2=0$
$\therefore x_1=x_2=-\sqrt{2}$
(6) 其中$a=1$，$b=-\sqrt{5}$，$c=-5$，
判别式$\Delta = (-\sqrt{5})^2 -4×1×(-5)=5+20=25＞0$
$t=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{\sqrt{5}\pm5}{2}$
$\therefore t_1=\frac{\sqrt{5}+5}{2},\ t_2=\frac{\sqrt{5}-5}{2}$
$3x^2 -4x -1=0$
其中$a=3$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×3×(-1) = 28＞0$
$x=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$
$\therefore x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(2) 因式分解得：
$(x-4)(x+2)=0$
$x-4=0$ 或 $x+2=0$
$\therefore x_1=4,\ x_2=-2$
(3) 移项化简：
$2(x-1)^2=16$
$(x-1)^2=8$
开平方得：$x-1=\pm2\sqrt{2}$
$x=1\pm2\sqrt{2}$
$\therefore x_1=1+2\sqrt{2},\ x_2=1-2\sqrt{2}$
(4) 提取公因式$(x-3)$：
$(x-3)(x-3+2x)=0$
整理得：$(x-3)(3x-3)=0$
$x-3=0$ 或 $3x-3=0$
$\therefore x_1=3,\ x_2=1$
(5) 移项整理：
$x^2+2\sqrt{2}x+2=0$
左边配方得：$(x+\sqrt{2})^2=0$
$\therefore x_1=x_2=-\sqrt{2}$
(6) 其中$a=1$，$b=-\sqrt{5}$，$c=-5$，
判别式$\Delta = (-\sqrt{5})^2 -4×1×(-5)=5+20=25＞0$
$t=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{\sqrt{5}\pm5}{2}$
$\therefore t_1=\frac{\sqrt{5}+5}{2},\ t_2=\frac{\sqrt{5}-5}{2}$
解析
【分析】
解一元二次方程的常用方法包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，解题时可根据方程的结构特征优先选择计算简便的方法：
1. 对于无法直接因式分解、也不符合直接开平方形式的方程，可整理为一般式后用公式法求解，公式法是通用解法，需先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况后再代入求根公式；
2. 对于可因式分解为两个一次因式乘积形式的方程，优先选择因式分解法，转化为两个一元一次方程求解；
3. 对于形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程，优先选择直接开平方法求解；
4. 对于左右两边含有公共因式的方程，可提取公因式后用因式分解法求解；
5. 对于整理后左边是完全平方式的方程，可选择配方法求解。
本题六个小题可分别对应上述思路选择最优方法解题。
【解析】
(1) 移项整理为标准形式：
$3x^2 -4x -1=0$
其中$a=3$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×3×(-1) = 28＞0$
$x=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$
$\therefore x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(2) 因式分解得：
$(x-4)(x+2)=0$
$x-4=0$ 或 $x+2=0$
$\therefore x_1=4,\ x_2=-2$
(3) 移项化简：
$2(x-1)^2=16$
$(x-1)^2=8$
开平方得：$x-1=\pm2\sqrt{2}$
$x=1\pm2\sqrt{2}$
$\therefore x_1=1+2\sqrt{2},\ x_2=1-2\sqrt{2}$
(4) 提取公因式$(x-3)$：
$(x-3)(x-3+2x)=0$
整理得：$(x-3)(3x-3)=0$
$x-3=0$ 或 $3x-3=0$
$\therefore x_1=3,\ x_2=1$
(5) 移项整理：
$x^2+2\sqrt{2}x+2=0$
左边配方得：$(x+\sqrt{2})^2=0$
$\therefore x_1=x_2=-\sqrt{2}$
(6) 其中$a=1$，$b=-\sqrt{5}$，$c=-5$，
判别式$\Delta = (-\sqrt{5})^2 -4×1×(-5)=5+20=25＞0$
$t=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{\sqrt{5}\pm5}{2}$
$\therefore t_1=\frac{\sqrt{5}+5}{2},\ t_2=\frac{\sqrt{5}-5}{2}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(2)$x_1=4,\ x_2=-2$
(3)$x_1=1+2\sqrt{2},\ x_2=1-2\sqrt{2}$
(4)$x_1=3,\ x_2=1$
(5)$x_1=x_2=-\sqrt{2}$
(6)$t_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2},\ t_2=\frac{\sqrt{5}-5}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法；公式法
【点评】
本题侧重考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时需根据方程的特点选择最简方法，既能减少计算量，也能提升正确率，熟练掌握各类解法的适用条件和运算步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.75
解一元二次方程的常用方法包括直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，解题时可根据方程的结构特征优先选择计算简便的方法：
1. 对于无法直接因式分解、也不符合直接开平方形式的方程，可整理为一般式后用公式法求解，公式法是通用解法，需先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的情况后再代入求根公式；
2. 对于可因式分解为两个一次因式乘积形式的方程，优先选择因式分解法，转化为两个一元一次方程求解；
3. 对于形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的方程，优先选择直接开平方法求解；
4. 对于左右两边含有公共因式的方程，可提取公因式后用因式分解法求解；
5. 对于整理后左边是完全平方式的方程，可选择配方法求解。
本题六个小题可分别对应上述思路选择最优方法解题。
【解析】
(1) 移项整理为标准形式：
$3x^2 -4x -1=0$
其中$a=3$，$b=-4$，$c=-1$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-4)^2 - 4×3×(-1) = 28＞0$
$x=\frac{4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$
$\therefore x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(2) 因式分解得：
$(x-4)(x+2)=0$
$x-4=0$ 或 $x+2=0$
$\therefore x_1=4,\ x_2=-2$
(3) 移项化简：
$2(x-1)^2=16$
$(x-1)^2=8$
开平方得：$x-1=\pm2\sqrt{2}$
$x=1\pm2\sqrt{2}$
$\therefore x_1=1+2\sqrt{2},\ x_2=1-2\sqrt{2}$
(4) 提取公因式$(x-3)$：
$(x-3)(x-3+2x)=0$
整理得：$(x-3)(3x-3)=0$
$x-3=0$ 或 $3x-3=0$
$\therefore x_1=3,\ x_2=1$
(5) 移项整理：
$x^2+2\sqrt{2}x+2=0$
左边配方得：$(x+\sqrt{2})^2=0$
$\therefore x_1=x_2=-\sqrt{2}$
(6) 其中$a=1$，$b=-\sqrt{5}$，$c=-5$，
判别式$\Delta = (-\sqrt{5})^2 -4×1×(-5)=5+20=25＞0$
$t=\frac{\sqrt{5}\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{\sqrt{5}\pm5}{2}$
$\therefore t_1=\frac{\sqrt{5}+5}{2},\ t_2=\frac{\sqrt{5}-5}{2}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{2+\sqrt{7}}{3},\ x_2=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(2)$x_1=4,\ x_2=-2$
(3)$x_1=1+2\sqrt{2},\ x_2=1-2\sqrt{2}$
(4)$x_1=3,\ x_2=1$
(5)$x_1=x_2=-\sqrt{2}$
(6)$t_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2},\ t_2=\frac{\sqrt{5}-5}{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法；公式法
【点评】
本题侧重考查一元二次方程解法的灵活运用，解题时需根据方程的特点选择最简方法，既能减少计算量，也能提升正确率，熟练掌握各类解法的适用条件和运算步骤是解题的核心。
【难度系数】
0.75
15. (★★)已知关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，则a的取值范围是【 】
A.$a＞2$
B.$a＜2$
C.$a＜2$且$a≠1$
D.$a＜-2$
A.$a＞2$
B.$a＜2$
C.$a＜2$且$a≠1$
D.$a＜-2$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需要同时满足两个条件：首先题干明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0。我们先分别根据这两个条件求出a的取值范围，再取两个范围的公共部分就是最终结果。
【解析】
步骤1：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$a-1 ≠ 0$，解得 $a ≠ 1$。
步骤2：根据方程有两个不相等的实数根，可知根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
在方程$(a-1)x^2 -2x +1=0$中，二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×(a-1)×1 ＞ 0$
计算得：$4 - 4(a-1) ＞ 0$
去括号：$4 -4a +4 ＞ 0$
合并同类项：$8 -4a ＞ 0$
移项化简得：$a ＜ 2$。
步骤3：结合两个条件，a的取值范围是$a ＜ 2$且$a ≠ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；不等式求解
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略“一元二次方程”的前提，漏掉二次项系数不为0的限制条件，只根据判别式得到a＜2就错选B，因此审题时要抓住题干的所有限定条件，综合考虑后再得出结论。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需要同时满足两个条件：首先题干明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；其次方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0。我们先分别根据这两个条件求出a的取值范围，再取两个范围的公共部分就是最终结果。
【解析】
步骤1：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：
$a-1 ≠ 0$，解得 $a ≠ 1$。
步骤2：根据方程有两个不相等的实数根，可知根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
在方程$(a-1)x^2 -2x +1=0$中，二次项系数为$a-1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=1$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×(a-1)×1 ＞ 0$
计算得：$4 - 4(a-1) ＞ 0$
去括号：$4 -4a +4 ＞ 0$
合并同类项：$8 -4a ＞ 0$
移项化简得：$a ＜ 2$。
步骤3：结合两个条件，a的取值范围是$a ＜ 2$且$a ≠ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；不等式求解
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略“一元二次方程”的前提，漏掉二次项系数不为0的限制条件，只根据判别式得到a＜2就错选B，因此审题时要抓住题干的所有限定条件，综合考虑后再得出结论。
【难度系数】
0.7
16. (★★)设$x_1,x_2$是方程$x^2+5x-3=0$的两个根，则$x_1^2+x_2^2$的值是 【 】
A.19
B.25
C.31
D.30
A.19
B.25
C.31
D.30
答案
C
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根的平方和，若直接求解方程得到两根再代入计算过程较繁琐，可利用一元二次方程根与系数的关系简化计算。解题思路为：首先根据方程确定各项系数，求出两根之和与两根之积；再利用完全平方公式将所求代数式$x_1^2+x_2^2$变形为含两根之和、两根之积的形式；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$x^2+5x-3=0$的两个根，该方程中$a=1$，$b=5$，$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-5$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-3$。
根据完全平方公式变形可得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$。
将$x_1+x_2=-5$，$x_1x_2=-3$代入上式：
原式$=(-5)^2 - 2×(-3)=25+6=31$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式的应用
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对根与系数关系的灵活运用，解题的关键是掌握常见代数式的恒等变形，能有效避免直接求根带来的计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程两根的平方和，若直接求解方程得到两根再代入计算过程较繁琐，可利用一元二次方程根与系数的关系简化计算。解题思路为：首先根据方程确定各项系数，求出两根之和与两根之积；再利用完全平方公式将所求代数式$x_1^2+x_2^2$变形为含两根之和、两根之积的形式；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$x^2+5x-3=0$的两个根，该方程中$a=1$，$b=5$，$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-5$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-3$。
根据完全平方公式变形可得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$。
将$x_1+x_2=-5$，$x_1x_2=-3$代入上式：
原式$=(-5)^2 - 2×(-3)=25+6=31$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式的应用
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对根与系数关系的灵活运用，解题的关键是掌握常见代数式的恒等变形，能有效避免直接求根带来的计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
17. (★★)有1个人患了流感,经过两轮传染后,共有144个人患了流感.设每轮传染中平均1个人传染了x个人,则下列结论不正确的是
【 】
A.第一轮后有$(x+1)$个人患了流感
B.第二轮后又增加$x(x+1)$个人患流感
C.依题意可列方程$x+1+x(1+x)=144$
D.按照这样的传染速度,经过三轮传染后共1 000人患流感
【 】
A.第一轮后有$(x+1)$个人患了流感
B.第二轮后又增加$x(x+1)$个人患流感
C.依题意可列方程$x+1+x(1+x)=144$
D.按照这样的传染速度,经过三轮传染后共1 000人患流感
答案
D
解析
【分析】
本题是一元二次方程在传染问题中的应用，解题思路如下：首先明确传染问题的数量规律：初始1名患者，每轮中每名患者传染x人，第一轮后总患者数为初始患者加第一轮新增患者；第二轮新增患者数由第一轮所有患者作为传染源计算得到，两轮总患者数为144，据此列方程求出x的值，再逐一验证四个选项的正误，判断三轮传染后的总人数即可得出错误选项。
【解析】
已知初始有1名流感患者，每轮平均1人传染x人：
1. 验证A选项：第一轮传染中，初始1名患者传染x人，第一轮后患流感总人数为$1+x=(x+1)$人，A结论正确，不符合题意。
2. 验证B选项：第二轮传染时，第一轮的$(x+1)$名患者每人都传染x人，因此第二轮新增患病人数为$x(x+1)$人，B结论正确，不符合题意。
3. 验证C选项：两轮后患病人数总和为第一轮总人数加第二轮新增人数，因此可列方程：$1+x + x(1+x)=144$，与选项C所列方程一致，C结论正确，不符合题意。
4. 求解方程得传播速度：将方程整理为$(1+x)^2=144$，解得$1+x=12$（人数为正，舍去负根$1+x=-12$），即$x=11$。
5. 验证D选项：按照该传播速度，三轮传染后患病人数为$(1+x)^3=12^3=1728$人，不是1000人，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 传播类问题模型 2. 一元二次方程的应用 3. 列代数式
【点评】
本题核心是理清传染问题中每轮传染源、新增患者、总患者的数量关系，易错点是计算多轮传染总人数时容易混淆新增人数和总人数的计算逻辑，掌握“总患病人数=(1+每轮传播人数)^轮数”的规律可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在传染问题中的应用，解题思路如下：首先明确传染问题的数量规律：初始1名患者，每轮中每名患者传染x人，第一轮后总患者数为初始患者加第一轮新增患者；第二轮新增患者数由第一轮所有患者作为传染源计算得到，两轮总患者数为144，据此列方程求出x的值，再逐一验证四个选项的正误，判断三轮传染后的总人数即可得出错误选项。
【解析】
已知初始有1名流感患者，每轮平均1人传染x人：
1. 验证A选项：第一轮传染中，初始1名患者传染x人，第一轮后患流感总人数为$1+x=(x+1)$人，A结论正确，不符合题意。
2. 验证B选项：第二轮传染时，第一轮的$(x+1)$名患者每人都传染x人，因此第二轮新增患病人数为$x(x+1)$人，B结论正确，不符合题意。
3. 验证C选项：两轮后患病人数总和为第一轮总人数加第二轮新增人数，因此可列方程：$1+x + x(1+x)=144$，与选项C所列方程一致，C结论正确，不符合题意。
4. 求解方程得传播速度：将方程整理为$(1+x)^2=144$，解得$1+x=12$（人数为正，舍去负根$1+x=-12$），即$x=11$。
5. 验证D选项：按照该传播速度，三轮传染后患病人数为$(1+x)^3=12^3=1728$人，不是1000人，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 传播类问题模型 2. 一元二次方程的应用 3. 列代数式
【点评】
本题核心是理清传染问题中每轮传染源、新增患者、总患者的数量关系，易错点是计算多轮传染总人数时容易混淆新增人数和总人数的计算逻辑，掌握“总患病人数=(1+每轮传播人数)^轮数”的规律可快速解题。
【难度系数】
0.7
