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18. (★★)将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件.若每降价1元，每天可多卖出5件.现欲每天盈利1120元，则应降价
【 】
A.10元
B.22元
C.2元或22元
D.10元或22元
【 】
A.10元
B.22元
C.2元或22元
D.10元或22元
答案
C
解析
【分析】
这是一道销售利润类的应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×销售数量”这一等量关系。首先我们可以设降价的金额为未知数x，分别用含x的式子表示出降价后的单件利润和销售量，再结合总盈利为1120元的条件列出一元二次方程，求解后验证解的合理性即可得到答案。
【解析】
设应降价x元，根据题意：
1. 降价后每件商品的利润为：$80 - 50 - x = (30 - x)$元
2. 降价后每天的销售量为：$30 + 5x$件
3. 根据总盈利=单件利润×销售量，列方程得：
$(30 - x)(30 + 5x) = 1120$
展开并整理方程：
$900 + 150x - 30x - 5x^2 = 1120$
$-5x^2 + 120x - 220 = 0$
两边同时除以$-5$得：
$x^2 - 24x + 44 = 0$
因式分解得：
$(x - 2)(x - 22) = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = 22$
验证：当x=2时，售价为$80-2=78$元＞50元，符合销售要求；当x=22时，售价为$80-22=58$元＞50元，也符合销售要求。
因此应降价2元或22元。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算，一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题的关键是找准等量关系正确列出方程，求解后要注意验证解是否符合实际销售规则（如售价不可低于成本），避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类的应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×销售数量”这一等量关系。首先我们可以设降价的金额为未知数x，分别用含x的式子表示出降价后的单件利润和销售量，再结合总盈利为1120元的条件列出一元二次方程，求解后验证解的合理性即可得到答案。
【解析】
设应降价x元，根据题意：
1. 降价后每件商品的利润为：$80 - 50 - x = (30 - x)$元
2. 降价后每天的销售量为：$30 + 5x$件
3. 根据总盈利=单件利润×销售量，列方程得：
$(30 - x)(30 + 5x) = 1120$
展开并整理方程：
$900 + 150x - 30x - 5x^2 = 1120$
$-5x^2 + 120x - 220 = 0$
两边同时除以$-5$得：
$x^2 - 24x + 44 = 0$
因式分解得：
$(x - 2)(x - 22) = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = 22$
验证：当x=2时，售价为$80-2=78$元＞50元，符合销售要求；当x=22时，售价为$80-22=58$元＞50元，也符合销售要求。
因此应降价2元或22元。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算，一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题的关键是找准等量关系正确列出方程，求解后要注意验证解是否符合实际销售规则（如售价不可低于成本），避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.7
19. (★★)若一个三角形的三条边长均满足方程$x^2 -6x +8=0$,则此三角形的周长为.
答案
解：解方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”分类讨论：
1. 三边长均为2时，满足三边关系，周长为$2+2+2=6$；
2. 三边长为2，2，4时，$2+2=4$，不满足三边关系，无法构成三角形，舍去；
3. 三边长为2，4，4时，满足三边关系，周长为$2+4+4=10$；
4. 三边长均为4时，满足三边关系，周长为$4+4+4=12$。
综上，此三角形的周长为$\boldsymbol{6或10或12}$。
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”分类讨论：
1. 三边长均为2时，满足三边关系，周长为$2+2+2=6$；
2. 三边长为2，2，4时，$2+2=4$，不满足三边关系，无法构成三角形，舍去；
3. 三边长为2，4，4时，满足三边关系，周长为$2+4+4=10$；
4. 三边长均为4时，满足三边关系，周长为$4+4+4=12$。
综上，此三角形的周长为$\boldsymbol{6或10或12}$。
解析
【分析】
解题时首先需要求解一元二次方程得到边长的可能取值，再根据三角形三边均为方程的根，分情况讨论所有可能的三边组合，每一种组合都要利用三角形“任意两边之和大于第三边”的性质验证是否能构成三角形，对符合条件的组合计算周长，最后汇总所有符合要求的周长结果即可。
【解析】
解方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”分类讨论：
1. 三边长均为2时，满足三边关系，周长为$2+2+2=6$；
2. 三边长为2，2，4时，$2+2=4$，不满足三边关系，无法构成三角形，舍去；
3. 三边长为2，4，4时，满足三边关系，周长为$2+4+4=10$；
4. 三边长均为4时，满足三边关系，周长为$4+4+4=12$。
综上，此三角形的周长为6或10或12。
【答案】
6或10或12
【知识点】
1. 解一元二次方程 2. 三角形三边关系 3. 分类讨论思想
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，易错点在于讨论边长组合时容易漏解，或是未通过三边关系验证排除无法构成三角形的情况，解题时要注意全面考虑所有可能的组合，逐一验证后再计算周长。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要求解一元二次方程得到边长的可能取值，再根据三角形三边均为方程的根，分情况讨论所有可能的三边组合，每一种组合都要利用三角形“任意两边之和大于第三边”的性质验证是否能构成三角形，对符合条件的组合计算周长，最后汇总所有符合要求的周长结果即可。
【解析】
解方程$x^2 - 6x + 8 = 0$，
因式分解得$(x-2)(x-4)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=4$。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”分类讨论：
1. 三边长均为2时，满足三边关系，周长为$2+2+2=6$；
2. 三边长为2，2，4时，$2+2=4$，不满足三边关系，无法构成三角形，舍去；
3. 三边长为2，4，4时，满足三边关系，周长为$2+4+4=10$；
4. 三边长均为4时，满足三边关系，周长为$4+4+4=12$。
综上，此三角形的周长为6或10或12。
【答案】
6或10或12
【知识点】
1. 解一元二次方程 2. 三角形三边关系 3. 分类讨论思想
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，易错点在于讨论边长组合时容易漏解，或是未通过三边关系验证排除无法构成三角形的情况，解题时要注意全面考虑所有可能的组合，逐一验证后再计算周长。
【难度系数】
0.7
20. (★★)如图,一农户要建一个矩形鸡舍,鸡舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门.所围矩形鸡舍的长、宽分别为多少时,鸡舍面积为80 m²?
答案
解：设矩形鸡舍垂直于住房墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于住房墙的一边长为$ 25 - (x - 1) - x = (26 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据题意，得：
$x(26 - 2x) = 80$
整理得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
当$ x = 5 $时，$ 26 - 2x = 16 ＞ 12 $，超出住房墙的长度限制，不符合题意，舍去；
当$ x = 8 $时，$ 26 - 2x = 10 ＜ 12 $，符合题意。
答：所围矩形鸡舍的长为10 m，宽为8 m时，鸡舍面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $。
根据题意，得：
$x(26 - 2x) = 80$
整理得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
当$ x = 5 $时，$ 26 - 2x = 16 ＞ 12 $，超出住房墙的长度限制，不符合题意，舍去；
当$ x = 8 $时，$ 26 - 2x = 10 ＜ 12 $，符合题意。
答：所围矩形鸡舍的长为10 m，宽为8 m时，鸡舍面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $。
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：1. 选取合适的量设为未知数：本题设垂直于住房墙的边长为$x\ \mathrm{m}$更简便，因为垂直边留有1m宽的门，计算材料用量时只需调整该边的材料长度即可。2. 表示出平行于住房墙的边长：总建筑材料长25m，其中一个垂直边因有门，实际消耗材料为$(x-1)\ \mathrm{m}$，另一个垂直边消耗材料$x\ \mathrm{m}$，因此平行于墙的边长为总材料长度减去两个垂直边的材料消耗量，即$25 - x - (x-1)=(26-2x)\ \mathrm{m}$。3. 根据矩形面积公式列方程求解，同时注意平行于墙的边长不能超过住房墙的长度12m，求出方程的根后要结合实际限制条件检验，舍去不符合题意的解。
【解析】
解：设矩形鸡舍垂直于住房墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于住房墙的一边长为$ 25 - (x - 1) - x = (26 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据题意，得：
$x(26 - 2x) = 80$
整理得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
当$ x = 5 $时，$ 26 - 2x = 16 ＞ 12 $，超出住房墙的长度限制，不符合题意，舍去；
当$ x = 8 $时，$ 26 - 2x = 10 ＜ 12 $，符合题意。
答：所围矩形鸡舍的长为10 m，宽为8 m时，鸡舍面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
所围矩形鸡舍的长为10 m，宽为8 m。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题的易错点是容易忽略住房墙的长度限制，没有对求解出的根进行取舍，导致得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：1. 选取合适的量设为未知数：本题设垂直于住房墙的边长为$x\ \mathrm{m}$更简便，因为垂直边留有1m宽的门，计算材料用量时只需调整该边的材料长度即可。2. 表示出平行于住房墙的边长：总建筑材料长25m，其中一个垂直边因有门，实际消耗材料为$(x-1)\ \mathrm{m}$，另一个垂直边消耗材料$x\ \mathrm{m}$，因此平行于墙的边长为总材料长度减去两个垂直边的材料消耗量，即$25 - x - (x-1)=(26-2x)\ \mathrm{m}$。3. 根据矩形面积公式列方程求解，同时注意平行于墙的边长不能超过住房墙的长度12m，求出方程的根后要结合实际限制条件检验，舍去不符合题意的解。
【解析】
解：设矩形鸡舍垂直于住房墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于住房墙的一边长为$ 25 - (x - 1) - x = (26 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据题意，得：
$x(26 - 2x) = 80$
整理得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
当$ x = 5 $时，$ 26 - 2x = 16 ＞ 12 $，超出住房墙的长度限制，不符合题意，舍去；
当$ x = 8 $时，$ 26 - 2x = 10 ＜ 12 $，符合题意。
答：所围矩形鸡舍的长为10 m，宽为8 m时，鸡舍面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
所围矩形鸡舍的长为10 m，宽为8 m。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题根的检验
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题的易错点是容易忽略住房墙的长度限制，没有对求解出的根进行取舍，导致得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
