【例1】(2024秋呼兰区期末)下列等式中，x，y这两个量成反比例关系的是（）

A.$x+y=15$
B.$y=7x$
C.$3x=2y$
D.$xy=6$

D

【分析】
要判断两个量是否成反比例关系，首先需明确反比例关系的核心判定标准：两种相关联的量，若它们对应数值的乘积为固定不变的常数（不为0），则这两个量成反比例关系。解题时可逐一分析每个选项中x和y的运算关系，判断是乘积一定、商一定还是和差一定，进而选出符合要求的选项。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，可表示为$xy=k$（$k$为常数，$k\ne0$）。
对各选项逐一分析：
A选项：$x+y=15$，x与y的和为定值，不符合反比例关系的判定条件，不成反比例；
B选项：$y=7x$，变形可得$\frac{y}{x}=7$，x与y的商（比值）为定值，属于正比例关系，不符合要求；
C选项：$3x=2y$，变形可得$\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$，x与y的商（比值）为定值，属于正比例关系，不符合要求；
D选项：$xy=6$，x与y的乘积为固定常数，符合反比例关系的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
反比例关系的判定、正比例关系的判定
【点评】
本题考查正比例和反比例关系的区分，解题的关键是牢记两类比例关系的判定规则：乘积一定为反比例，比值（商）一定为正比例，和或差一定的两个量不成比例。这类题属于基础概念考查题，熟练掌握定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8

【变式】$x,y$是两个相关联的量($x,y$均不为0),下列各式中,$x$和$y$不成正比例的是（）

A.$\frac{x}{8}=\frac{y}{7}$
B.$\frac{x}{y}=\frac{5}{4}$
C.$\frac{3}{xy}=2$
D.$\frac{y}{6}=x$

C

【分析】
要判断x和y是否成正比例，首先明确正比例关系的判定规则：两个相关联的量，若它们的比值（商）为固定常数，则这两个量成正比例关系。解题时只需将每个选项的等式变形，整理出x与y的比值或乘积形式，逐一对照判定规则即可得出答案。
【解析】
首先明确判定依据：两种相关联的量，若比值（商）一定，成正比例关系；若乘积一定，成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 对$\frac{x}{8}=\frac{y}{7}$交叉相乘得$7x=8y$，变形得$\frac{x}{y}=\frac{8}{7}$，x与y的比值为定值，成正比例，不符合题意；
B. $\frac{x}{y}=\frac{5}{4}$，直接可得x与y的比值为定值，成正比例，不符合题意；
C. 对$\frac{3}{xy}=2$变形得$xy=\frac{3}{2}$，x与y的乘积为定值，成反比例，不成正比例，符合题意；
D. 对$\frac{y}{6}=x$变形得$\frac{y}{x}=6$，x与y的比值为定值，成正比例，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正比例关系判定、反比例关系判定、等式的变形
【点评】
本题重点考查正反比例关系的判断，解题的核心是熟练掌握正反比例的定义，能通过等式变形得到两个量的比值或乘积特征，是对基础概念应用能力的考查，掌握定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8

【例2】用式子表示下列问题中y与x的关系，
并指出是不是反比例关系.
(1)某中学七年级(2)班学生为校运动会制作小红花800朵，完成天数y(天)随该班学生平均每天制作的数量x(朵)的变化而变化；
(2)小明家距学校4 000 m，若他骑车上学的平均速度是300 m/min，则上学途中他与学校的距离y(单位：m)随他骑车的时间x(单位：min)的变化而变化.

(1)根据题意,得 $xy=800$,
所以 $y$ 与 $x$ 是反比例关系.
(2)根据题意,得 $y=4\ 000-300x$,不是反比例关系.

【分析】
解题时首先需要根据每个小题的实际情景梳理数量关系，列出y与x的表达式，再结合反比例关系的定义（若两个变量的乘积为固定值，则这两个量成反比例关系）判断即可。
对于第(1)问：制作小红花的总数量=平均每天制作的数量×完成天数，总数量固定为800朵，据此列等式后判断是否符合反比例关系特征；
对于第(2)问：剩余距离学校的路程=总路程-已经骑行的路程，已经骑行的路程=速度×时间，据此列等式后再判断是否符合反比例关系特征。
【解析】
(1) 根据“总制作量=日均制作量×完成天数”的等量关系，代入已知总制作量800朵，可得$xy=800$，x和y的乘积为定值800，符合反比例关系的特征，因此y与x是反比例关系。
(2) 根据“剩余到学校的距离=总路程-已骑行路程”，已骑行路程为速度乘时间即$300x$，代入总路程4000m，可得$y=4000-300x$，该式中y与x的乘积不是固定值，不符合反比例关系的特征，因此y与x不是反比例关系。
【答案】
(1)根据题意,得 $xy=800$,所以 $y$ 与 $x$ 是反比例关系.
(2)根据题意,得 $y=4\ 000-300x$,不是反比例关系.
【知识点】
根据实际问题列关系式；反比例关系的判定
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是先找准实际问题中的等量关系，正确列出两个变量的关系式，再根据反比例关系的核心特征（两变量乘积为定值）进行判断即可，注意不要混淆一次关系和反比例关系的形式。
【难度系数】
0.9

【变式】(2024秋福州期末)公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现“杠杆原理”,通俗地说,即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.小明同学用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别是500 N和0.5 m,则动力F(单位:N)与动力臂l(单位:m)的关系正确的是 ()


A.成反比例关系,$Fl=500$
B.成反比例关系,$Fl=250$
C.成正比例关系,$Fl=500$
D.成正比例关系,$Fl=250$

B

【分析】
解题时首先结合题目给出的杠杆原理公式“阻力×阻力臂=动力×动力臂”，代入已知的阻力、阻力臂的数值计算出定值，再根据反比例关系的定义：两个相关联的变量乘积为定值时，两个变量成反比例关系，判断动力F和动力臂l的关系，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据题意可知杠杆原理满足：$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂}$
已知阻力为$500\mathrm{N}$，阻力臂为$0.5\mathrm{m}$，动力为$F$，动力臂为$l$，代入公式得：
$500 × 0.5 = F × l$
计算得：$Fl=250$
因为F和l的乘积为固定值250，所以F和l成反比例关系，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例关系判定；代数式计算
【点评】
本题结合生活场景和物理杠杆原理知识考查反比例关系的判定，解题关键是先根据已知条件算出两个变量的乘积定值，再结合反比例的定义判断即可，属于基础的跨学科应用题型。
【难度系数】
0.8

1. (2024秋集贤县期末)下列问题中的两个量成反比例关系的是 ()

A.周长一定的长方形的长和宽
B.单价一定的商品的总价格和数量
C.长一定的长方形的面积和宽
D.工作量一定的工作效率和工作时间

D

【分析】要判断两个量是否成反比例，首先要明确反比例关系的判定标准：一是两个量相关联，一个量变化另一个量也随之变化；二是两个量的乘积为固定值。解题时我们先回忆各选项涉及的数量关系公式，再对照判定标准逐一分析每个选项即可得出答案。
【解析】首先明确反比例关系的定义：两种相关联的量，若它们相对应的两个数的乘积一定，则这两个量成反比例关系。
对各选项逐一分析：
A. 长方形周长公式为$C=2×(长+宽)$，周长一定时，长与宽的和为定值，不是乘积为定值，因此长和宽不成反比例关系；
B. 商品总价公式为$总价=单价×数量$，单价一定时，$总价÷数量=单价$（定值），即商为定值，总价和数量成正比例关系，不是反比例关系；
C. 长方形面积公式为$S=长×宽$，长一定时，$面积÷宽=长$（定值），即商为定值，面积和宽成正比例关系，不是反比例关系；
D. 工程问题公式为$工作量=工作效率×工作时间$，工作量一定时，工作效率和工作时间的乘积为定值，因此二者成反比例关系。
综上，答案选D。
【答案】D
【知识点】反比例关系的判定；正比例关系的判定
【点评】本题是比例关系判定的基础题型，解题核心是区分清楚反比例、正比例的判定条件：乘积一定为反比例，商（比值）一定为正比例，若仅为和或差一定则不成比例，熟练掌握常见数量关系公式是快速解题的关键。
【难度系数】0.8