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2. (2024秋崆峒区期末)已知$ab=8$，则a与b
（
A.成反比例关系
B.成正比例关系
C.不成比例关系
D.不能判断
（
A
）A.成反比例关系
B.成正比例关系
C.不成比例关系
D.不能判断
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确正比例关系和反比例关系的判断标准：两种相关联的量，若相对应两个数的比值（商）固定不变，则成正比例关系；若相对应两个数的乘积固定不变，则成反比例关系。接下来只需判断题干中a和b是乘积一定还是商一定即可，题干给出ab=8，说明a和b的乘积是固定值8，符合反比例关系的判定条件。
【解析】
首先回忆比例关系的判定规则：
1. 正比例关系：两种相关联的量，变化趋势相同，且对应数的比值$\frac{y}{x}=k$（k为固定常数），则成正比例关系；
2. 反比例关系：两种相关联的量，变化趋势相反，且对应数的乘积$xy=k$（k为固定常数），则成反比例关系。
已知$ab=8$，即a和b的乘积为固定值8，满足反比例关系的判定条件，因此a与b成反比例关系。
【答案】
A
【知识点】
反比例关系判定；正比例与反比例的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握两种比例关系的判断依据，抓住“比值一定成正比例、乘积一定成反比例”的核心判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确正比例关系和反比例关系的判断标准：两种相关联的量，若相对应两个数的比值（商）固定不变，则成正比例关系；若相对应两个数的乘积固定不变，则成反比例关系。接下来只需判断题干中a和b是乘积一定还是商一定即可，题干给出ab=8，说明a和b的乘积是固定值8，符合反比例关系的判定条件。
【解析】
首先回忆比例关系的判定规则：
1. 正比例关系：两种相关联的量，变化趋势相同，且对应数的比值$\frac{y}{x}=k$（k为固定常数），则成正比例关系；
2. 反比例关系：两种相关联的量，变化趋势相反，且对应数的乘积$xy=k$（k为固定常数），则成反比例关系。
已知$ab=8$，即a和b的乘积为固定值8，满足反比例关系的判定条件，因此a与b成反比例关系。
【答案】
A
【知识点】
反比例关系判定；正比例与反比例的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握两种比例关系的判断依据，抓住“比值一定成正比例、乘积一定成反比例”的核心判定规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. (2024秋越秀区校级期中)一个玩具组装车间要完成一项任务，每天组装玩具的数量与需要的天数如下表：
若每天组装的数量用p表示，需要的天数用t表示，则p与t成
若每天组装的数量用p表示，需要的天数用t表示，则p与t成
反
比例关系；用式子表示p，t和组装的玩具总数之间的关系为：$pt=12\ 000$
。答案
反 $pt=12\ 000$
解析
【分析】
要判断p和t成什么比例，首先明确正反比例的判断规则：若两个相关联的量的比值一定，则成正比例；若乘积一定，则成反比例。我们先计算表格中每组p与t的乘积，验证乘积是否为定值：500×24=12000、600×20=12000、800×15=12000，其余组计算后乘积也均为12000，说明p和t的乘积为固定的玩具总数量，符合反比例的特征，据此即可得出比例关系和三者的关系式。
【解析】
首先计算每组每天组装数量p和所需天数t的乘积：
$500×24=12000$
$600×20=12000$
$800×15=12000$
$1000×12=12000$
$1200×10=12000$
可得p和t的乘积始终为定值12000（即组装的玩具总数量），根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。因此p与t成反比例关系，三者的关系可表示为$pt=12000$。
【答案】
反；$pt=12000$
【知识点】
反比例的判定，反比例关系式
【点评】
本题考查反比例关系的基础应用，解题关键是抓住反比例“乘积一定”的核心特征，通过计算验证对应量的乘积是否恒定，再结合定义判断比例关系，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
要判断p和t成什么比例，首先明确正反比例的判断规则：若两个相关联的量的比值一定，则成正比例；若乘积一定，则成反比例。我们先计算表格中每组p与t的乘积，验证乘积是否为定值：500×24=12000、600×20=12000、800×15=12000，其余组计算后乘积也均为12000，说明p和t的乘积为固定的玩具总数量，符合反比例的特征，据此即可得出比例关系和三者的关系式。
【解析】
首先计算每组每天组装数量p和所需天数t的乘积：
$500×24=12000$
$600×20=12000$
$800×15=12000$
$1000×12=12000$
$1200×10=12000$
可得p和t的乘积始终为定值12000（即组装的玩具总数量），根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。因此p与t成反比例关系，三者的关系可表示为$pt=12000$。
【答案】
反；$pt=12000$
【知识点】
反比例的判定，反比例关系式
【点评】
本题考查反比例关系的基础应用，解题关键是抓住反比例“乘积一定”的核心特征，通过计算验证对应量的乘积是否恒定，再结合定义判断比例关系，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
4.某长方体的体积为$100\ \mathrm{cm}^3$，用式子表示长方体的高$h$(单位：$\mathrm{cm}$)与底面积$S$(单位：$\mathrm{cm}^2$)的关系为
$hS=100$
答案
$hS=100$
解析
【分析】
解题时首先回忆长方体的体积计算公式，明确体积、底面积、高三者之间的等量关系，再将已知的固定体积值代入等量关系，整理即可得到高h和底面积S的关系式。
【解析】
长方体的体积计算公式为：$\mathrm{体积} = \mathrm{底面积} × \mathrm{高}$，用字母可表示为 $V = S · h$。
已知该长方体体积$V=100\ \mathrm{cm}^3$，将数值代入上述公式，可得：$100 = S · h$，整理后即$hS=100$。
【答案】
$hS=100$
【知识点】
1.长方体体积计算 2.列数量关系式 3.反比例关系
【点评】
本题属于基础题型，是对长方体体积公式的直接应用，只要熟练掌握基础公式，代入已知量即可列出两个变量之间的关系式，是后续学习反比例相关内容的基础铺垫。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆长方体的体积计算公式，明确体积、底面积、高三者之间的等量关系，再将已知的固定体积值代入等量关系，整理即可得到高h和底面积S的关系式。
【解析】
长方体的体积计算公式为：$\mathrm{体积} = \mathrm{底面积} × \mathrm{高}$，用字母可表示为 $V = S · h$。
已知该长方体体积$V=100\ \mathrm{cm}^3$，将数值代入上述公式，可得：$100 = S · h$，整理后即$hS=100$。
【答案】
$hS=100$
【知识点】
1.长方体体积计算 2.列数量关系式 3.反比例关系
【点评】
本题属于基础题型，是对长方体体积公式的直接应用，只要熟练掌握基础公式，代入已知量即可列出两个变量之间的关系式，是后续学习反比例相关内容的基础铺垫。
【难度系数】
0.9
5. 三角形的面积为 15 cm²，它的一边长为 x cm，且此边上的高为 y cm，用式子表示 x 与 y 的关系。
答案
解:因为三角形的面积=边长×这边上的高÷2,三角形的面积为 15 cm²,一边长为 x cm,此边上的高为 y cm,
所以 $xy=30$.
所以 $xy=30$.
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形的面积计算公式，题目已经给出三角形的面积、一边长和这条边上对应的高，我们先把已知数值和对应字母代入面积公式，再通过简单的等式变形就能得到x与y的关系式。
【解析】
根据三角形面积公式：$\mathrm{三角形面积}=\mathrm{底}×\mathrm{底边上的高}÷2$，
已知三角形面积为$15\ \mathrm{cm}^2$，底边长为$x\ \mathrm{cm}$，这条边上的高为$y\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$15=\frac{1}{2}xy$，
等式两边同时乘2，整理可得：$xy=30$。
【答案】
$xy=30$
【知识点】
三角形面积计算、用字母表示数量关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对基础公式的运用能力，以及根据等量关系梳理两个变量之间关系的能力，熟练掌握三角形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形的面积计算公式，题目已经给出三角形的面积、一边长和这条边上对应的高，我们先把已知数值和对应字母代入面积公式，再通过简单的等式变形就能得到x与y的关系式。
【解析】
根据三角形面积公式：$\mathrm{三角形面积}=\mathrm{底}×\mathrm{底边上的高}÷2$，
已知三角形面积为$15\ \mathrm{cm}^2$，底边长为$x\ \mathrm{cm}$，这条边上的高为$y\ \mathrm{cm}$，代入公式得：
$15=\frac{1}{2}xy$，
等式两边同时乘2，整理可得：$xy=30$。
【答案】
$xy=30$
【知识点】
三角形面积计算、用字母表示数量关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对基础公式的运用能力，以及根据等量关系梳理两个变量之间关系的能力，熟练掌握三角形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6. (2024杭州模拟)在一项科学实验中,研究人员对不同形状的物体进行了压力测试,这些物体的质量相同,但形状各异.研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上,并记录了测试平台受到的压力(单位:Pa)与受力面积(单位:m²)之间的关系,结果如表所示:
根据上表数据,用式子表示桌面所受压强P与受力面积S之间的关系.
根据上表数据,用式子表示桌面所受压强P与受力面积S之间的关系.
答案
解:桌面所受压强 $P(\mathrm{Pa})$ 与受力面积 $S(\mathrm{m}^2)$ 之间的关系式是 $PS=100$.
解析
【分析】要推导桌面所受压强P与受力面积S的关系式，首先观察表格中两组变量的对应数据，我们可以先计算每一组P和S的乘积，判断乘积是否为固定值。若两个相关联的量的乘积始终不变，说明二者成反比例关系，即可用“两个量的乘积等于定值”的形式写出它们的数量关系。
【解析】分别计算表格中每组P与S的乘积：
当$P=50\mathrm{Pa}$、$S=2\mathrm{m}^2$时，$P× S=50×2=100$；
当$P=100\mathrm{Pa}$、$S=1\mathrm{m}^2$时，$P× S=100×1=100$；
当$P=200\mathrm{Pa}$、$S=0.5\mathrm{m}^2$时，$P× S=200×0.5=100$；
当$P=400\mathrm{Pa}$、$S=0.25\mathrm{m}^2$时，$P× S=400×0.25=100$。
可以发现所有组的P与S的乘积均为定值100，因此压强P与受力面积S的关系为$PS=100$。
【答案】桌面所受压强 $P(\mathrm{Pa})$ 与受力面积 $S(\mathrm{m}^2)$ 之间的关系式是 $PS=100$。
【知识点】1.反比例关系 2.变量间关系的表示
【点评】本题侧重考查从表格数据中挖掘规律的能力，解题的核心是发现两个变量的乘积为定值，掌握反比例关系的特征就能快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】分别计算表格中每组P与S的乘积：
当$P=50\mathrm{Pa}$、$S=2\mathrm{m}^2$时，$P× S=50×2=100$；
当$P=100\mathrm{Pa}$、$S=1\mathrm{m}^2$时，$P× S=100×1=100$；
当$P=200\mathrm{Pa}$、$S=0.5\mathrm{m}^2$时，$P× S=200×0.5=100$；
当$P=400\mathrm{Pa}$、$S=0.25\mathrm{m}^2$时，$P× S=400×0.25=100$。
可以发现所有组的P与S的乘积均为定值100，因此压强P与受力面积S的关系为$PS=100$。
【答案】桌面所受压强 $P(\mathrm{Pa})$ 与受力面积 $S(\mathrm{m}^2)$ 之间的关系式是 $PS=100$。
【知识点】1.反比例关系 2.变量间关系的表示
【点评】本题侧重考查从表格数据中挖掘规律的能力，解题的核心是发现两个变量的乘积为定值，掌握反比例关系的特征就能快速求解。
【难度系数】0.8
7.某日,李老师决定用骑行代替开车去学校.当路程一定时,李老师骑行的平均速度v(单位:km/h)与骑行时间t(单位:h)成反比例关系.根据以往骑行两地的经验,v,t的一些对应值如下表:
(1)根据表中的数据,用式子表示李老师骑行的平均速度v与行驶时间t的关系.
(2)安全起见,骑行速度一般不超过30 km/h.李老师上午8:30从家出发,请判断李老师能否在上午9:10之前到达学校,并说明理由.
(3)据统计,汽车行驶1 km会产生约0.2 kg的二氧化碳.请计算李老师从家骑行到学校的过程中二氧化碳的减排量.
(1)根据表中的数据,用式子表示李老师骑行的平均速度v与行驶时间t的关系.
(2)安全起见,骑行速度一般不超过30 km/h.李老师上午8:30从家出发,请判断李老师能否在上午9:10之前到达学校,并说明理由.
(3)据统计,汽车行驶1 km会产生约0.2 kg的二氧化碳.请计算李老师从家骑行到学校的过程中二氧化碳的减排量.
答案
(1)根据表中数据可知,$vt=24$.
(2)李老师在上午9:10之前不能到达学校,理由如下:
因为从上午8:30到上午9:10,用时 40 min,即 $\frac{2}{3}$ h.
当 $t=\frac{2}{3}$ 时,$v=\frac{24}{\frac{2}{3}}=36(\mathrm{km/h})$.
因为骑行速度不超过 30 km/h,
所以李老师在上午9:10之前不能到达学校;
(3)因为 $vt=24$,
从家骑行到学校的距离为 24 km,
所以李老师从家骑行到学校的过程中二氧化碳的减排量为
$24×0.2=4.8(\mathrm{kg})$.
(2)李老师在上午9:10之前不能到达学校,理由如下:
因为从上午8:30到上午9:10,用时 40 min,即 $\frac{2}{3}$ h.
当 $t=\frac{2}{3}$ 时,$v=\frac{24}{\frac{2}{3}}=36(\mathrm{km/h})$.
因为骑行速度不超过 30 km/h,
所以李老师在上午9:10之前不能到达学校;
(3)因为 $vt=24$,
从家骑行到学校的距离为 24 km,
所以李老师从家骑行到学校的过程中二氧化碳的减排量为
$24×0.2=4.8(\mathrm{kg})$.
解析
【分析】
第(1)问：题目明确路程一定时v与t成反比例关系，反比例关系的特征是两个变量的乘积为定值（即路程$s=vt$），我们只需计算表格中任意一组v和t的乘积，得到定值后即可写出v与t的关系式。第(2)问：先算出8:30到9:10的时长，换算为小时单位后代入反比例关系式，算出该时长内到达学校需要的速度，再和限速30km/h比较，若所需速度超过限速则无法按时到达。第(3)问：前面已得到家到学校的路程为24km，骑行无碳排放，减排量就等于开车行驶24km的碳排放量，用路程乘每千米碳排放量即可求解。
【解析】
(1) 计算表格中每组v与t的乘积：
$2×12=24$，$1.5×16=24$，$1.2×20=24$，$1×24=24$，
因路程一定时v和t成反比例，乘积为定值，因此v与t的关系为$\boldsymbol{vt=24}$（也可写为$v=\frac{24}{t}$）。
(2) 先计算行驶时长：上午8:30到9:10的时间差为40分钟，换算为小时是$40÷60=\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$。
将$t=\frac{2}{3}$代入$vt=24$，得所需速度$v=\frac{24}{\frac{2}{3}}=36\ \mathrm{km/h}$。
已知骑行速度不超过30km/h，$36＞30$，即该时长内到达的所需速度超过限速，因此李老师不能在上午9:10之前到达学校。
(3) 由$vt=24$可知家到学校的路程为24km，因此减排量为：
$24×0.2=4.8\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{vt=24}$（或$v=\dfrac{24}{t}$）；
(2) 李老师不能在上午9:10之前到达学校，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{4.8\ \mathrm{kg}}$。
【知识点】
反比例关系，行程问题计算，有理数乘法应用
【点评】
本题结合日常出行的实际场景，考查反比例关系在行程问题中的应用，解题核心是先根据反比例性质确定路程定值，再结合实际限制条件逐步计算，贴近生活，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
第(1)问：题目明确路程一定时v与t成反比例关系，反比例关系的特征是两个变量的乘积为定值（即路程$s=vt$），我们只需计算表格中任意一组v和t的乘积，得到定值后即可写出v与t的关系式。第(2)问：先算出8:30到9:10的时长，换算为小时单位后代入反比例关系式，算出该时长内到达学校需要的速度，再和限速30km/h比较，若所需速度超过限速则无法按时到达。第(3)问：前面已得到家到学校的路程为24km，骑行无碳排放，减排量就等于开车行驶24km的碳排放量，用路程乘每千米碳排放量即可求解。
【解析】
(1) 计算表格中每组v与t的乘积：
$2×12=24$，$1.5×16=24$，$1.2×20=24$，$1×24=24$，
因路程一定时v和t成反比例，乘积为定值，因此v与t的关系为$\boldsymbol{vt=24}$（也可写为$v=\frac{24}{t}$）。
(2) 先计算行驶时长：上午8:30到9:10的时间差为40分钟，换算为小时是$40÷60=\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$。
将$t=\frac{2}{3}$代入$vt=24$，得所需速度$v=\frac{24}{\frac{2}{3}}=36\ \mathrm{km/h}$。
已知骑行速度不超过30km/h，$36＞30$，即该时长内到达的所需速度超过限速，因此李老师不能在上午9:10之前到达学校。
(3) 由$vt=24$可知家到学校的路程为24km，因此减排量为：
$24×0.2=4.8\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{vt=24}$（或$v=\dfrac{24}{t}$）；
(2) 李老师不能在上午9:10之前到达学校，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{4.8\ \mathrm{kg}}$。
【知识点】
反比例关系，行程问题计算，有理数乘法应用
【点评】
本题结合日常出行的实际场景，考查反比例关系在行程问题中的应用，解题核心是先根据反比例性质确定路程定值，再结合实际限制条件逐步计算，贴近生活，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75
