9. 如图，$\odot C$经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为$(0,2)$。D是$\odot C$在第一象限内的一点，且$∠ ODB=60°$。
(1)求$\odot C$的半径。
(2)求圆心C的坐标。

9.(1)如图,连结 AB,因为∠ODB = ∠OAB,∠ODB=60°,所以∠OAB=60°,因为∠AOB是直角,所以 AB 是 ⊙C 的直径,∠OBA=30°,所以 AB = 2OA = 4,所以 ⊙C 的半径 r=2。
(2)在Rt△OAB 中,由勾股定理得 OB²+OA²=AB²,所以 OB=2√3,过点 C 作 CE⊥OA 于点 E,CF⊥OB 于点 F,由垂径定理得 OE=AE=1,OF=BF=√3,所以 CE=√3,CF=1,所以 C 的坐标为(√3,1)。

10. 如图，点A,B,C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠ABC=60°，则弦AC的长等于。

第10题图 第11题图

10.4√3

11. 如图，AB为$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上的点，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，若$∠ CAB=37°$，则$∠ CAD=$。

11.26.5°

12. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AC为$\odot O$的直径，DB平分$∠ ADC$。
(1)试判断$△ ABC$的形状，并给出证明。
(2)若$AB=\sqrt{3}$，$AD=1$，求CD的长度。
(3)在(2)的条件下，求点D到AC的距离。

12.(1)△ABC 是等腰直角三角形。 证明:因为 AC 是⊙O 的直径,所以 ∠ABC = 90°,因为 DB 平分 ∠ADC,所以 ∠ADB = ∠BDC,所以 ⌒AB = ⌒BC,所以 AB=BC,所以△ABC 是等腰直角三角形。
(2)由(1)可知△ABC 是等腰直角三角形,所以 AC=√2 AB=√2×√3=√6,因为 AC 是直径,所以∠ADC=90°,在 Rt△ADC 中, CD = √(AC²-AD²) = √((√6)²-1²)=√5,所以 CD 的长为√5。
(3)如图所示,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,因为 S△ACD = 1/2 AD · CD = 1/2 AC · DE,所以 DE = (AD·CD)/AC = (1×√5)/√6 = √30/6,所以点 D 到 AC 的距离为√30/6。

13. 对于解决较复杂问题，借助构图法，往往会有意想不到的效果。例如：“如图1，已知在平面直角坐标系中，有A(-1,1)，B(-1,-3)两点，点C在x轴正半轴上，且∠ACB=45°，求点C的坐标。”对于该题，我们可以先构造出经过点A，B，C的⊙M，如图2。由∠ACB=45°可得∠AMB=90°，然后利用圆的相关性质，可求得点C的坐标为。

13.(1+√7,0) 【解析】取 AB 中点 H,则 H(-1,-1),连 MH,知 MH=1/2 AB=2,所以 M(1,-1)。求得半径 MA=2√2,作 MN⊥OC 于点 N,连结 MC,求得 NC=√((2√2)²-1²)=√7。而 N(1,0),所以 C(1+√7,0)。