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方法一 一元一次方程的常规解法
解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
1. 解下列方程:
(1) $\frac{x-3}{5} - \frac{x-4}{3} = 1$;
(2) $\frac{2x-3}{6} = 1 - \frac{x-1}{2}$;
(3) $\frac{x+2}{4} - \frac{2x-1}{6} = 1$;
(4) $2.4 - \frac{x-4}{2} = \frac{3}{5}x$.
解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
1. 解下列方程:
(1) $\frac{x-3}{5} - \frac{x-4}{3} = 1$;
(2) $\frac{2x-3}{6} = 1 - \frac{x-1}{2}$;
(3) $\frac{x+2}{4} - \frac{2x-1}{6} = 1$;
(4) $2.4 - \frac{x-4}{2} = \frac{3}{5}x$.
答案
1. (1) $x=-2$；(2) $x=\frac{12}{5}$；(3) $x=-4$；(4) $x=4$
解析
【分析】
解这类一元一次方程按照常规五步思路求解：①去分母：先找到方程中所有分母的最小公倍数，方程两边同乘该最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的常数项；②去括号：按照去括号法则计算，括号前是负号时括号内各项要变号；③移项：把含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项要变号；④合并同类项：把等号两边分别合并，化成$ax=b(a≠0)$的形式；⑤系数化为1：两边同除以$a$得到方程的解，接下来逐个方程按步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x-3}{5} - \frac{x-4}{3} = 1$
去分母，两边同乘15：
$3(x-3) - 5(x-4) = 15$
去括号：
$3x - 9 - 5x + 20 = 15$
合并同类项：
$-2x + 11 = 15$
移项：
$-2x = 15 - 11$
$-2x = 4$
系数化为1：
$x = -2$
(2) 解方程$\frac{2x-3}{6} = 1 - \frac{x-1}{2}$
去分母，两边同乘6：
$2x - 3 = 6 - 3(x - 1)$
去括号：
$2x - 3 = 6 - 3x + 3$
合并同类项：
$2x - 3 = 9 - 3x$
移项：
$2x + 3x = 9 + 3$
$5x = 12$
系数化为1：
$x = \frac{12}{5}$
(3) 解方程$\frac{x+2}{4} - \frac{2x-1}{6} = 1$
去分母，两边同乘12：
$3(x + 2) - 2(2x - 1) = 12$
去括号：
$3x + 6 - 4x + 2 = 12$
合并同类项：
$-x + 8 = 12$
移项：
$-x = 12 - 8$
$-x = 4$
系数化为1：
$x = -4$
(4) 解方程$2.4 - \frac{x-4}{2} = \frac{3}{5}x$
去分母，两边同乘10（同时消去小数）：
$24 - 5(x - 4) = 6x$
去括号：
$24 - 5x + 20 = 6x$
合并同类项：
$44 - 5x = 6x$
移项：
$44 = 6x + 5x$
$11x = 44$
系数化为1：
$x = 4$
【答案】
1. (1) $x=-2$；(2) $x=\frac{12}{5}$；(3) $x=-4$；(4) $x=4$
【知识点】
一元一次方程解法、去分母法则、移项法则
【点评】
本题是一元一次方程常规解法的基础训练，核心考察解一元一次方程的标准步骤，解题时需注意去分母不要漏乘常数项，去括号、移项时留意符号变化，熟练掌握步骤即可准确求解。
【难度系数】
0.8
解这类一元一次方程按照常规五步思路求解：①去分母：先找到方程中所有分母的最小公倍数，方程两边同乘该最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的常数项；②去括号：按照去括号法则计算，括号前是负号时括号内各项要变号；③移项：把含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项要变号；④合并同类项：把等号两边分别合并，化成$ax=b(a≠0)$的形式；⑤系数化为1：两边同除以$a$得到方程的解，接下来逐个方程按步骤计算即可。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x-3}{5} - \frac{x-4}{3} = 1$
去分母，两边同乘15：
$3(x-3) - 5(x-4) = 15$
去括号：
$3x - 9 - 5x + 20 = 15$
合并同类项：
$-2x + 11 = 15$
移项：
$-2x = 15 - 11$
$-2x = 4$
系数化为1：
$x = -2$
(2) 解方程$\frac{2x-3}{6} = 1 - \frac{x-1}{2}$
去分母，两边同乘6：
$2x - 3 = 6 - 3(x - 1)$
去括号：
$2x - 3 = 6 - 3x + 3$
合并同类项：
$2x - 3 = 9 - 3x$
移项：
$2x + 3x = 9 + 3$
$5x = 12$
系数化为1：
$x = \frac{12}{5}$
(3) 解方程$\frac{x+2}{4} - \frac{2x-1}{6} = 1$
去分母，两边同乘12：
$3(x + 2) - 2(2x - 1) = 12$
去括号：
$3x + 6 - 4x + 2 = 12$
合并同类项：
$-x + 8 = 12$
移项：
$-x = 12 - 8$
$-x = 4$
系数化为1：
$x = -4$
(4) 解方程$2.4 - \frac{x-4}{2} = \frac{3}{5}x$
去分母，两边同乘10（同时消去小数）：
$24 - 5(x - 4) = 6x$
去括号：
$24 - 5x + 20 = 6x$
合并同类项：
$44 - 5x = 6x$
移项：
$44 = 6x + 5x$
$11x = 44$
系数化为1：
$x = 4$
【答案】
1. (1) $x=-2$；(2) $x=\frac{12}{5}$；(3) $x=-4$；(4) $x=4$
【知识点】
一元一次方程解法、去分母法则、移项法则
【点评】
本题是一元一次方程常规解法的基础训练，核心考察解一元一次方程的标准步骤，解题时需注意去分母不要漏乘常数项，去括号、移项时留意符号变化，熟练掌握步骤即可准确求解。
【难度系数】
0.8
2. 解方程:$3(x+2)-2(x+2)=2x+4.$
答案
$x=-2$
解析
【分析】
这是一道一元一次方程求解的题目，我们可以按照一元一次方程的常规解题步骤求解，也可以先观察方程结构，发现左侧两项都含有公因式$(x+2)$，把$(x+2)$看作整体先合并左侧同类项简化计算。解题时要注意去括号的符号规则，移项时要记得变号，最后将$x$的系数化为1即可得到解。
【解析】
解法1：（常规步骤法）
1. 去括号：$3x + 6 - 2x - 4 = 2x + 4$
2. 合并左侧同类项：$x + 2 = 2x + 4$
3. 移项：将含$x$的项移到等式左侧，常数项移到等式右侧，移项需变号，得$x - 2x = 4 - 2$
4. 合并同类项：$-x = 2$
5. 系数化为1：等式两边同时除以$-1$，得$x = -2$
解法2：（简便法）
1. 把$(x+2)$看作整体，合并左侧同类项：$(3-2)(x+2) = 2x + 4$，化简得$x + 2 = 2x + 4$
2. 后续移项、合并同类项、系数化为1的步骤同解法1，最终解得$x = -2$
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一元一次方程的解法、合并同类项、移项法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础题型，既可以按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解，也可以观察方程结构简化计算，解题时需注意移项的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程求解的题目，我们可以按照一元一次方程的常规解题步骤求解，也可以先观察方程结构，发现左侧两项都含有公因式$(x+2)$，把$(x+2)$看作整体先合并左侧同类项简化计算。解题时要注意去括号的符号规则，移项时要记得变号，最后将$x$的系数化为1即可得到解。
【解析】
解法1：（常规步骤法）
1. 去括号：$3x + 6 - 2x - 4 = 2x + 4$
2. 合并左侧同类项：$x + 2 = 2x + 4$
3. 移项：将含$x$的项移到等式左侧，常数项移到等式右侧，移项需变号，得$x - 2x = 4 - 2$
4. 合并同类项：$-x = 2$
5. 系数化为1：等式两边同时除以$-1$，得$x = -2$
解法2：（简便法）
1. 把$(x+2)$看作整体，合并左侧同类项：$(3-2)(x+2) = 2x + 4$，化简得$x + 2 = 2x + 4$
2. 后续移项、合并同类项、系数化为1的步骤同解法1，最终解得$x = -2$
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一元一次方程的解法、合并同类项、移项法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础题型，既可以按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求解，也可以观察方程结构简化计算，解题时需注意移项的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
3. 解方程: $2(x+1)-3(x-1)=2(x-1)+\dfrac{1}{2}(x+1).$
答案
$x=\frac{13}{7}$
解析
【分析】
观察方程特征，两边均含有$(x+1)$和$(x-1)$的同类整式项，且方程右侧含分数系数，我们可以先通过去分母消去分数简化计算，再按照移项、合并同类项、去括号、系数化为1的步骤求解，也可先将$(x+1)$、$(x-1)$看作整体移项合并，再进一步求解，计算时注意不要漏乘、移项要变号即可。
【解析】
解：1. 去分母：方程两边同时乘以2，消去分母，每一项都要乘2，得
$4(x+1)-6(x-1)=4(x-1)+(x+1)$
2. 移项：将含$(x+1)$的项移到方程左边，含$(x-1)$的项移到方程右边，移项要变号，得
$4(x+1)-(x+1)=4(x-1)+6(x-1)$
3. 合并同类项：
$3(x+1)=10(x-1)$
4. 去括号：
$3x+3=10x-10$
5. 移项：
$3x-10x=-10-3$
6. 合并同类项：
$-7x=-13$
7. 系数化为1：两边同时除以$-7$，得
$x=\frac{13}{7}$
【答案】
$x=\frac{13}{7}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 去分母法则
3. 移项与合并同类项
【点评】
本题属于一元一次方程求解的常规题型，既可以按常规步骤求解，也可观察方程结构将相同整式作为整体简化计算，求解时需注意去分母时不要漏乘每一项，移项要记得变号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
观察方程特征，两边均含有$(x+1)$和$(x-1)$的同类整式项，且方程右侧含分数系数，我们可以先通过去分母消去分数简化计算，再按照移项、合并同类项、去括号、系数化为1的步骤求解，也可先将$(x+1)$、$(x-1)$看作整体移项合并，再进一步求解，计算时注意不要漏乘、移项要变号即可。
【解析】
解：1. 去分母：方程两边同时乘以2，消去分母，每一项都要乘2，得
$4(x+1)-6(x-1)=4(x-1)+(x+1)$
2. 移项：将含$(x+1)$的项移到方程左边，含$(x-1)$的项移到方程右边，移项要变号，得
$4(x+1)-(x+1)=4(x-1)+6(x-1)$
3. 合并同类项：
$3(x+1)=10(x-1)$
4. 去括号：
$3x+3=10x-10$
5. 移项：
$3x-10x=-10-3$
6. 合并同类项：
$-7x=-13$
7. 系数化为1：两边同时除以$-7$，得
$x=\frac{13}{7}$
【答案】
$x=\frac{13}{7}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 去分母法则
3. 移项与合并同类项
【点评】
本题属于一元一次方程求解的常规题型，既可以按常规步骤求解，也可观察方程结构将相同整式作为整体简化计算，求解时需注意去分母时不要漏乘每一项，移项要记得变号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
4. 解方程：$2[\dfrac{4}{3}x - (\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{2})] = \dfrac{3}{4}x.$
答案
$x=-\frac{12}{7}$
解析
【分析】
这是一道含多层括号的一元一次方程求解题目，解题按照一元一次方程的标准步骤展开：首先按照从内到外的顺序去括号，去括号时要注意符号变化，正确运用乘法分配律；随后将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项需变号；再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。
【解析】
解：
1. 去小括号并合并中括号内的同类项：
原方程可化为$2(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}x$，即$2(\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}x$
2. 去中括号，运用乘法分配律展开：
$2×\dfrac{2}{3}x + 2×\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}x$，计算得$\dfrac{4}{3}x + 1 = \dfrac{3}{4}x$
3. 移项：
将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得$\dfrac{4}{3}x - \dfrac{3}{4}x = -1$
4. 合并同类项：
通分后计算得$\dfrac{16}{12}x - \dfrac{9}{12}x = -1$，即$\dfrac{7}{12}x = -1$
5. 系数化为1：
两边同时乘$\dfrac{12}{7}$，得$x = -\dfrac{12}{7}$
【答案】
$x=-\dfrac{12}{7}$
【知识点】
1. 去括号法则
2. 一元一次方程解法
3. 移项合并同类项
【点评】
本题重点考查带多层括号的一元一次方程的求解，易错点为去括号时符号处理失误、移项未变号、通分计算错误，熟练掌握一元一次方程的求解步骤，计算时细心就能准确作答。
【难度系数】
0.7
这是一道含多层括号的一元一次方程求解题目，解题按照一元一次方程的标准步骤展开：首先按照从内到外的顺序去括号，去括号时要注意符号变化，正确运用乘法分配律；随后将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项需变号；再合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解。
【解析】
解：
1. 去小括号并合并中括号内的同类项：
原方程可化为$2(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}x$，即$2(\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}x$
2. 去中括号，运用乘法分配律展开：
$2×\dfrac{2}{3}x + 2×\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}x$，计算得$\dfrac{4}{3}x + 1 = \dfrac{3}{4}x$
3. 移项：
将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得$\dfrac{4}{3}x - \dfrac{3}{4}x = -1$
4. 合并同类项：
通分后计算得$\dfrac{16}{12}x - \dfrac{9}{12}x = -1$，即$\dfrac{7}{12}x = -1$
5. 系数化为1：
两边同时乘$\dfrac{12}{7}$，得$x = -\dfrac{12}{7}$
【答案】
$x=-\dfrac{12}{7}$
【知识点】
1. 去括号法则
2. 一元一次方程解法
3. 移项合并同类项
【点评】
本题重点考查带多层括号的一元一次方程的求解，易错点为去括号时符号处理失误、移项未变号、通分计算错误，熟练掌握一元一次方程的求解步骤，计算时细心就能准确作答。
【难度系数】
0.7
5. 解方程: $\frac{1}{2}\{\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x -1)-1]-1\}-1=-1.$
答案
$x=14$
解析
【分析】
观察这个方程，带有多层分数系数括号，如果直接从内向外去括号计算量较大，容易出错。我们可以利用等式的基本性质，从外向内逐层消去系数和常数项，步骤更简洁，也能减少计算失误：首先把方程左边最外侧的常数项移到右侧，再两边同时乘2消去最外层的$\frac{1}{2}$系数，重复这个操作逐层向内化简，最后就能轻松求出$x$的值。
【解析】
解：原方程为 $\frac{1}{2}\{\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x -1)-1]-1\}-1=-1$
1. 方程两边同时加1，得：
$\frac{1}{2}\{\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x -1)-1]-1\}=0$
2. 方程两边同时乘2，移项得：
$\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x -1)-1]=1$
3. 方程两边同时乘2，移项得：
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x -1)=3$
4. 方程两边同时乘2，移项、合并同类项得：
$\frac{1}{2}x=7$
5. 方程两边同时乘2，得：
$x=14$
【答案】
$x=14$
【知识点】
1.等式的基本性质
2.一元一次方程的解法
3.多层括号方程化简
【点评】
本题属于多层括号的一元一次方程求解问题，解题时不要盲目先去括号，可先观察方程结构，选择从外向内逐层消去系数的方法简化计算，能有效降低出错概率，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
观察这个方程，带有多层分数系数括号，如果直接从内向外去括号计算量较大，容易出错。我们可以利用等式的基本性质，从外向内逐层消去系数和常数项，步骤更简洁，也能减少计算失误：首先把方程左边最外侧的常数项移到右侧，再两边同时乘2消去最外层的$\frac{1}{2}$系数，重复这个操作逐层向内化简，最后就能轻松求出$x$的值。
【解析】
解：原方程为 $\frac{1}{2}\{\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x -1)-1]-1\}-1=-1$
1. 方程两边同时加1，得：
$\frac{1}{2}\{\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x -1)-1]-1\}=0$
2. 方程两边同时乘2，移项得：
$\frac{1}{2}[\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x -1)-1]=1$
3. 方程两边同时乘2，移项得：
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2}x -1)=3$
4. 方程两边同时乘2，移项、合并同类项得：
$\frac{1}{2}x=7$
5. 方程两边同时乘2，得：
$x=14$
【答案】
$x=14$
【知识点】
1.等式的基本性质
2.一元一次方程的解法
3.多层括号方程化简
【点评】
本题属于多层括号的一元一次方程求解问题，解题时不要盲目先去括号，可先观察方程结构，选择从外向内逐层消去系数的方法简化计算，能有效降低出错概率，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
