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1. 幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格。将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方，图(2)是一个未完成的幻方，则x与y的和是(
A.9
B.10
C.11
D.12
D
)。A.9
B.10
C.11
D.12
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先利用幻方“每一横行、每一竖列、每条对角线的3个数之和（简称幻和）相等”的性质展开推导：第一步先通过第一行和第一列的和相等，算出第三行第一个数；第二步结合过中间数的对角线的和与幻和的关系，求出中间数和幻和；最后分别求出x、y的值，计算二者之和即可。
【解析】
解：设该幻方的幻和为$S$，第二行第二列的中间数为$m$。
1. 求第三行第一个数：
第一行的和为幻和，即$S=x+6+20=x+26$。
第一列三个数的和也为$S$，因此第三行第一个数$=S-x-22$，代入$S=x+26$得：
第三行第一个数$=(x+26)-x-22=4$。
2. 求中间数和幻和：
三阶幻方的幻和是中间数的3倍，即$S=3m$。
观察右上角到左下角的对角线，三个数为20、$m$、4，和为$S$，可得：
$20+m+4=3m$
解得$m=12$，因此幻和$S=3×12=36$。
3. 求x、y的值：
由第一行和为36，得$x+6+20=36$，解得$x=10$。
由第二行和为36，得$22+12+y=36$，解得$y=2$。
4. 计算$x+y$：
$x+y=10+2=12$。
【答案】D
【知识点】
三阶幻方性质、一元一次方程的应用
【点评】
本题是数字规律类典型题，解题核心是抓住幻和相等的特点，先求出公共位置的未知量，再逐步推导其余未知数，难度适中，侧重考查规律探究和方程应用能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用幻方“每一横行、每一竖列、每条对角线的3个数之和（简称幻和）相等”的性质展开推导：第一步先通过第一行和第一列的和相等，算出第三行第一个数；第二步结合过中间数的对角线的和与幻和的关系，求出中间数和幻和；最后分别求出x、y的值，计算二者之和即可。
【解析】
解：设该幻方的幻和为$S$，第二行第二列的中间数为$m$。
1. 求第三行第一个数：
第一行的和为幻和，即$S=x+6+20=x+26$。
第一列三个数的和也为$S$，因此第三行第一个数$=S-x-22$，代入$S=x+26$得：
第三行第一个数$=(x+26)-x-22=4$。
2. 求中间数和幻和：
三阶幻方的幻和是中间数的3倍，即$S=3m$。
观察右上角到左下角的对角线，三个数为20、$m$、4，和为$S$，可得：
$20+m+4=3m$
解得$m=12$，因此幻和$S=3×12=36$。
3. 求x、y的值：
由第一行和为36，得$x+6+20=36$，解得$x=10$。
由第二行和为36，得$22+12+y=36$，解得$y=2$。
4. 计算$x+y$：
$x+y=10+2=12$。
【答案】D
【知识点】
三阶幻方性质、一元一次方程的应用
【点评】
本题是数字规律类典型题，解题核心是抓住幻和相等的特点，先求出公共位置的未知量，再逐步推导其余未知数，难度适中，侧重考查规律探究和方程应用能力。
【难度系数】
0.65
2. 某机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个.若2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，为使每天生产的大、小齿轮刚好配套，需安排生产大、小齿轮的人数分别是(
A.25和60
B.35和50
C.42和43
D.40和45
A
).A.25和60
B.35和50
C.42和43
D.40和45
答案
2. A
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程配套应用题，解题思路清晰：首先明确已知条件：总共有85名工人，每人每天可加工16个大齿轮或10个小齿轮，配套规则为2个大齿轮配3个小齿轮；其次设未知数，可设生产大齿轮的人数为x，那么生产小齿轮的人数就是总人数减去x；接着找核心等量关系：要让齿轮刚好配套，大齿轮总数量和小齿轮总数量的比要等于2:3，转化为等式就是“3×大齿轮总数量=2×小齿轮总数量”；最后根据等量关系列方程求解，也可代入选项直接验证结果。
【解析】
解：设安排x名工人生产大齿轮，则安排$(85-x)$名工人生产小齿轮。
根据配套要求可得等量关系：
$3× 16x = 2× 10(85-x)$
化简方程：
$48x = 20(85-x)$
$48x = 1700 - 20x$
移项合并同类项：
$48x + 20x = 1700$
$68x = 1700$
解得$x=25$
生产小齿轮的人数为：$85-25=60$（名）
因此安排25人生产大齿轮、60人生产小齿轮时，生产的齿轮刚好配套，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.配套问题求解
【点评】
本题是基础类配套应用题，解题核心是准确根据配套规则梳理出两类零件的数量比例关系，建立正确的方程，计算时注意移项变号规则，避免计算失误，也可通过代入选项验证的方法快速得出答案。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元一次方程配套应用题，解题思路清晰：首先明确已知条件：总共有85名工人，每人每天可加工16个大齿轮或10个小齿轮，配套规则为2个大齿轮配3个小齿轮；其次设未知数，可设生产大齿轮的人数为x，那么生产小齿轮的人数就是总人数减去x；接着找核心等量关系：要让齿轮刚好配套，大齿轮总数量和小齿轮总数量的比要等于2:3，转化为等式就是“3×大齿轮总数量=2×小齿轮总数量”；最后根据等量关系列方程求解，也可代入选项直接验证结果。
【解析】
解：设安排x名工人生产大齿轮，则安排$(85-x)$名工人生产小齿轮。
根据配套要求可得等量关系：
$3× 16x = 2× 10(85-x)$
化简方程：
$48x = 20(85-x)$
$48x = 1700 - 20x$
移项合并同类项：
$48x + 20x = 1700$
$68x = 1700$
解得$x=25$
生产小齿轮的人数为：$85-25=60$（名）
因此安排25人生产大齿轮、60人生产小齿轮时，生产的齿轮刚好配套，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.配套问题求解
【点评】
本题是基础类配套应用题，解题核心是准确根据配套规则梳理出两类零件的数量比例关系，建立正确的方程，计算时注意移项变号规则，避免计算失误，也可通过代入选项验证的方法快速得出答案。
【难度系数】
0.7
3. 有大、小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46人，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人. 某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为
96
.答案
3. 96
解析
【分析】
本题属于二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：第一步，明确题目中的两个等量关系：①1艘大船载客量+4艘小船载客量=46人；②2艘大船载客量+3艘小船载客量=57人。第二步，设1艘大船、1艘小船的单次载客量分别为未知数，根据等量关系列出二元一次方程组。第三步，用消元法解出单艘大船、小船的载客量。第四步，将所求数值代入3艘大船加6艘小船的载客量表达式，计算得到最终结果。
【解析】
设1艘大船一次可以载乘客$x$人，1艘小船一次可以载乘客$y$人，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 4y = 46 \quad \mathrm{①} \\2x + 3y = 57 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①得：$x = 46 - 4y$ $\mathrm{③}$
将③代入②：
$\begin{aligned}2(46 - 4y) + 3y &= 57 \\92 - 8y + 3y &= 57 \\-5y &= 57 - 92 \\-5y &= -35 \\y &=7\end{aligned}$
把$y=7$代入③得：$x = 46 - 4×7 = 18$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=18 \\ y=7 \end{cases}$
则3艘大船与6艘小船一次载客人数为：
$3x + 6y = 3×18 + 6×7 = 54 + 42 = 96$
【答案】
96
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是方程类基础应用题，核心是找准题目中的等量关系建立方程组，计算过程简单，熟练掌握二元一次方程组的基本解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题属于二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：第一步，明确题目中的两个等量关系：①1艘大船载客量+4艘小船载客量=46人；②2艘大船载客量+3艘小船载客量=57人。第二步，设1艘大船、1艘小船的单次载客量分别为未知数，根据等量关系列出二元一次方程组。第三步，用消元法解出单艘大船、小船的载客量。第四步，将所求数值代入3艘大船加6艘小船的载客量表达式，计算得到最终结果。
【解析】
设1艘大船一次可以载乘客$x$人，1艘小船一次可以载乘客$y$人，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + 4y = 46 \quad \mathrm{①} \\2x + 3y = 57 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①得：$x = 46 - 4y$ $\mathrm{③}$
将③代入②：
$\begin{aligned}2(46 - 4y) + 3y &= 57 \\92 - 8y + 3y &= 57 \\-5y &= 57 - 92 \\-5y &= -35 \\y &=7\end{aligned}$
把$y=7$代入③得：$x = 46 - 4×7 = 18$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=18 \\ y=7 \end{cases}$
则3艘大船与6艘小船一次载客人数为：
$3x + 6y = 3×18 + 6×7 = 54 + 42 = 96$
【答案】
96
【知识点】
二元一次方程组的应用；消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是方程类基础应用题，核心是找准题目中的等量关系建立方程组，计算过程简单，熟练掌握二元一次方程组的基本解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 一张方桌由一张桌面与四根桌腿做成. 已知$1\ \mathrm{m}^3$木料可以做桌面50张或做桌腿300根. 现有$5\ \mathrm{m}^3$木料,恰好做成方桌多少张? 可设桌面共需要$x\ \mathrm{m}^3$木料,桌腿共需要$y\ \mathrm{m}^3$木料,恰好做成方桌张(用含$x$或$y$的代数式表示),可列出的方程组是.
答案
4. 50x(或75y)
$\begin{cases} x + y = 5, \\ 50x = \dfrac{300y}{4} \end{cases}$
$\begin{cases} x + y = 5, \\ 50x = \dfrac{300y}{4} \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心等量关系：①制作桌面和桌腿的木料总体积为5m³；②桌腿总数量是桌面总数量的4倍（1张方桌需配4根桌腿）。求方桌数量时，方桌数量与桌面数量相等，可根据桌面用料直接计算，也可通过桌腿总数量除以单桌所需桌腿数计算。列方程组时，分别根据总木料体积、桌面与桌腿的配套比例列等式即可。
【解析】
1. 求恰好做成方桌的数量：
已知1m³木料可做50张桌面，桌面用了x m³木料，因此一共做了50x张桌面，1张方桌对应1张桌面，所以方桌数量为50x张；
若用桌腿用料y计算：1m³木料可做300根桌腿，y m³木料共做300y根桌腿，每4根桌腿配1张方桌，因此方桌数量为$300y÷4=75y$张。
2. 列方程组：
① 总木料体积为5m³，因此$x + y = 5$；
② 桌腿总数量是桌面总数量的4倍，即$4×50x=300y$，整理得$50x=\dfrac{300y}{4}$。
综上可得方程组为$\begin{cases} x + y = 5 \\ 50x = \dfrac{300y}{4} \end{cases}$。
【答案】
$\boldsymbol{50x}$（或$\boldsymbol{75y}$）；$\boldsymbol{\begin{cases} x + y = 5 \\ 50x = \dfrac{300y}{4} \end{cases}}$
【知识点】
二元一次方程组应用；配套问题；列代数式
【点评】
本题是典型的配套类应用题，解题关键是找准两个等量关系：一是总物料的数量关系，二是配套物品之间的数量比例关系，解题时要注意桌面与桌腿的配套比例为1:4，避免因比例错误列错方程。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确两个核心等量关系：①制作桌面和桌腿的木料总体积为5m³；②桌腿总数量是桌面总数量的4倍（1张方桌需配4根桌腿）。求方桌数量时，方桌数量与桌面数量相等，可根据桌面用料直接计算，也可通过桌腿总数量除以单桌所需桌腿数计算。列方程组时，分别根据总木料体积、桌面与桌腿的配套比例列等式即可。
【解析】
1. 求恰好做成方桌的数量：
已知1m³木料可做50张桌面，桌面用了x m³木料，因此一共做了50x张桌面，1张方桌对应1张桌面，所以方桌数量为50x张；
若用桌腿用料y计算：1m³木料可做300根桌腿，y m³木料共做300y根桌腿，每4根桌腿配1张方桌，因此方桌数量为$300y÷4=75y$张。
2. 列方程组：
① 总木料体积为5m³，因此$x + y = 5$；
② 桌腿总数量是桌面总数量的4倍，即$4×50x=300y$，整理得$50x=\dfrac{300y}{4}$。
综上可得方程组为$\begin{cases} x + y = 5 \\ 50x = \dfrac{300y}{4} \end{cases}$。
【答案】
$\boldsymbol{50x}$（或$\boldsymbol{75y}$）；$\boldsymbol{\begin{cases} x + y = 5 \\ 50x = \dfrac{300y}{4} \end{cases}}$
【知识点】
二元一次方程组应用；配套问题；列代数式
【点评】
本题是典型的配套类应用题，解题关键是找准两个等量关系：一是总物料的数量关系，二是配套物品之间的数量比例关系，解题时要注意桌面与桌腿的配套比例为1:4，避免因比例错误列错方程。
【难度系数】
0.75
5. 有大小两种货车，若3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22 t，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25 t，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货
23.5
t.答案
5. 23.5
解析
【分析】
这是二元一次方程组的实际应用类题目，解题思路如下：第一步，设每辆大货车、每辆小货车单次运货的重量分别为两个未知数；第二步，根据题干给出的两组不同货车搭配的运货总重量，列出对应的二元一次方程组；第三步，解方程组得到两种货车的单次运货量；第四步，将数值代入4辆大货车加3辆小货车的运货总量表达式，计算得到最终结果。
【解析】
设1辆大货车一次可以运货$x$ t，1辆小货车一次可以运货$y$ t。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 4y = 22 \quad \mathrm{①} \\5x + 2y = 25 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用加减消元法解方程组：将②式两边同时乘以2，得$10x + 4y = 50$ ③
用③式减去①式，得：$7x = 28$，解得$x = 4$
把$x=4$代入②式，得：$5×4 + 2y =25$，解得$y=2.5$
则4辆大货车与3辆小货车一次运货重量为：
$4x + 3y = 4×4 + 3×2.5 = 16 +7.5 =23.5$
【答案】
23.5
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是实际应用类的基础题型，核心考察学生从题干中提取等量关系、建立方程模型的能力，计算过程简单，只要认真审题、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
这是二元一次方程组的实际应用类题目，解题思路如下：第一步，设每辆大货车、每辆小货车单次运货的重量分别为两个未知数；第二步，根据题干给出的两组不同货车搭配的运货总重量，列出对应的二元一次方程组；第三步，解方程组得到两种货车的单次运货量；第四步，将数值代入4辆大货车加3辆小货车的运货总量表达式，计算得到最终结果。
【解析】
设1辆大货车一次可以运货$x$ t，1辆小货车一次可以运货$y$ t。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 4y = 22 \quad \mathrm{①} \\5x + 2y = 25 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用加减消元法解方程组：将②式两边同时乘以2，得$10x + 4y = 50$ ③
用③式减去①式，得：$7x = 28$，解得$x = 4$
把$x=4$代入②式，得：$5×4 + 2y =25$，解得$y=2.5$
则4辆大货车与3辆小货车一次运货重量为：
$4x + 3y = 4×4 + 3×2.5 = 16 +7.5 =23.5$
【答案】
23.5
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题是实际应用类的基础题型，核心考察学生从题干中提取等量关系、建立方程模型的能力，计算过程简单，只要认真审题、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
三、解答题
6. 车间里有90名工人，每人每分钟能生产螺母24个或螺栓15个. 如果一个螺栓配两个螺母，那么应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？
6. 车间里有90名工人，每人每分钟能生产螺母24个或螺栓15个. 如果一个螺栓配两个螺母，那么应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？
答案
6. 50人生产螺母，40人生产螺栓
解析
【分析】
这是典型的配套类应用题，解题时先梳理已知条件：总共有90名工人，每人每分钟可生产螺母24个或螺栓15个，配套规则为1个螺栓配2个螺母，说明螺母总数量需要是螺栓总数量的2倍才刚好配套。我们通过列一元一次方程求解：第一步设生产螺栓的人数为x，那么生产螺母的人数就是总人数减x；第二步分别表示出螺栓、螺母的总产量；第三步根据“螺母总产量=2×螺栓总产量”的核心等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设应分配x名工人生产螺栓，则分配$(90-x)$名工人生产螺母。
根据配套时螺母总数量是螺栓总数量的2倍，列方程：
$24(90-x)=2× 15x$
展开计算得：
$2160-24x=30x$
移项合并同类项得：
$54x=2160$
系数化为1得：
$x=40$
生产螺母的人数为：$90-40=50$（人）
【答案】
应分配40人生产螺栓，50人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套。
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础实际应用题型，解题核心是准确找到配套规则对应的数量关系，结合总人数的限制条件列方程即可求解，掌握此类题型的等量关系梳理方法，就能轻松解决同类型问题。
【难度系数】
0.7
这是典型的配套类应用题，解题时先梳理已知条件：总共有90名工人，每人每分钟可生产螺母24个或螺栓15个，配套规则为1个螺栓配2个螺母，说明螺母总数量需要是螺栓总数量的2倍才刚好配套。我们通过列一元一次方程求解：第一步设生产螺栓的人数为x，那么生产螺母的人数就是总人数减x；第二步分别表示出螺栓、螺母的总产量；第三步根据“螺母总产量=2×螺栓总产量”的核心等量关系列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设应分配x名工人生产螺栓，则分配$(90-x)$名工人生产螺母。
根据配套时螺母总数量是螺栓总数量的2倍，列方程：
$24(90-x)=2× 15x$
展开计算得：
$2160-24x=30x$
移项合并同类项得：
$54x=2160$
系数化为1得：
$x=40$
生产螺母的人数为：$90-40=50$（人）
【答案】
应分配40人生产螺栓，50人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套。
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础实际应用题型，解题核心是准确找到配套规则对应的数量关系，结合总人数的限制条件列方程即可求解，掌握此类题型的等量关系梳理方法，就能轻松解决同类型问题。
【难度系数】
0.7
