登录
6. 现用同一种农药配制甲、乙两种不同浓度的溶液. 若从甲种溶液中取2 100 g，乙种溶液中取700 g，则混合而成的农药溶液中农药的浓度为3%；若从甲溶液中取900 g，乙溶液中取2 700 g，则混合成的农药溶液中农药的浓度为5%. 设甲、乙两种农药溶液中农药的浓度百分比分别为x，y，所列出的方程组是.
答案
6. $\begin{cases} 2 100x + 700y = 2 800 × 3\%, \\ 900x + 2 700y = 3 600 × 5\% \end{cases}$
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住溶液混合前后溶质质量不变的等量关系。首先回忆浓度问题的基本公式：溶质质量=溶液质量×浓度百分比。我们分别对两次混合的情况分析：第一次混合时，甲溶液的溶质加乙溶液的溶质等于混合后总溶液的溶质；第二次混合也满足这个等量关系，分别对应列出两个方程，联立就得到所求方程组。
【解析】
根据“溶质质量=溶液质量×浓度百分比”，分别分析两次混合过程：
1. 第一次混合：
甲取2100g，所含溶质质量为$2100x$；乙取700g，所含溶质质量为$700y$。
混合后总溶液质量为$2100+700=2800\ \mathrm{g}$，浓度为3%，总溶质质量为$2800×3\%$。
由混合前后溶质质量相等，得方程：$2100x + 700y = 2800 × 3\%$。
2. 第二次混合：
甲取900g，所含溶质质量为$900x$；乙取2700g，所含溶质质量为$2700y$。
混合后总溶液质量为$900+2700=3600\ \mathrm{g}$，浓度为5%，总溶质质量为$3600×5\%$。
同理得方程：$900x + 2700y = 3600 × 5\%$。
联立两个方程即得所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} 2 100x + 700y = 2 800 × 3\%, \\ 900x + 2 700y = 3 600 × 5\% \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 浓度问题公式
【点评】
本题是列方程组解实际问题的基础题型，解题核心是找准混合前后溶质质量不变的等量关系，熟练掌握浓度相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住溶液混合前后溶质质量不变的等量关系。首先回忆浓度问题的基本公式：溶质质量=溶液质量×浓度百分比。我们分别对两次混合的情况分析：第一次混合时，甲溶液的溶质加乙溶液的溶质等于混合后总溶液的溶质；第二次混合也满足这个等量关系，分别对应列出两个方程，联立就得到所求方程组。
【解析】
根据“溶质质量=溶液质量×浓度百分比”，分别分析两次混合过程：
1. 第一次混合：
甲取2100g，所含溶质质量为$2100x$；乙取700g，所含溶质质量为$700y$。
混合后总溶液质量为$2100+700=2800\ \mathrm{g}$，浓度为3%，总溶质质量为$2800×3\%$。
由混合前后溶质质量相等，得方程：$2100x + 700y = 2800 × 3\%$。
2. 第二次混合：
甲取900g，所含溶质质量为$900x$；乙取2700g，所含溶质质量为$2700y$。
混合后总溶液质量为$900+2700=3600\ \mathrm{g}$，浓度为5%，总溶质质量为$3600×5\%$。
同理得方程：$900x + 2700y = 3600 × 5\%$。
联立两个方程即得所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} 2 100x + 700y = 2 800 × 3\%, \\ 900x + 2 700y = 3 600 × 5\% \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 浓度问题公式
【点评】
本题是列方程组解实际问题的基础题型，解题核心是找准混合前后溶质质量不变的等量关系，熟练掌握浓度相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
7. 某茶叶店经销茶叶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元. 求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格.
7. 某茶叶店经销茶叶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元. 求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格.
答案
7. 第一次购进 A 种茶的价格为 100 元/盒，B种茶的价格为 150 元/盒
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题核心是找到两次购进茶叶的总费用对应的等量关系。首先设第一次A、B两种茶每盒的价格为未知数，再根据“第一次购进总花费6000元”和“提价20%后第二次购进总花费5100元”这两个条件分别列方程，组成二元一次方程组后求解即可。
【解析】
解：设第一次购进A种茶每盒的价格为x元，B种茶每盒的价格为y元。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases}30x + 20y = 6000 \quad \mathrm{①} \\20×(1+20\%)x + 15×(1+20\%)y = 5100 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
先化简方程：
将方程①两边同时除以10，得：$3x + 2y = 600$ ③
计算方程②中系数，$1+20\%=1.2$，整理②得：$24x + 18y = 5100$，两边同时除以6，得：$4x + 3y = 850$ ④
用消元法解方程组：
③×3得：$9x + 6y = 1800$ ⑤
④×2得：$8x + 6y = 1700$ ⑥
⑤-⑥得：$x = 100$
把$x=100$代入③得：$3×100 + 2y = 600$，解得$y=150$
【答案】
第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒
【知识点】
二元一次方程组的应用、消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的费用类应用题，解题的关键是准确梳理两次购进的数量、单价、总费用之间的关系，正确将提价20%转化为单价的倍数关系，求解方程组前先化简方程可以有效减少计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题核心是找到两次购进茶叶的总费用对应的等量关系。首先设第一次A、B两种茶每盒的价格为未知数，再根据“第一次购进总花费6000元”和“提价20%后第二次购进总花费5100元”这两个条件分别列方程，组成二元一次方程组后求解即可。
【解析】
解：设第一次购进A种茶每盒的价格为x元，B种茶每盒的价格为y元。
根据题意，列方程组得：
$\begin{cases}30x + 20y = 6000 \quad \mathrm{①} \\20×(1+20\%)x + 15×(1+20\%)y = 5100 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
先化简方程：
将方程①两边同时除以10，得：$3x + 2y = 600$ ③
计算方程②中系数，$1+20\%=1.2$，整理②得：$24x + 18y = 5100$，两边同时除以6，得：$4x + 3y = 850$ ④
用消元法解方程组：
③×3得：$9x + 6y = 1800$ ⑤
④×2得：$8x + 6y = 1700$ ⑥
⑤-⑥得：$x = 100$
把$x=100$代入③得：$3×100 + 2y = 600$，解得$y=150$
【答案】
第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒
【知识点】
二元一次方程组的应用、消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的费用类应用题，解题的关键是准确梳理两次购进的数量、单价、总费用之间的关系，正确将提价20%转化为单价的倍数关系，求解方程组前先化简方程可以有效减少计算错误。
【难度系数】
0.7
8. 某中学计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍. 拆除旧校舍需80元/m²，建造新校舍需700元/m². 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7 200 m²，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除校舍则超过了10%，结果恰好完成了原计划的拆除和新建的总面积.
（1）原计划拆除和新建面积各多少平方米？
（2）若新建绿化需200元/m²，用实际完成的拆、建工程中节余的资金来新建绿化，则绿化面积是多少平方米？
（1）原计划拆除和新建面积各多少平方米？
（2）若新建绿化需200元/m²，用实际完成的拆、建工程中节余的资金来新建绿化，则绿化面积是多少平方米？
答案
（1）原计划拆除旧校舍4 800 m²，新建校舍2 400 m² （2）1 488 m²
解析
【分析】
解决第（1）问时，我们可以通过设两个未知数列方程组求解：首先找到两个核心等量关系，一是原计划拆除面积+原计划新建面积=7200m²；二是实际拆除面积（原计划拆除的110%）+实际新建面积（原计划新建的80%）=原计划总拆建面积7200m²，代入未知数建立方程组即可求解。解决第（2）问时，先分别计算原计划拆建总资金和实际拆建总资金，两者的差值就是结余资金，用结余资金除以每平方米绿化的建设费用，即可得到可新建的绿化面积。
【解析】
（1）设原计划拆除旧校舍的面积为$x\ \mathrm{m}^2$，原计划新建校舍的面积为$y\ \mathrm{m}^2$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 7200 \\(1+10\%)x + 80\%y = 7200\end{cases}$
化简第二个方程得：$1.1x + 0.8y = 7200$
由第一个方程得$y=7200-x$，代入第二个方程：
$1.1x + 0.8×(7200-x) = 7200$
展开计算：$1.1x + 5760 - 0.8x = 7200$
合并同类项得：$0.3x = 1440$
解得$x=4800$，则$y=7200-4800=2400$
（2）先计算原计划拆建总资金：
$4800×80 + 2400×700 = 384000 + 1680000 = 2064000$（元）
再计算实际拆建总资金：
实际拆除面积：$4800×1.1=5280\ \mathrm{m}^2$，实际新建面积：$2400×0.8=1920\ \mathrm{m}^2$
实际花费：$5280×80 + 1920×700 = 422400 + 1344000 = 1766400$（元）
结余资金：$2064000 - 1766400 = 297600$（元）
可新建绿化面积：$297600÷200 = 1488\ \mathrm{m}^2$
【答案】
（1）原计划拆除旧校舍4 800 m²，新建校舍2 400 m² （2）1 488 m²
【知识点】
二元一次方程组的应用、百分数实际应用、有理数混合运算
【点评】
本题属于生活场景类的方程应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系建立方程，第二问需要梳理清楚资金结余的计算逻辑，能够锻炼学生把数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决第（1）问时，我们可以通过设两个未知数列方程组求解：首先找到两个核心等量关系，一是原计划拆除面积+原计划新建面积=7200m²；二是实际拆除面积（原计划拆除的110%）+实际新建面积（原计划新建的80%）=原计划总拆建面积7200m²，代入未知数建立方程组即可求解。解决第（2）问时，先分别计算原计划拆建总资金和实际拆建总资金，两者的差值就是结余资金，用结余资金除以每平方米绿化的建设费用，即可得到可新建的绿化面积。
【解析】
（1）设原计划拆除旧校舍的面积为$x\ \mathrm{m}^2$，原计划新建校舍的面积为$y\ \mathrm{m}^2$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 7200 \\(1+10\%)x + 80\%y = 7200\end{cases}$
化简第二个方程得：$1.1x + 0.8y = 7200$
由第一个方程得$y=7200-x$，代入第二个方程：
$1.1x + 0.8×(7200-x) = 7200$
展开计算：$1.1x + 5760 - 0.8x = 7200$
合并同类项得：$0.3x = 1440$
解得$x=4800$，则$y=7200-4800=2400$
（2）先计算原计划拆建总资金：
$4800×80 + 2400×700 = 384000 + 1680000 = 2064000$（元）
再计算实际拆建总资金：
实际拆除面积：$4800×1.1=5280\ \mathrm{m}^2$，实际新建面积：$2400×0.8=1920\ \mathrm{m}^2$
实际花费：$5280×80 + 1920×700 = 422400 + 1344000 = 1766400$（元）
结余资金：$2064000 - 1766400 = 297600$（元）
可新建绿化面积：$297600÷200 = 1488\ \mathrm{m}^2$
【答案】
（1）原计划拆除旧校舍4 800 m²，新建校舍2 400 m² （2）1 488 m²
【知识点】
二元一次方程组的应用、百分数实际应用、有理数混合运算
【点评】
本题属于生活场景类的方程应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系建立方程，第二问需要梳理清楚资金结余的计算逻辑，能够锻炼学生把数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
9. 夏季,为了节约用电,常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施. 某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高$1°\mathrm{C}$,结果甲种空调比乙种空调每天多节电$27\ \mathrm{kW}·\mathrm{h}$;再对乙种空调清洗设备,使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高$1°\mathrm{C}$后的节电量的1.1倍,而甲种空调节电量不变,这样两种空调每天共节电$405\ \mathrm{kW}·\mathrm{h}$. 只将温度调高$1°\mathrm{C}$后两种空调每天各节电多少千瓦·时?
答案
甲种空调每天节电207 kW·h，乙种空调每天节电180 kW·h
解析
【分析】
本题属于一元一次方程实际应用类题目，解题核心是找准题干中的等量关系：①仅将温度调高1℃时，甲空调每天节电量比乙多27kW·h；②清洗乙空调后，甲空调节电量+1.1倍乙空调仅调温后的节电量=405kW·h。我们可以先设仅调温后乙空调的节电量为未知数，用含未知数的式子表示甲空调的节电量，再根据第二个等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设只将温度调高1℃后，乙种空调每天节电$ x\ \mathrm{kW·h} $，则甲种空调每天节电$ (x+27)\ \mathrm{kW·h} $。
根据清洗设备后两种空调每天共节电$ 405\ \mathrm{kW·h} $，可列方程：
$ x+27 + 1.1x = 405 $
合并同类项，得：$ 2.1x +27 = 405 $
移项计算，得：$ 2.1x = 378 $
解得：$ x = 180 $
则甲种空调仅调温后的节电量为：$ x+27 = 180+27 = 207(\mathrm{kW·h}) $
经检验，结果符合题意。
【答案】
甲种空调每天节电207 kW·h，乙种空调每天节电180 kW·h
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题是贴近生活的应用型题目，难度不高，解题的关键是仔细审题，准确提取题干中的等量关系，合理设未知数列方程求解，主要考查学生的阅读理解能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
本题属于一元一次方程实际应用类题目，解题核心是找准题干中的等量关系：①仅将温度调高1℃时，甲空调每天节电量比乙多27kW·h；②清洗乙空调后，甲空调节电量+1.1倍乙空调仅调温后的节电量=405kW·h。我们可以先设仅调温后乙空调的节电量为未知数，用含未知数的式子表示甲空调的节电量，再根据第二个等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设只将温度调高1℃后，乙种空调每天节电$ x\ \mathrm{kW·h} $，则甲种空调每天节电$ (x+27)\ \mathrm{kW·h} $。
根据清洗设备后两种空调每天共节电$ 405\ \mathrm{kW·h} $，可列方程：
$ x+27 + 1.1x = 405 $
合并同类项，得：$ 2.1x +27 = 405 $
移项计算，得：$ 2.1x = 378 $
解得：$ x = 180 $
则甲种空调仅调温后的节电量为：$ x+27 = 180+27 = 207(\mathrm{kW·h}) $
经检验，结果符合题意。
【答案】
甲种空调每天节电207 kW·h，乙种空调每天节电180 kW·h
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题是贴近生活的应用型题目，难度不高，解题的关键是仔细审题，准确提取题干中的等量关系，合理设未知数列方程求解，主要考查学生的阅读理解能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
